数学建模-支持向量机
支持向量机（SVM）原理详解
⽀持向量机（SVM）原理详解SVM简介 ⽀持向量机（support vector machines, SVM）是⼀种⼆分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最⼤的线性分类器，间隔最⼤使它有别于感知机；SVM还包括核技巧，这使它成为实质上的⾮线性分类器。
SVM的的学习策略就是间隔最⼤化，可形式化为⼀个求解凸⼆次规划的问题，也等价于正则化的合页损失函数的最⼩化问题。
SVM的的学习算法就是求解凸⼆次规划的最优化算法。
⼀、⽀持向量与超平⾯在了解svm算法之前，我们⾸先需要了解⼀下线性分类器这个概念。
⽐如给定⼀系列的数据样本，每个样本都有对应的⼀个标签。
为了使得描述更加直观，我们采⽤⼆维平⾯进⾏解释，⾼维空间原理也是⼀样。
举个简单⼦：如下图所⽰是⼀个⼆维平⾯，平⾯上有两类不同的数据，分别⽤圆圈和⽅块表⽰。
我们可以很简单地找到⼀条直线使得两类数据正好能够完全分开。
但是能将据点完全划开直线不⽌⼀条，那么在如此众多的直线中我们应该选择哪⼀条呢？从直观感觉上看图中的⼏条直线，是不是要更好⼀些呢？是的，我们就是希望寻找到这样的直线，使得距离这条直线最近的点到这条直线的距离最短。
这读起来有些拗⼝，我们从如下右图直观来解释这⼀句话就是要求的两条外⾯的线之间的间隔最⼤。
这是可以理解的，因为假如数据样本是随机出现的，那么这样分割之后数据点落⼊到其类别⼀侧的概率越⾼那么最终预测的准确率也会越⾼。
在⾼维空间中这样的直线称之为超平⾯，因为当维数⼤于三的时候我们已经⽆法想象出这个平⾯的具体样⼦。
那些距离这个超平⾯最近的点就是所谓⽀持向量，实际上如果确定了⽀持向量也就确定了这个超平⾯，找到这些⽀持向量之后其他样本就不会起作⽤了。
⼆、SVM算法原理 2.1 点到超平⾯的距离公式既然这样的直线是存在的，那么我们怎样寻找出这样的直线呢？与⼆维空间类似，超平⾯的⽅程也可以写成⼀下形式：（1） 有了超平⾯的表达式之后之后，我们就可以计算样本点到平⾯的距离了。
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例子
a x12+b x22=1 [w]1 z1+ [w]2z2 + [w]3 z3+ b =0
非线性分类
设训练集 T {(xi , yi ), i 1, l}，其中 xi ([xi ]1,[xi ]2 )T , yi {1, 1} 假定可以用 ([x]1,[x]2 ) 平面上的二次曲线来划分：
i 0, i 1,, n
w
n
y这iix是i 一个凸二
i1 次规划问题
有唯一的最优
解Leabharlann (5)求解问题(5)，得。则参数对(w,b)可由下式计算：
n
w* *i yi xi i 1
b* w* n *i xi
i 1
n 2 *i yi 1
线性可分的支持向量(分类)机
于是，得到如下的决策函数：
12
45 6
求解 i (i=1, …, 5)
例子
通过二次规划求解，得到
1 0,2 2.5,3 0,4 7.333,5 4.833
– 支持向量为 {x2=2, x4=5, x5=6} 判别函数为
b 满足 f (2)=1, f (5) = -1, f (6)=1, 得到 b=9
在规范化下，超平面的几何间隔为
1 w
于是，找最大几何间隔的超平面
表述成如下的最优化问题：
min 1 w 2 w,b 2
(1)
s.t. yi ((w xi ) b) 1,i 1,, n
线性可分的支持向量(分类)机
为求解问题(1),使用Lagrange乘子法将其转化为对偶 问题。于是引入Lagrange函数：
如果想用其它的非线性分划办法，则可以考虑选择其它形式
支持向量机操作方法有哪些
支持向量机操作方法有哪些
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种分类和回归分析的机器学习模型，常用于处理二分类问题。
以下是支持向量机的一些操作方法：
1. 数据预处理：首先，需要对数据进行预处理，包括数据清洗、特征选择、特征缩放等。
2. 选择核函数：SVM可以使用不同的核函数，如线性核函数、多项式核函数、径向基函数等。
选择适合问题的核函数可以提高SVM的性能。
3. 训练模型：使用训练数据集对SVM模型进行训练，通过找到最优的决策边界（超平面）来最大程度地分割不同类别的样本。
4. 参数调整：SVM有一些重要的参数需要设置，如正则化参数C、核函数参数等。
可以使用交叉验证等技术来选择最优的参数组合。
5. 样本分类：在训练模型之后，可以使用训练好的模型对新的样本进行分类预测。
6. 模型评估：对SVM模型进行评估，包括计算准确率、精确度、召回率、F1值等指标，以及生成混淆矩阵来分析模型的性能。
7. 超参数调优：对SVM模型的超参数进行调优，可以使用网格搜索、随机搜索等方法，以获得更好的模型性能。
8. 支持向量分析：分析支持向量的分布和权重，可以帮助了解模型的决策边界和影响预测结果的重要特征。
以上是一些常见的支持向量机操作方法，具体的应用还需要根据实际问题进行调整和优化。
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回归分析
除了分类问题，SVM也可以用于 回归分析，如预测股票价格、预 测天气等。通过训练模型，SVM
能够预测未知数据的输出值。
数据降维
SVM还可以用于数据降维，通过 找到数据的低维表示，降低数据
的复杂性，便于分析和理解。
02 支持向量机的基本原理
线性可分与不可分数据
线性可分数据
在二维空间中，如果存在一条直线， 使得该直线能够将两类样本完全分开 ，则称这些数据为线性可分数据。
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目录
CONTENTS
• 引言 • 支持向量机的基本原理 • 支持向量机的数学模型 • 支持向量机的优化问题 • 支持向量机的核函数 • 支持向量机的训练和预测 • 支持向量机的应用案例 • 总结与展望
01 引言
什么是支持向量机
定义
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种监督学习算法， 用于分类和回归分析。它通过找到一个超平面来分隔数据集，使得分隔后的两 类数据点到该平面的距离最远。
支持向量机的优势和局限性
01
对大规模数据集效 率较低
对于大规模数据集，支持向量机 可能需要较长时间进行训练和预 测。
02
核函数选择和参数 调整
核函数的选择和参数调整对支持 向量机的性能有很大影响，需要 仔细选择和调整。
03
对多分类问题处理 不够灵活
对于多分类问题，支持向量机通 常需要采用一对一或一对多的策 略进行处理，可能不够灵活。
图像识别
• 总结词：支持向量机用于图像识别，通过对图像特征的提取和分类，实现图像 的自动识别和分类。
• 详细描述：支持向量机在图像识别中发挥了重要作用，通过对图像特征的提取 和选择，将图像数据映射到高维空间，然后利用分类器将相似的图像归为同一 类别，不相似图像归为不同类别。
支持向量机
支持向量机支持向量机，英文名为support vector machine，一般简称SVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划（convex quadratic programming）问题的求解,支持向量机的学习算法是求解凸二次规划的最优化算法。
其方法包含构建由简到繁的模型：线性可分支持向量机、线性支持向量机和非线性支持向量机。
线性可分支持向量机假定一特征空间上的训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x N,y N)}，其中x i∈χ= R n,y i∈Y={+1,−1}，i=1,2,⋯,N，x i为第i个特征向量，也就是实例，y i为x i的类标记，当y i=+1时，称x i为正例；当y i=−1时，称x i为负例，(x i,y i)称为样本点。
再假设训练数据集是线性可分的，即存在某个超平面能够将正例和负例完全正确的分开，不妨设分离超平面方程为w∙x+b=0，法向量为w、截距为b。
一般地，当训练数据集线性可分时，存在无穷多个分离超平面可将两类数据正确分开，线性可分支持向量机利用间隔最大化求最优分离超平面，这是解是唯一的。
若最优分离超平面为w∗∙x+b∗=0,则分类决策函数为f(x)=sign(w∗∙x+b∗)。
在上图中，有A、B、C三个点，表示三个实例，设“。
”表示正类，“×”表示负类，则这三个点全在正类。
A距分类超平面较远，若预测该点为正类就比较确信预测是正确的；C距分类超平面较近，若预测该点为负类就不那么确信；B介于AC两者之间，预测为正类的确信度也在A与C之间。
故一般来说，点距离分离超平面的远近可以表示分类预测的确信程度。
在超平面w ∙x +b =0确定的情况下，|w ∙x +b |能够相对地表示点x 到超平面的远近，而w ∙x +b 的符号与类标记y 的符号是否一致可表示分类是否正确，所以y (w ∙x +b )可以来表示分类的真确性及确信度，我们称之为函数间隔。
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REPORTING
2023
目录
• 支持向量机概述 • 支持向量机的基本原理 • 支持向量机的实现步骤 • 支持向量机的应用案例 • 支持向量机的未来发展与挑战 • 总结与展望
2023
PART 01
支持向量机概述
REPORTING
详细描述
传统的支持向量机通常是针对单个任务进行训练和预测，但在实际应用中，经常需要处理多个相关任务。多任务 学习和迁移学习技术可以通过共享特征或知识，使得支持向量机能够更好地适应多个任务，提高模型的泛化性能。
深度学习与神经网络的结合
总结词
将支持向量机与深度学习或神经网络相结合，可以发挥各自的优势，提高模型的性能和鲁棒性。
模型训练
使用训练集对支持向量机模型进行训练。
参数调整
根据验证集的性能指标，调整模型参数，如惩罚因子C和核函数类 型等。
模型优化
采用交叉验证、网格搜索等技术对模型进行优化，提高模型性能。
模型评估与调整
性能评估
使用测试集对模型进行 评估，计算准确率、召 回率、F1值等指标。
模型对比
将支持向量机与其他分 类器进行对比，评估其 性能优劣。
模型调整
根据评估结果，对模型 进行调整，如更换核函 数、调整参数等，以提 高性能。
2023
PART 04
支持向量机的应用案例
REPORTING
文本分类
总结词
利用支持向量机对文本数据进行分类 ，实现文本信息的有效管理。
详细描述
支持向量机在文本分类中发挥了重要 作用，通过对文本内容的特征提取和 分类，能够实现新闻分类、垃圾邮件 过滤、情感分析等应用。
支持向量机模型
⽀持向量机模型⽀持向量机模型(SVM)是⼀个⼆分类模型，基本思想是求解能够正确划分训练数据集并且⼏何间隔最⼤的分离超平⾯，其学习策略便是间隔最⼤化，最终化为⼀个凸⼆次规划问题的求解。
SVM可分为线性可分⽀持向量机、线性⽀持向量机和⾮线性⽀持向量机。
算法推导1. 线性可分⽀持向量机引⼊函数间隔和⼏何间隔线性向量机的基本思想是硬间隔最⼤化，即：\begin{aligned} \max_{w,b} \ \ \ \ &γ\\ s.t.\ \ \ \ \ &y_i·\frac{1}{||w||} ·(w·x_i+b)≥γ，i=1,2,…,N \end{aligned}即：\begin{aligned} \max_{w,b} \ \ \ \ &\frac{ŷ}{||w||}\\ s.t.\ \ \ \ \ &y_i·(w·x_i+b)≥ŷ，i=1,2,…,N \end{aligned}取ŷ=1，得\begin{aligned} \min_{w,b} \ \ \ \ &\frac{1}{2}{||w||}^2\\ s.t.\ \ \ \ \ &y_i·(w·x_i+b)-1≥0，i=1,2,…,N \end{aligned}这是⼀个凸⼆次规划问题，通过引⼊拉格朗⽇乘⼦法，构建拉格朗⽇对偶函数，通过求其对偶函数的解，从⽽得到原始问题的最优解。
定义拉格朗⽇函数：L(w,b,α)= \frac{1}{2}{||w||}^2-\sum_{i=1}^N{α_iy_i (w·x_i+b)}+\sum_{i=1}^N{α_i}其中，α={(α_1,α_2,…,α_N)}^T为拉格朗⽇乘⼦向量，α_i≥0，i=1,2,…,N原始问题的对偶问题是极⼤极⼩问题：\max_α{\min_{w,b} L(w,b,α)}求解对偶问题求\min_{w,b} L(w,b,α)分别对w,b求偏导数并令其为0：\begin{aligned} \nabla_w L(w,b,α)=w-\sum_{i=1}^N{α_i y_i x_i}=0 \\ \nabla_b L(w,b,α)=\sum_{i=1}^N{α_i y_i}=0 \end{aligned}得\begin{aligned} w=\sum_{i=1}^N{α_i y_i x_i} \\ \sum_{i=1}^N{α_i y_i}=0 \end{aligned}代⼊拉格朗⽇函数，得L(w,b,α)= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N α_i α_j y_i y_j (x_i·x_j+b)-\sum_{i=1}^N{α_i y_i ((\sum_{j=1}^N{α_j y_jx_j})·x_i+b)}+\sum_{i=1}^Nα_i= -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N α_i α_j y_i y_j (x_i·x_j)+\sum_{i=1}^Nα_i即\min_{w,b} L(w,b,α) = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N α_i α_j y_i y_j (x_i·x_j)+\sum_{i=1}^Nα_i求\min_{w,b} L(w,b,α)对α的极⼤:\max_{α}\ \ \ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N α_i α_j y_i y_j (x_i·x_j)+\sum_{i=1}^Nα_is.t.\ \ \ \sum_{i=1}^N{α_i y_i}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ α_i≥0，i=1,2,…,N即：\min_{α}\ \ \ \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N α_i α_j y_i y_j (x_i·x_j)-\sum_{i=1}^Nα_is.t.\ \ \ \sum_{i=1}^N{α_i y_i}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ α_i≥0，i=1,2,…,N求得最优解1\alpha^x={({\alpha_1}^x,{\alpha_2}^x,…,{\alpha_N}^x)}^{T}计算w^*=\sum_{i=1}^N {α_i}^x y_i x_i并选择α^x的⼀个正分量{α_j}^x>0，计算b^x=y_i-\sum_{i=1}^N {α_i}^x y_i (x_i·x_j)求得分类决策函数：f(x)=sign(w^x·x+b^x)可知w^x，b^x只依赖训练数据中对应于{α_i}^x>0的样本点(x_i,y_i)，⽽其他样本点对w^x，b^x没有影响。
31、支持向量机(数学建模)
min
yi = −1
ω
=
ω
，
则普通支持向量间的间隔为
2
ω
。最优超平面即意味着最大化
2
ω
。如图 2 所示
图 2 线性可分支持向量分类机
(ω ⋅ x) + b = ±1 称为分类边界，于是寻找最优超平面的问题可以转化为如下的二次规
划问题
min s.t.
该问题的特点是目标函数 引入 Lagrange 函数
i =1
l
T = {( x1,y1 ), ( x2 ,y2 ),L, ( xl ,yl )} ∈ ( X × Y )l
从而对未知样本进行分类，可见当 C = ∞ 时，就等价于线性可分的情形。 1.3 可分支持向量分类机 当训练集 T 的两类样本点集重合的区域很大时，上述用来处理线性不可分问题的 线性支持向量分类机就不可用了， 可分支持向量分类机给出了解决这种问题的一种有效 途径。通过引进从输入空间 X 到另一个高维的 Hilbert 空间 H 的变换 x a ϕ ( x) ; b ≥ ε ， ∀xi ∈ M + 且 (ω ⋅ xi ) + b ≤ −ε ， ∀xi ∈ M − . 而正类点集的凸包中的任意一点 x 和负类点集的凸包中的任意一点 x' 可分别表示为
x = ∑ α i xi 和 x' = ∑ β j x' j
i =1 N− j =1 N+ N−
T = {( x1,y1 ), ( x2 ,y2 ), L , ( xl ,yl )} ∈ ( X × Y ) l ，
其中 xi ∈ X = R ， X 称为输入空间，输入空间中的每一个点 xi 由 n 个属性特征组成，
n
使用支持向量机模型进行模型解释的技巧(八)
使用支持向量机模型进行模型解释的技巧支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种机器学习算法，常用于分类和回归问题。
它在处理非线性和高维数据时表现出色，因此在许多领域得到广泛应用。
然而，SVM模型通常被认为是“黑盒”模型，难以解释其预测结果。
在实际应用中，我们往往需要对模型进行解释，以了解模型对特征的重要性和预测的依据。
本文将介绍使用支持向量机模型进行模型解释的技巧。
特征重要性分析在解释SVM模型之前，首先需要了解模型中各个特征的重要性。
一种常见的方法是使用SVM的系数和支持向量来衡量特征的重要性。
系数表示了模型对特征的权重，而支持向量则是决定了模型的分隔超平面的关键样本点。
通过分析系数和支持向量，可以得知哪些特征对模型的预测结果影响较大。
另一种方法是使用特征重要性评估算法，如基于树的算法（如随机森林）或基于模型的算法（如SHAP）。
这些算法可以在不同程度上衡量各个特征对SVM模型的影响，从而帮助理解模型的决策过程。
局部解释与全局解释SVM模型的解释可以分为局部解释和全局解释。
局部解释指的是针对单个样本的解释，可以帮助理解模型是如何做出特定预测的。
全局解释则是对整个模型的解释，可以揭示模型对所有样本的整体决策规则。
在进行局部解释时，可以使用局部解释方法，如LIME（Local Interpretable Model-agnostic Explanations）或SHAP值来解释单个样本的预测结果。
这些方法能够以可解释的方式描述模型在特定样本上的决策依据，帮助用户理解模型的预测逻辑。
而在进行全局解释时，可以使用全局解释方法，如模型特征重要性排序、决策规则可视化或特征重要性的统计分析。
这些方法可以帮助用户全面了解模型的决策逻辑，从而更好地理解模型对输入特征的整体依赖关系。
交互式可视化在解释SVM模型时，交互式可视化是一种有力的工具。
通过交互式可视化，用户可以自由地探索模型的决策过程和特征之间的关系，从而更加直观地理解模型的预测逻辑。
数学建模优秀讲座之支持向量机
输出model
model= Parameters: [5x1 double]
nr_class: 2 totalSV: 4 rho: -0.1835 Label: [2x1 double] ProbA: [] ProbB: [] nSV: [2x1 double] sv_coef: [4x1 double] SVs: [4x2 double]
► data=[178 70;180 80;161 45;163 47]; ► 在label中存入男女的类别（1，-1） ► label=[1;1;-1;-1]; ► 上面的data矩阵中，行数4代表有4个样本，列数2表示属
性（维数）有两个，label就是分类的类别。
2015年2月3日
►有了上面的属性矩阵data，和分类矩阵 label就可以利用libsvm建立分类模型了。
支持支向持量向量机机 （svm） Support Vector Machines.SVM
2015年2月3日
目录
►Svm简介 ►Libsvm工具箱 ►Svm原理
2015年2月3日
Svm简介
►Svm是解决高维数据匮乏分类和回归问题 的（目前就只知道svm解决分类和回归）
支持向量
2015年2月3日
►Svm由Vapnik首先20世纪90年代提出。
►Svm主要思想：找到一个超平面，使得它能够尽 可能多的将两类数据点正确地分开，同时使分开 的两类数据点距离分类面最远。
►Svm优点： ►1.通用性 ►2.鲁棒性(是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维
持其它某些性能的特性)
►3.有效性 ►4.计算简单 ►5.理论完善（统计学）
2015年2月3日
2015年2月3日
支持向量机的应用实例
支持向量机的应用实例1. 什么是支持向量机（SVM）？支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，经常被用于分类和回归问题。
SVM的基本思想是找到一个最优的超平面，将不同类别的数据点分开。
在支持向量机中，数据点被看作是一个n维空间中的向量，而分类的目标就是找到一个超平面，使得不同类别的数据点被最大间隔分开。
2. SVM的应用领域SVM在许多领域都有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的SVM应用实例。
2.1 文本分类在文本分类中，SVM可以用来自动将文本分成不同的类别。
例如，可以用SVM将新闻文章分成体育、娱乐、科技等类别。
SVM可以通过将文本表示为词袋模型或者TF-IDF等特征表示方法，然后训练一个分类器来实现文本分类。
这个过程可以分为以下几个步骤： - 数据预处理：对文本进行清洗、分词、去除停用词等处理。
- 特征提取：将文本转换成数值向量表示。
常用的方法有词袋模型、TF-IDF等。
- 训练模型：使用SVM算法训练一个分类器。
- 测试和评估：使用测试集对分类器进行评估，计算准确率、召回率等指标。
2.2 图像分类SVM也可以用于图像分类任务。
图像分类是指将图像分成不同的类别，例如人脸识别、物体识别等。
SVM可以通过提取图像的特征向量，然后利用这些特征向量进行分类。
常用的图像分类流程如下： - 数据预处理：对图像进行预处理，例如调整大小、灰度化等。
- 特征提取：提取图像的特征向量，可以使用灰度直方图、方向梯度直方图等方法。
- 训练模型：使用SVM算法训练一个分类器。
- 测试和评估：使用测试集对分类器进行评估，计算准确率、召回率等指标。
2.3 异常检测SVM还可以应用于异常检测，即通过训练一个SVM模型，可以检测出与其他样本不同的异常样本。
在异常检测中，SVM可以识别出那些与正常样本最不相似的样本。
常见的异常检测流程如下： - 数据预处理：对数据进行预处理，例如去除噪声、归一化等。
数学建模-支持向量机
“过学习问题”：某些情况下，当训练误差过 小反而会导致推广能力的下降。 例如：对一组训练样本(x,y),x分布在实数范 围内，y取值在[0，1]之间。无论这些样本是 由什么模型产生的，我们总可以用y=sin(w*x) 去拟合，使得训练误差为0.
SVM
由于SVM 的求解最后转化成二次规划问题的求解， 因此SVM 的解是全局唯一的最优解 SVM在解决小样本、非线性及高维模式识别问题中 表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟 合等其他机器学习问题中 Joachims 最近采用SVM在Reuters-21578来进行文本 分类，并声称它比当前发表的其他方法都好
①增、删非支持向量样本对模型没有影响; ②支持向量样本集具有一定的鲁棒性; ③有些成功的应用中,SVM 方法对核的选取不敏感。
超平面
方程g(x)=0定义了一个判定面，它把归类于C1的点与归 类于C2的点分开来。 当 g(x) 是 线 性 函 数 时 ， 这 个 平 面 被 称 为 “ 超 平 面”(hyperplane)。 当x1和x2都在判定面上时，
这表明w和超平面上任意向量正交， 并称w为超平面的法向量。 注意到：x1-x2表示 超平面上的一个向量
支持向量机
核函数的选择
SVM方法的特点
① 非线性映射是SVM方法的理论基础,SVM利用内积核函 数代替向高维空间的非线性映射; ② 对特征空间划分的最优超平面是SVM的目标,最大化 分类边际的思想是SVM方法的核心; ③ 支持向量是SVM的训练结果,在SVM分类决策中起决定 作用的是支持向量。
所谓最优分类线就是要求分类线不 但能将两类正确分开(训练错误率 为0),而且使分类间隔最大. 推广到高维空间，最优分类线就变 为最优分类面。
支持向量机课件
支持向量机（SVM ）最优分类面SVM 是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的, 基本思想可用图中的 两维情况说明.所谓最优分类线就是要求分类线不但能将两类正确分开(训练错误率为0),而且使分类间隔最大，推广到高维空间，最优分类线就变为最优分类面。
设线性可分的样本集(),,1,,,i i x y i n ={},1,1d x R y ∈∈+-，d 维空间中的线性判别函数：()g x wx b =+，分类面方程为0wx b +=我们可以对它进行归一化，使得所有样本都满足()1g x ≥，即使离分类面最近的样本满足()1g x =，这样分类间隔就等于2w 。
因此要求分类间隔最大，就是要求w （或2w ）最小。
要求分类线对所有样本正确分类时，对于任意学习样本()n n y X ，其分布必然在直线1H 之上或直线2H 之下。
即有()()121;1, 1;1, n n n n n n n n g b y C g b y C ⎧=⋅+≥=∈⎨=⋅+≤-=-∈⎩X W X X X W X X 将以上两式合并，有1n n y b ⋅⎡⋅+⎤≥⎣⎦W X就是要求满足[]10n n y wx b +-≥，1,,,i n =图中, 方形点和圆形点代表两类样本, H 为分类线,H1, H2分别为过各类中离分类线最近的样本且平行于分类线的直线, 它们之间的距离叫做分类间隔(margin)。
所谓最优分类线就是要求分类线不但因此，满足上述公式且使2w 最小的分类面就是最优分类面。
过两类样本中离分类面最近的点且平行于最优分类面的超平面1H ，2H 上的训练样本，就是使上式等号成立的那些样本，它们叫做支持向量。
因为它们支撑了最优分类面。
下面看如何求解最优分类面，由上面的讨论，最优分类面问题可以表示成如下的约束问题，即在条件（1）的约束下，求函数：21()2w w φ= （2） 的最小值，这里目标函数中的21没有其他意义，只是为了下一步导出求解方法时方便。
《支持向量机》课件
优化算法
梯度下降法
优化算法使用梯度下降法来迭代更新 超平面的参数，使得分类器的分类效 果不断优化。在每次迭代中，算法计 算当前超平面的梯度并沿着负梯度的 方向更新参数。
核函数参数
对于非线性支持向量机，核函数的参数决定了数据映射到特征空间的复杂度。选择合适的核函数参数可以使分类 器更好地适应数据特性。常见的核函数参数包括多项式核的阶数和RBF核的宽度参数σ。
04
支持向量机的扩展与改进
多分类支持向量机
总结词
多分类支持向量机是支持向量机在多分类问题上的扩展，通过引入不同的策略，将多个分类问题转化 为二分类问题，从而实现对多类别的分类。
金融风控
用于信用评分、风险评估等金融领域。
02
支持向量机的基本原理
线性可分支持向量机
01
线性可分支持向量机是支持向量机的基本形式，用 于解决线性可分问题。
02
它通过找到一个超平面，将不同类别的数据点分隔 开，使得正例和反例之间的间隔最大。
03
线性可分支持向量机适用于二分类问题，且数据集 线性可分的情况。
计算效率高
支持向量机采用核函数技巧，可以在低维空间中 解决高维问题，从而减少计算复杂度。
支持向量机的应用场景
文本分类
利用支持向量机对文本数据进行分类，如垃 圾邮件识别、情感分析等。
生物信息学
支持向量机在基因分类、蛋白质功能预测等 方面具有重要价值。
图像识别
在图像分类、人脸识别等领域，支持向量机 也得到了广泛应用。
03
支持向量机求超平面例题
支持向量机求超平面例题
（最新版）
目录
1.支持向量机简介
2.求超平面的步骤
3.例题解析
4.总结
正文
一、支持向量机简介
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种经典的二分类
机器学习算法，由统计学家瓦普尼克和科尔特斯于 1964 年提出。
它的基本思想是找到一个最佳超平面，使得两个类别之间的距离（即几何间隔）最大化。
支持向量机广泛应用于模式识别、图像识别、文本分类等领域。
二、求超平面的步骤
1.收集数据并进行预处理，为求解超平面做准备。
2.确定超平面的类型，即线性超平面或非线性超平面。
3.计算数据集中各个样本到超平面的几何间隔，找到支持向量。
4.根据间隔和支持向量，求解超平面的参数。
5.使用求得的超平面对数据进行分类。
三、例题解析
假设我们有一个二维数据集，其中类别 1 的样本分布在中心为 (1,1) 的圆内，类别 2 的样本分布在中心为 (-1,-1) 的圆内。
现在需要找到一
个超平面，使得两个类别之间的距离最大化。
1.确定超平面类型。
由于数据集中存在线性可分的情况，我们选择线性超平面。
2.计算几何间隔。
支持向量机模型的权重处理技巧
支持向量机（SVM）是一种常用的监督学习模型，在分类和回归问题中都有广泛的应用。
它通过寻找一个超平面来分离不同类别的数据点，使得两个类别的数据点间隔最大化。
在实际应用中，往往需要对SVM模型的权重进行处理，以提高模型的性能和泛化能力。
本文将探讨一些支持向量机模型的权重处理技巧。
特征缩放在使用SVM模型进行数据建模之前，首先需要对数据进行预处理。
其中一个重要的预处理步骤就是特征缩放。
特征缩放可以确保不同特征的数值范围相似，这样可以使得模型训练过程更加稳定和快速。
常用的特征缩放方法包括标准化和归一化。
标准化将数据按特征的均值和标准差进行缩放，而归一化则将数据缩放到指定的范围内。
特征缩放可以有效地提高支持向量机模型的训练速度和性能。
核函数选择支持向量机模型可以通过核函数将输入空间映射到一个高维空间，从而使得数据在高维空间中更容易分离。
常用的核函数包括线性核、多项式核和高斯核等。
选择合适的核函数对模型的性能有着重要的影响。
在实际应用中，需要根据数据的特点和实际需求选择合适的核函数。
例如，对于非线性可分的数据，可以选择高斯核函数；而对于线性可分的数据，则可以选择线性核函数。
合理选择核函数可以提高支持向量机模型的分类准确率和泛化能力。
类别不平衡处理在一些实际应用中，数据集中不同类别的样本数量可能存在较大的差异，即类别不平衡问题。
这时，需要采用一些处理技巧来提高支持向量机模型在类别不平衡数据上的性能。
常用的处理技巧包括过采样和欠采样。
过采样通过增加少数类样本的数量来平衡类别比例，而欠采样则通过减少多数类样本的数量来平衡类别比例。
在使用支持向量机模型处理类别不平衡数据时，需要根据数据的特点选择合适的处理技巧，以提高模型的性能和泛化能力。
正则化参数选择支持向量机模型中的正则化参数对模型的性能有着重要的影响。
正则化参数可以控制模型的复杂度，避免过拟合或者欠拟合。
在实际应用中，需要通过交叉验证等方法选择合适的正则化参数。
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多类的情况
利用线性判别函数设计多类分类器有多种方 法。例如
可以把k类问题转化为k个两类问题，其中第i 个问 题是用线性判别函数把属于Ci类与不属于Ci类的点 分开。 更复杂一点的方法是用k(k-1)/2个线性判别函数， 把样本分为k个类别，每个线性判别函数只对其中 的两个类别分类。
广义线性判别函数
总之：
线性判别函数利用一个超平面把 线性判别函数利用一个超平面把 特征空间分隔成两个区域。 特征空间分隔成两个区域。 超平面的方向由法向量 确定， 超平面的方向由法向量w确定 超平面的方向由法向量 确定， 它的位置由阈值w 确定。 它的位置由阈值 0确定。 判别函数 判别函数g(x)正比于 点到超平面 正比于x点到超平面 判别函数 正比于 的代数距离（带正负号）。 点 ）。当 的代数距离（带正负号）。当x点 在超平面的正侧时， 在超平面的正侧时，g(x)>0；当x ； 点在超平面的负侧时， 点在超平面的负侧时，g(x)<0
SVM 是一种有坚实理论基础的新颖的小样本学习方法。它基本上不 涉及概率测度及大数定律等,因此不同于现有的统计方法。从本质上 看,它避开了从归纳到演绎的传统过程,实现了高效的从训练样本到预 报样本的“转导推理”(transductive inference) ,大大简化了通常 的分类和回归等问题。
SVM方法的特点
过学习问题
“过学习问题”：某些情况下，当训练误差过 过学习问题” 过学习问题 小反而会导致推广能力的下降。 例如：对一组训练样本(x,y),x分布在实数范 围内，y取值在[0，1]之间。无论这些样本是 由什么模型产生的，我们总可以用y=sin(w*x) 去拟合，使得训练误差为0.
SVM
由于SVM 的求解最后转化成二次规划问题的求解， 因此SVM 的解是全局唯一的最优解 SVM在解决小样本、非线性及高维模式识别问题中 在解决小样本、 在解决小样本 表现出许多特有的优势， 表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟 合等其他机器学习问题中 Joachims 最近采用SVM在Reuters-21578来进行文本 分类，并声称它比当前发表的其他方法都好
广义线性判别函数
广义线性判别函数
设计线性分类器
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SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机
最优分类面
SVM 是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的, 基本思想可用图2的两维情况说明.
图中, 方形点和圆形点代表两类样 本, H 为分类线,H1, H2分别为过 各类中离分类线最近的样本且平行 于分类线的直线, 它们之间的距离 叫做分类间隔(margin)。 所谓最优分类线就是要求分类线不 但能将两类正确分开(训练错误率 为0),而且使分类间隔最大. 推广到高维空间，最优分类线就变 为最优分类面。
这表明w和超平面上任意向量正交， 并称w为超平面的法向量。 注意到：x1-x2表示 超平面上的一个向量
判别函数g(x)是特征空间中某点 到超平面的距离的一种代 是特征空间中某点x到超平面的距离的一种代 判别函数 是特征空间中某点 数度量
从下图容易看出
x = x
p
w + r || w ||
上式也可以表示为： r= g(x)/||w||。当x=0时，表示原 点到超平面的距离，r0= g(0)/||w||=w0/||w||，标示在上 图中。
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SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机
线性判别函数和判别面
一个线性判别函数(discriminant function)是指 由x的各个分量的线性组合而成的函数
g ( x ) =为
如果g(x)>0，则判定x属于C1， 如果g(x)<0，则判定x属于C2， 如果g(x)=0，则可以将x任意 分到某一类或者拒绝判定。
最优分类面
如何求最优分类面
最优分类面
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SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机
支持向量机
上节所得到的最优分类函数为：
f ( x) = sgn{w* x + b*} = sgn{∑ i =1α i* yi ( xi i x) + b*}
k
该式只包含待分类样本与训练样本中的支持向量的内积 运算，可见,要解决一个特征空间中的最优线性分类问题, 我们只需要知道这个空间中的内积运算即可。 对非线性问题, 可以通过非线性变换转化为某个高维空间 中的线性问题, 在变换空间求最优分类面. 这种变换可能 比较复杂, 因此这种思路在一般情况下不易实现.
支持向量机
support vector machine，SVM
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SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机
SVM的理论基础
传统的统计模式识别方法只有在样本趋向无穷大时， 其性能才有理论的保证。统计学习理论（STL）研究有 限样本情况下的机器学习问题。SVM的理论基础就是 统计学习理论。 传统的统计模式识别方法在进行机器学习时，强调经 验风险最小化。而单纯的经验风险最小化会产生“过 学习问题”，其推广能力较差。 推广能力是指: 将学习机器(即预测函数,或称学习函 推广能力 数、学习模型)对未来输出进行正确预测的能力。
SVM 的最终决策函数只由少数的支持向量所确定,计算的 复杂性取决于支持向量的数目,而不是样本空间的维数, 这在某种意义上避免了“维数灾难”。 少数支持向量决定了最终结果,这不但可以帮助我们抓住 关键样本、“剔除”大量冗余样本,而且注定了该方法不 但算法简单,而且具有较好的“鲁棒”性。这种“鲁棒” 性主要体现在:
在一维空间中，没有任何一个线性函数能解决下述 划分问题（黑红各代表一类数据），可见线性判 别函数有一定的局限性。
广义线性判别函数
如果建立一个二次判别函数g(x)=(x-a)(x-b)，则可以很好 的解决上述分类问题。 决策规则仍是：如果g(x)>0，则判定x属于C1，如果 g(x)<0，则判定x属于C2，如果g(x)=0，则可以将x任意分 到某一类或者拒绝判定。
线性判别函数
下图表示一个简单的线性分类器，具有d个输入的单元，每个对应一个输入向量 在各维上的分量值。该图类似于一个神经元。
g ( x ) = wT x + w0
超平面
方程g(x)=0定义了一个判定面，它把归类于C1的点与归 类于C2的点分开来。 当 g(x) 是 线 性 函 数 时 ， 这 个 平 面 被 称 为 “ 超 平 面”(hyperplane)。 当x1和x2都在判定面上时， x x
支持向量机
核函数的选择
SVM方法的特点
① 非线性映射是SVM方法的理论基础,SVM利用内积核函 数代替向高维空间的非线性映射; ② 对特征空间划分的最优超平面是SVM的目标,最大化 分类边际的思想是SVM方法的核心; ③ 支持向量是SVM的训练结果,在SVM分类决策中起决定 作用的是支持向量。
①增、删非支持向量样本对模型没有影响; ②支持向量样本集具有一定的鲁棒性; ③有些成功的应用中,SVM 方法对核的选取不敏感。