第二章 稳态热传导(导热理论基础)

二、傅里叶（J.Fourier）定律：
导热理论基础
1.基本概念： 3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向 的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方 向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称 t t n 之为温度梯度。即： gradt n
lim n
y x
y+dy
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四、导热微分方程 对此微元体应用热力学第一定律
［导入微元体的热量-导出微元体的热量］+［内热源发热量］ A + B =［热力学能增量］ A部： = C ①沿x轴方向：x截面： x=qx· dydz x+dx截面：x+dx=qx+dx· dydz 因qx是x的函数，且在x至x+dx区间内连续可微，据泰勒级数有：
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
导热理论基础
一、概述： 一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作 是连续介质。 导热基础理论的主要任务： 1.找出物体内温度与时间、空间的关系式，即求解温度场； 2.找出物体内温度分布与换热量的普遍联系式，即傅里叶定律。 二、傅里叶（J.Fourier）定律： 1.基本概念： 1>.温度场：物体某一时刻其内各点的温度分布： t=f（x、y、z、） 上式为三维非稳态温度场；当t/=0时，称为三维稳态温度场， 即： t=f（x、y、z）；若温度场仅和二个或一个坐标有关时则为二维 或一维稳态温度场：即t=f（x、y） 或：t=f（x）。 具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态 温度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
n
x
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二、傅里叶（J.Fourier）定律：
2.傅里叶（J.Fourier）定律： 在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
几点问题： 1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。 2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。 3>.适用范围：傅里叶定律是一个实验定律，是导热现象经验的规律 性总结，普遍适用各种导热现象。即不论是否变物性（λ=a+bt）, 有无内热源，是否非稳态，不论物体几何形状如何，也不论物质 的形态（固﹑液、气），其都适用。
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五、导热微分方程的单值性条件
2.边界条件： ③第三类边界条件：已知物体边界处与周围流体的换热 系数h以及流体的温度tf。即： -（t/n）|s=h（t|s-tf） 其中，对于稳态导热时，h、tf将不随时间变化；对 于非稳态导热时，h、tf可以是时间的函数，即： h=f1（） tf=f2（） 如上图当肋片顶端与周围流体的对流换热量不能忽 略时，此边界条件即为第三类边界条件，可写成： -（t/x）|x=l=h（t|x=l-tf） 第三类边界条件与第一、二类边界条件区别是： t/n|s、t|s均未知，但知道其两者间的函数关系式。
A gradt W q gradt W / m2
4>.现实意义：只要已知温度场，则可由傅里叶定律求出
传热量，故求解导热问题的关键是求解物体中的温度分 布，给求解温度场。
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三、导热系数： 1.定义表达式： = - q/gradt
2.物理意义：表征物质导热能力的大小。数值上等于单位温度降度单 位时间单位面积的导热量。 3.单位：通过量纲分析有：W/m· ℃ 4.由来：一般用实验方法测得。 5.特性：λ是物性参数，它的大小起决于物质的种类和热力状态，一般 工程中仅认为与温度呈线性关系，即： = 0（a+bt） 0为0℃时导热系数 6.隔热保温材料（热绝缘材料）：室温条件下（20℃时） 值小于 0.12W/m· ℃的材料。如：岩棉、膨胀珍珠岩等。特点是：a.多为多 孔体或纤维体材料；b.间隙中多充满气体；c.严格讲不能视为连续 介质；d.间隙的无限加大并不能提高保温能力；e.湿度的增加使其 保温能力大大下降。 7. 20 ℃时典型材料的λ（W/m· ℃） 铜 399 碳钢 40 水 0.599 干空气 0.0259
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二、傅里叶（J.Fourier）定律： 1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1） a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。 等温线 b.等温线：不同的等温面与同一平 面相交，在此平面上构成的一簇曲 线。 c.特点：①不同的等温面（线）不 可能相交；②它们或者是完全封闭 的曲面（线），或者终止于物体的 边界上；③沿等温面（线）无热量 传递；④等温面（线）的疏密可直 观反映出不同区域温度梯度（或热 流密度）的相对大小。
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五、导热微分方程的单值性条件
综上所述，要完整地描述一具体的导热现象， 应有： ①适合该导热问题的导热微分方程式 ②描述该现象特性的单值性条件：a.初始条件 b.边界条件
构成对某一具体导热问题 完整的数学描述
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六、解决一具体导热问题的一般步骤： 1.写出适合于该导热问题的导热微分方程式； 2.写出该导热问题特有的单值性条件； 3.解微分方程，得到物体内的温度场； 4.据傳里叶定律，由温度场求出导热量。
2
t a t 或写成： c 2 式中▽ 为拉普拉斯运算符。上式即常用的导热微分方程。 2 t ⑴物性参数为常数且无内热源时： a t
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四、导热微分方程
5.导温系数（热扩散率） ①定义：物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于 均匀一致的能力。 ②表达式： =/c 1 2 ③单位：m /s 3 ④物理意义讲析： 常温常压下： 5 水=0.599w/m· ℃ 空=0.0259w/m· ℃ 水/空≈23 2 4 -7 2 而：水=1.43×10 m /s， 空= 2.14×10-5m2/s， 空/水≈160
上式即为一般的导热微分方程式。 若材料为常物性，即、、c均为常数，且令=/c有：
t
a

2t x 2

2t y 2
2

2t z 2
q

q c
⑵物性参数为常数且温度场稳态时： t q / 0 2 2t 2t 2t t x 2 y 2 z 2 0 ⑶温度场稳态且无内热源时： 另外可通过坐标变换，将导热微分方程写成圆柱坐标 或球坐标形式。请见式2-12，13。
A
dxdydz
x t x y t y z t z
B部：B=qvdxdydz C部：C=c· t/·dxdydz
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四、导热微分方程
据A+B=C，整理消去dxdydz有：
t t t t c x x y y z z q
一般，金属材料的λ最大，非金属固体材料次之，液体 更次之，而气体最小。
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四、导热微分方程
z 1.目的：建立物体内温 度与时间、空间的普遍 y 联系式。 z+dz x 2.原理：热力学第一定 律与傳里叶定律。 3.假定： x+dx a.物质为各向同性的连续 介质； 内热源qv dz b.已知：、、c c.有内热源qv：qv为单位 dy 体积单位时间内所产生 dx 的热量，单位为：W/m3 4.推导：如图取任一微 z 元体dv 且 dv=dxdydz， 则有：
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五、导热微分方程的单值性条件
2.边界条件： ②第二类边界条件：已知任何时刻边界面上的热流密度值， 即已知边界上的温度变化率，但并不已知温度分布，即： q|s=qw or： -t/n|s=qw/ a.稳态时：qw=常数 b.非稳态时：qw = -（t/n）|s=f（） 例如：肋片根部的边界情况即x=0处， 其热流通量具有稳定值q0，即： q0=-（t/x）|x=0 -t/x|x=0=q0/ 肋片顶部，当x=l→∞时，可忽略顶端与周围流体的换热 量，而认为此处绝热，即ql=0，此时即相于已知此处第二 类边界条件。 -t/x|x=l=0
故沿x轴方向微元体导热的净热流量为： x- x+dx=-qx/x· dxdydz 同理
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四、导热微分方程
②沿y轴方向导入微元体的净热量为： y- y+dy=-qy/y· dxdydz ③沿z轴方向导入微元体的净热量为： z- z+dz=-qz/z· dxdydz 故A部（即微元体导热的净热量）为： A=-（qx/x+qy/y+qz/z）dxdydz 据傳里叶定律有： qx=-· t/x qy=-· t/y qz=-· t/z 代入上式有：
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五、导热微分方程的单值性条件
2.边界条件： ①第一类边界条件：已知物体边界上的温度值。即t|s=tw a.稳态时，tw不随时间改变。 tw=Const or： tw=f（x,y,z） 且 （x,y,z）∈s b.非稳态时，tw随时间改变。 tw=f（x,y,z,） 且 （x,y,z）∈s 例如：一维稳态无限大平壁有： t tw1 t|x=0=tw1 tw2 x t|x==tw2 o 对于二、三维稳态温度场，因其边界面不止两个，此时 应给出各个边界面的温度值。
q x dx q x
q x x
dx
2qx x 2

dx 2
2!
x

3q x x 3

dx 3
3!

忽略高阶无穷小量，仅取级数前两项有： q 代入x+dx截面有：x+dx=qx· dydz+qx/x· dxdydz
qxdx qx
x
dx
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五、导热微分方程的单值性条件（定解条件）
使导热微分方程有唯一解的条件即为单值性条件。 1.时间条件（又称初始条件）： ①稳态导热：过程与时间无关，即t/=0，无此条件。 ②非稳态导热：即已知初始时刻物体内温度场，常写作： t|=0=f（x,y,z） 若初始时各点温度相等，则有：t|=0=t0=常数 2.边界条件：反映了导热物体边界上的温度或与边界周围 环境发生热过程的情况。往往是发生导热现象的直接原 因。常被分为第一、二、三等3类条件。
n0
பைடு நூலகம்
n
t+△t t
△ t3 △ t1 △t △ t2
t-△t
写成空间直角坐标系形式有：
gradt i
t x
t j y k
t z
q
4>.温度梯度的方向：法线方向， 指向温度升高的方向。 5>.热流密度向量：与温度梯度 的方向相反，指向温度降低 的方向。垂直于等温面 （线）。