VAR模型(1)

第8章 V AR 模型与协整

8.1 向量自回归（V AR ）模型

1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

8.1.1 V AR 模型定义

V AR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y 1t ，y 2t 之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y 1, t = f (y 1, t -1, y 1, t -2, …) y 2, t = f (y 2, t -1, y 2, t -2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。V AR 模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N ，一个是最大滞后阶数k 。

以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例，

y 1, t = μ1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t

y 2, t = μ2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是，

⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21μμ+⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡t t u u 21 (8.2) 设， Y t =⎥⎦⎤⎢

⎣⎡t t y y 21, μ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡21μμ, ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ, u t =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则， Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：

Y t = μ + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中，

Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' μ = (μ1 μ2 … μN )'

∏j =⎥

⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣

⎡j NN j

N j N j N j

j

j N j

j

..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππΛ

M O M

M ΛΛ, j = 1, 2, …, k

u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',

Y t 为N ⨯1阶时间序列列向量。 μ为N ⨯1阶常数项列向量。∏1, … , ∏k 均为N ⨯N 阶参数矩阵，

u t ~ IID (0, Ω) 是N ⨯1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因V AR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t 是不相关的，所以

可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

V AR 模型的特点是：

（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在V AR 模型中；②确定滞后期k 。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。

（2）V AR 模型对参数不施加零约束。（参数估计值有无显著性，都保留在模型中） （3）V AR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在V AR 模型中都不存在。

（4）V AR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个V AR 模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 ⨯ 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束V AR 模型的应用之一是预测。由于在V AR 模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

西姆斯（Sims ）认为V AR 模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入V AR 模型。

8.1.2 V AR 模型的稳定性特征 现在讨论V AR 模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在V AR 模型中某一个方程的新息（innovation ）过程上时，随着时间的推移，分析这个冲击是否会逐渐地消失。如果是逐渐地消失，系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。

下面分析一阶V AR 模型

Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t (8.5)

为例。当t = 1时，有

Y 1 = μ + ∏1 Y 0 + u 1 (8.6)

当t = 2时，采用迭代方式计算，

Y 2 = μ + ∏1 Y 1 + u 2 = μ + ∏1 (μ + ∏1 Y 0 + u 1) + u 2

= (I + ∏1) μ + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2 (8.7) 当t = 3时，进一步迭代，

Y 3 = μ + ∏1 Y 2 + u 3 = μ + ∏1 [(I + ∏1) μ + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2] + u 3

= (I + ∏1 + ∏12) μ + ∏13 Y 0 + ∏12 u 1 + ∏1 u 2 + u 3 (8.8)

… …

对于t 期，按上述形式推导

Y t = (I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t -1) μ + ∏1t Y 0 + ∑-=1

01t i i Πu t -i (8.9)

由上式可知，∏10 = I 。通过上述变换，把Y t 表示成了漂移项向量μ、初始值向量Y 0和新息向量u t 的函数。可见系统是否稳定就决定于漂移项向量μ、初始值向量Y 0和新息向量u t 经受冲击后的表现。

假定模型是稳定的，将有如下3个结论。

（1）假设t = 1时，对μ 施加一个单位的冲击，那么到t 期的影响是

(I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t -1)