常微分方程组的数值解

下面分析均假定满足上述条件。
至于初值问题（1）的数值解法，常采用差分方法， 即把一个连续的初值问题离散化为一个差分方程来求解。 具体地，将（1）离散化后，求找其解 y=y(x)在一系列离 散点 a x0 x1 x2 xi xn b
上的近似值 y0 y1 y2 yi yn
p 1
由（2）、（3）知Euler公式在 x i处的局部截断误差为：
y
p0 p ' 1
p1 p2
pn1
pn
y=f(x)
' pn
p
' 2
pi pi 1
pi'
pi' 1
p
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' n1
O
dy 由方程（1）知，其积分曲线 y=f(x)上任一点(x, y)的切线斜率 dx 都等于函数f(x, y)的值。从初始点 p0（即( x0 , y0 ) 点）出发，作积分
在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定 解条件合在一起组成定解问题。定解条件有两种：一种是给出积分 曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问 题。另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应 的定解问题称为边值问题。 例如：弹簧一质量系统的振动问题 经一定的简化后可用一个二阶常微 分方程 m x c x
对于初值问题（1），先将其离散化，即把[a,b]区间n等分， 得各离散节点
xi a ih
(i 0,1,2, n)
ba 其中 h . n
设y yx 为方程的解，则 y( xi 1 )在( xi , yi )处 Taylor 展式为：
h2 y ( xi 1 ) y ( xi ) hy' ( xi ) y ' ' ( i ), 2 ( xi i xi 1 ) (i 0,1,2, n 1)
y( xi1 ) yi 1 ，这种截断误差称为局部截断误差。
h2 " Ri y ( xi 1 ) yi 1 y ( i ), ( xi i xi 1 ), (i 0,1, n 1) 2 2 O(h ) (4)
定义：如果局部截断误差为 O(h ) ，则这种数 值算法的精度为p阶，故Euler格式的精度为一阶。 从几何意义上来看，如图，
d 2x c 来描述。 x o dt 2 m
o
其中 x 是质量，m是离开平衡位o的距离，t为时间，c为弹簧系数。
当弹簧在振动开始时刻 t t0时的初始位置 xt0 x0 dx ' 和初始速度 x ' (t0 ) x0 都确定时，弹簧振动规 律 dt t t0 x(t )唯一确定。这就可以写 成一个初值问题:
d 2x c x 0 2 m dt x (t 0 ) x0 x ' (t ) x ' 0 0
我们现在讨论常微分方程的数值解法。先从最简单的一阶常微 分方程的初值问题出发开始讨论。
dy f ( x, y ), x ( a, b) dx y ( a ) y0
yi 1 yi hf ( xi , yi ) (i 0,1,2,n 1)
（3）
或
若将
则得：
这就是Euler公式（格式）。 利用它可由初值 y0 出发逐步算出 y1 y2
yn
。
这类形式的方法也称为差分方法。 当假定 yi 为准确值，即在 yi y( xi ) 的前提下来估计误差
x0 x1 x2
xi xi1
xn1 xn
x
曲线 y=y(x) 在p0点上的切线 p0 p1 （其斜率为 f ( x0 , yo ) ）与直线 近似值，则有
x x1 相交与 p1点（即 ( x1 , y1 )点），得到 y1
作为
y ( x1 ) 的
dy y1 y0 ( x1 x0 ) yo hf ( x0 , y0 ) dx x x0
两相邻点间的距离 hi xi1 xi, (i 0,1, n 1)称为步长。
当hi h（常值）时称为等步长 ，有xi x0 ih.(i 1 ~ n)
因为初值问题中的初始条件 y(a) y0 已知，即可利用 已知的 y0 来求出下一节点处 y ( x1 ) 的近似值 y1 ；再从 y1 来求 y 2 ... 如此继续，直到求出 y n 为止。这种用按节点的排列顺序一步 一步地向前推进的方式求解的差分算法称为“步进式”或“递推式” 算法，它是初值问题数值解法的各种差分格式的共同特点。因此， y0 y1 来计算 yi y 只要能写出由前几步已知信息 的递推 i 1 公式（即差分格式），即可完全表达这种算法。
在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程， 但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程 （例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于 变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线 性常微分方程的求解困难就更不用说了。大多数情况下， 常微分方程只能用近似方法求解。这种近似解法可分为两 大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等; 另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近 似值。
( 2)
当 y " ( i ) 有界且h充分小时，可忽略高阶 无穷小量 h y ' ' ( i ), 将上式改写成： 2 '
2
y( xi1 ) y( xi ) hy ( xi ). (i 0,1,2,n 1)
y( xi 1 ) y( xi ) hf ( xi , y( xi )) y( xi 1 ) 和 y ( xi ) 的近似值分别记为 y i 1 和 yi ，
(1)
由常微分方程理论可知：只要上式中的函数f(x,y)在区域 G={a≤x≤b,－∞＜y＜∞}内连续，且关于 y 满足Lipschitz条件，即存 在与 x, y 无关的常数L，使
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
对G内任意两个y1 , y2 都成立，则方程(1) 的解y y( x)必定存在且唯一。