2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案

合集下载

第十九讲排列组合与二项式自主招生

第十九讲排列组合与二项式【知识引入】1.分类加法原理（加法原理）:12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）:12n N m m m =⨯⨯⨯.3.排列数公式:m n P =)1()1(+--m n n n =!()!n n m -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.排列恒等式：（1）11m m n n P nP --=；（2）11n n n n n n nP P P ++=-；（3）11m m m n n nP P mP -+=+； (4) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.5.组合数公式：m n C=m n mm P P =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=!!()!n m n m ⋅-(*n N ∈，m N ∈，且m n ≤). 6.组合数的两个性质：(1)m n C =mn nC - ； (2) m n C +1-m nC =m n C 1+；注:规定10=n C .7.组合恒等式（1）11mm nn n C C m --=；（2）∑=nr r n C 0=n 2；（3）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；(4)13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=；(5)1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅；(6)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ ；8.排列数与组合数的关系：!mmn n P m C =⋅ .9.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式：r rn r n r b aC T -+=1)210(n r ，，，=.【知识拓展】1.几个基本组合恒等式：①k n k n n C C -=；②111k k k n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④012nn n n n C C C +++=；⑤02413512n n n nn n nC C C C C C-+++=++=；⑥0qk q k qn m m n k C C C -+==∑（范德蒙公式）。

2011北大自主招生数学详解版

（ⅰ）若 C 与 C1 ， C2 都外切，则 CC1 r1 r ， CC2 r2 r ，所以 CC1 CC2 r1 r2 ；若 C 与 C1 ， C2 都内切，则 CC1 r r1 ， CC2 r r2 ，所以 CC2 CC1 r1 r2 ；所以 CC2 CC1 r1 r2 C1C2 ，由双曲线的定义， C 的圆心的轨迹是以 C1 ， C2 为焦点、实轴长为（ⅱ）若 C 与 C1 内切， C2 外切，则 CC1 r r1 ， CC2 r2 r ， r1 r2 的双曲线；所以 CC2 CC1 r1 r2 ；若 C 与 C1 外切， C2 内切，则 CC1 r r1 ， CC2 r r2 ，所以 CC1 CC2 r1 r2 ；所以 CC2 CC1 r1 r2 C1C2 ，由双曲线的定义， C 的圆心的轨迹是以
值为何？解由 a7 a3 4d 可得公差 d 4 , 从而 a1 21 . 令 21 4( x 1) 0 得 x 6.25 , 故 {an } 从第 7 项开始为正, 所以 {S n } 的最小项为 S6 66 . 4. 在 ABC 中， a b 2c ，求证： C 60 . 证根据正弦定理有 sin A sin B 2sin C , 从而有
2011 年北约等十三校联考自主招生数学试卷厦门一中徐小平
1. 已知平行四边形的其中两条边长为 3 和 5，一条对角线长为 6，求另一条对角线长. 解一 (引理) 平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和. 另一对角线长为
2(32 52 ) 62 4 2 . C B 解二如图, 设 AB 3 , AD 5 , BD 6 , 则据余弦定理有 2 2 2 2 AB AD cos A AB AD BD 2 , 于是 AC 2 DC 2 AD 2 2 DC AD cos CDA D A 32 52 2 AB AD cos A 32 , 从而 AC 4 2 . 2 2 2. 求过抛物线 y 2 x 2 x 1 和 y 5 x 2 x 3 的交点的直线方程. 解由上述两方程消去二次项可得 6 x 7 y 1 0 , 此即为过两抛物线交点的直线方程. 3. 在等差数列 {an } 中， a3 13, a7 3 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求数列 {S n } 的最小项，并指出其

2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答

Ａ２１；Ｂ２０；Ｃ１９；Ｄ１８４．解法１根据ａ＋ｂ≥２ｃ，并运用正弦定理得ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ≥２ｓｉｎＣ，则
４ｓｉｎ２Ｃｃｏｓ２Ｃ＝２ｓｉｎＣ≤ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝
的方程．
｛ｙ＝２ｘ２－２ｘ－１，
解法２联立方程组
消去ｙ＝－５ｘ２＋２ｘ＋３．
２０１１×｜ｘ－２０１１１｜＝｜ｘ－１｜＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２１｜）＋
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜）＋ … ＋
（｜ｘ－２０１１１｜＋｜ｘ－２０１１１｜＋ … ＋｜ｘ－２０１１１｜）＝
（｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２０１１１｜）＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２０１１１｜）＋
（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２０１１１｜）＋（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２０１１１｜）＋
其２个交点为Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．代入点Ａ的坐
标
得
烄ｙ１烅烆ｙ１
＝２ｘ１２－２ｘ１－１，＝－５ｘ２１＋２ｘ１＋３．
① ②
①×５＋②×２得７ｙ１＝－６ｘ１＋１，即６ｘ１＋７ｙ１－１
＝０．同理得６ｘ２＋７ｙ２－１＝０．
所以，两交点Ａ、Ｂ都在直线６ｘ＋７ｙ－１＝０上，
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２０１１１｜）＋ …
（※）
其中共有（１＋２＋３＋ … ＋２０１１）÷２＝５０３×２０１１
解法２设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则３＝ａ７＝ａ３＋４ｄ＝－１３＋４ｄ，解得ｄ＝４＞０，则通项
ａｎ＝ａ３＋（ｎ－３）ｄ＝４ｎ－２５．令ａｎ＝４ｎ－２５＜０，得正整数ｎ≤６，则
ａ１＜ａ２＜…＜ａ５＜ａ６＜０＜ａ７＜…，Ｓ１＞Ｓ２＞…＞Ｓ５＞Ｓ６＜Ｓ７＜Ｓ８＜…．所以，数列Ｓ１，Ｓ２，…中的第６项最小，最小值为

2011华约自主招生数学题及解答

AB CO D E 2011华约自主招生数学题及解答∎1：设复数z 满足|z|<1，且|z ̅+1z |=52，则|z|=( ) A.54 B.34 C.23 D.12 解：|zz+1z |=52，||z|2+1|=52|z|，2|z|2−5|z |+2=0，(|z|−2)(2|z|−1)=0，∴|z|=12。

选D∎2：一个正四棱锥P-ABCD ，侧面与底面所成二面角的正切为√2，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，则异面直线DM 与AN 夹角θ的余弦值为（）A.13B.16C.18D.112 解：建坐标系，设A(1,−1,0)，B(1,1,0)，C(−1,1,0)，D(−1,−1,0)，则P(0,0,√2)，M(12,−12,√22)， N(12,12,√22)，DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(32,12,√22)，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,32,√22)，∴cos θ=12√3√3=16。

选B∎3：过点(−1,1)的直线ℓ与曲线,y=x 3−x 2−2x +1相切，且(−1,1)不是切点，则直线ℓ的斜率是（）A.2B.1C.−1D.−2解：设切点(x 0,x 03−x 02−2x 0+1)，y ′=3x 02−2x 0−2，所以x 03−x 02−2x 0x 0+1=3x 02−2x 0−2，可得x 0=1，所以k=−1. 选C ∎4：若A+B=2π3，则cos 2A +cos 2B 的最小值和最大值分别为（）A.1−√32, 32B.12,32 C.1−√32, 1+√32D.12,1+√22解：cos 2A +cos 2B =1+cos2A2+1+cos2B2=1+12(cos2A +cos2B)=1+cos(A+B)cos(A −B)=1−12cos (A −B)，当A −B=0时，1−12cos (A −B)=12，当A −B=π时，1−12cos (A −B)=32。

2011北约自主招生文科数学试题

2011北约自主招生文科数学试题1、（三函\解几）已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。

2、（解几\方程）求过抛物线Y=2X^2-2X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。

3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。

问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。

4、（三函\不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。

5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。

2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。

当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。

3、常规题。

先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。

4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。

5、尚未解出。

数论问题对高中文科生来说还是难了一点……面试题1、最刁钻的问题：火车开车前为什么会先退一步然后再前进？在采访了物理老师之后，得出的结论是：通常情况下,火车各节车厢之间的挂钩拉得很紧,牵引力必须克服整列火车与铁轨的最大静摩擦力才能启动。

(自主招生培训)第一讲：立体几何

第一讲：立体几何第一部分：立体几何中的一些结论1、如图1，分别在两条异面直线上的两点间的距离公式：l =θ为两条异面直线所成的角．2、如图2，PA 与平面π所成的角是PAO α=∠，AQ ⊆面π，QAO β=∠，QAP θ=∠，则得三线角定理：cos cos cos θαβ=．3、如图3，在二面角12l ππ--中，射线DA 、DB 分别在平面1π、2π内，已知ABD θ∠=，ADC α∠=，BDC β∠=，且θ、α、β都是锐角，ϕ是二面角12l ππ--的平面角，则cos cos cos cos sin sin θαβϕαβ-=．4、如图4，二面角12l ππ--的大小为ϕ，A ∈面1π，B ∈面2π，AB 与面1π和面2π所成的角分别为α、β，点A 、B 到棱l 的距离分别为b 、a ，AB c =，则sin sin sin a b cαβϕ==． 5、欧拉定理：设V 、E 和F 分别表示凸多面体的顶点、棱（或边）、面的个数，则2V E F -+=． 6、类比平面几何中的三角形，可以得到空间四面体的一些性质：（1）四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫四面体的外接球球心；A BM Ndlm n ABM Ndl m n图1PAQO图2lBA D1π2π图3ClBAD1π 2π图4Cr 、S 分别表示四面体的体积、内切球半径、表面积，则13V rS =；（3）四面体的四个面的重心与相对顶点的连线交于一点，这一点叫四面体的重心，四面体的四个面的重心与相对顶点的连线段被四面体的重心分为3:1；（4）每个四面体都有外接球和内切球；7、直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，以长方体的共顶点的三条棱的端点为顶点的四面体是直角四面体．对于直角四面体A BCD -，若直三面角的顶点为A ，互相垂直的三条棱长为a 、b 、c ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，则有如下结论：（1）空间勾股定理：22222222221()4ABC ACD ABD BCD S S S S a b b c a c ∆∆∆∆++==++；（2）ABC ACD ABD BCD S S S S r a b c ∆∆∆∆++-=++；（3）R =；（4）直角四面体的对棱中点的连线长相等，且等于外接球半径；8、等腰四面体：三组对棱都相等的四面体统称为等腰四面体，以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，正四面体是特殊的等腰四面体（犹如平几中等腰三角形与等边三角形的关系）；在等腰四面体ABCD 中，记BC AD a ==，AC BD b ==，AB CD c ==，体积为V ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，高为h ，则有：（1）V 22222a b c k ++=；（2）R =（3）4h r =；（4）等腰四面体的四个顶点与对面重心的连线段的长相等，且可表示为m =AB DC OM 图5 ADBC图6第二部分：例题讲解【例1】（“卓越联盟”2012自招）在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=，1AB AD AP ===,2BC =，面ABP ⊥面A B C D．（1）求证：面PAB ⊥面PBC ；（2）若0120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值．【例2】（清华2008自招）（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形；（2）四面体的一个顶点的三个面角分别为090、060、arctan 2，求060的面和arctan 2的面所成的二面角的大小．【例3】（同济2010自招）四面体ABCD 中，AB 和CD 为对棱，设AB a =，CD b =，且异面直线AB 与CD 间的距离为d ，夹角为θ．（1）若2πθ=，且棱AB 垂直与平面BCD ，求四面体ABCD 的体积；（2）当2πθ=时，证明：四面体ABCD 的体积为定值；（3）求四面体ABCD 的体积． PAB C DAB C D ACBNO【例4】（清华2009自招）四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =．（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所成的二面角为α、β、γ，求证：cos cos cos 1αβγ++=．【例5】（复旦2009自招）半径为R 的球内部装4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值为．【例6】（1）（武大2006自招）已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有30条棱，则多面体的面数F 和顶点数V 分别是．（2）一个凸多面体各面的内角和为20π，求它的面数、棱数和顶点数．【例7】（五校联考2010）如图，四棱锥P ABCD -中，1B 、1D 分别为PB 、PD 的中点，求两个棱锥11A B CD -、P ABCD -的体积之比11A B CD P ABCDV V --的值．（提示：本题可用这样一个结论：如图，1A 、1B 、1C 分别是OA 、OB 、OC 上（或其延长线）的点，则111111O A B C O ABCV OA OB OC V OA OB OC--=） ADBCABCDP1B1D【例8】（五校联考2010）（1）一个正三棱锥的体积为3，求它的表面积的最小值；（2）一个正n 棱锥的体积为V （定值），求一个与n 无关的充要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．【例9】（复旦2001基地）全面积为定值2a π（0a >）的圆锥中，体积的最大值为．第三部分：练习题1、（五校联考2010）平面α∥平面β，直线m α⊆，n β⊆，A m ∈，B n ∈，AB 与平面α所成角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 所成的角为．2、直线l ⊆面α，经过面α外一点A 作与直线l 、面α都成030的直线有且只有条． 3、（华约2011自招）两条异面直线a 、b 所成角为060，点P 为空间一定点，则过点P 且与直线a 、b 所成的角都是045的直线有且只有条．4、已知二面角l αβ--的大小为050，P 为空间一定点，则过点P 且与面α、面β所成的角都是025αβmn AB5、直线a 与平面α所成的角为030，P 为空间一定点，过P 作与直线a 、面α都成045角的直线有且只有条．6、过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线有条．7、（复旦2008自招）空间中，与三条两两异面的直线都相交的直线有条．8、已有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点相连能焊接成一个三棱锥的铁架，则a 的范围是．9、一个空间四面体有5条棱长均为2，则该四面体的体积的取值范围为． 10、在正三棱锥P ABC -中，M 为ABC ∆内（含边界）一动点，若点M 到三个侧面PAB 、面PBC 、面PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是．11、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，090ACB ∠=，6AC =，1BC CC ==，点P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值为．12、一个四棱锥和三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面是正方形，且底面边长和侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长和侧棱长也相等，设四棱锥、三棱锥、棱柱的高分别为1h 、2h 、h ，则12::h h h = ．13、在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC >>，分别过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的大小关系为．14、在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则此三棱锥外接球的表面积为．15、在正三棱锥P ABC -中，E 、F 分别是PA 、AB 的中点，若090CEF ∠=，AB =，则此三棱锥的外接球球心到底面ABC 的距离是．若M ∈面ABC ，且点M 到面PAB 、面PBC 、面PAC 的距离分别为1、2、3，则PM = ．16、（华南理工2009自招）已知A 、B 、C 、D 四点是某球面上不共面的四点，且AB BC AD ===2BD AC ==，BC AD ⊥，则此球的表面积为．17、半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为．18、（复旦2008自招）在三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1BB 和11B C 的中点，由A 、M 、N 所确定的平面将该三棱柱分割成的体积不等的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为． 19、（南大2009自招）四面体ABCD 中，平面π截四面体所得的截面为EFGH ，且AB ∥面π，CD ∥面π，AB 到平面π的距离为1d ，CD 到平面π的距离为2d ，1d k d =．则空间几何体ABEFGH 与四面体ABCD 的体积之比．（用k 表示）20、（华南理工2009自招）在正三棱锥P ABC -中，侧棱长为3，底面边长为2，E 为BC 的中点，EF ⊥PA 于F ．（1）求证：EF 为异面直线PA 与BC 的公垂线；（2）求异面直线PA 与BC 间的距离；（3）求点B 到面PAC 的距离． 21、（华约2011）在正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成，则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为．22、（卓越联盟2011）在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均为2，且E 为1CC 的中点，则点1C 到平面1AB E 的距离为．23、（复旦2012）侧面积为定值a 的圆锥的最大体积的二次幂为．24、（2011年全国高中数学联赛）在四面体ABC D 中，3A DB B DC CD A π∠=∠=∠=，3AD BD ==，2CD =，则外接球的半径是．。

卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案1

清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C.则sinB+cosB 的取值范围是（） A ．(1，1+]23 B ．[21，1+]23 C ．（1，]2 D ．[21，]2 2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( ) A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（）（A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（）.（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（）．（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,2+++===-++n n n na a a a n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A 96B 108C 112 D120 9．设a n =2n ，b n =n ，（n=1，2，3，。

5.2 平面向量的数量及其应用-5年3年模拟北京高考

5.2 平面向量的数量积及其应用五年高考考点1 长度与角度问题1．（2013湖南．6,5分）已知a ，b 是单位向量，.0=⋅b a 若向量C 满足,1||=--b a c 则｜C ｜的取值范围是( )]12,12.[+-A ]22,12[+-⋅B ]12,1[+⋅c ]22,1[+⋅D2．（2013湖北．6，5分）已知点,2()2,1()1,1(--C B A 、、),4,3()1D 、-则向量⋅在方向上的投影为 ( )223.A 2153.B 223.-C 2153.-D 3．（2011课标．10.5分）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题)32,0[1|:|1πθ∈⇔>+b a p ],32(1|:|2ππθ∈⇔>+b a p )3,0[1|:|3πθ∈⇔>-b a p ),3(1|:|4ππθ∈⇔>-b a p 其中的真命题是( )41,p p A ⋅ 31,p p B ⋅ 32,p p c ⋅ 42,p p D ⋅4．（2011全国，12.5分）设向量a ，b ，c 满足b a b a ⋅==,1||||,21-=>--<c b c a ,,60 =则C 的最大值等于 ( )2.A3.B 2.C 1.D5．（2011辽宁，10，5分）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )12.-A 1.B 2.C 2-D6．（2011卓越联盟自主招生．1）向量a ，b 均为非零向量，-a (,)2a b ⊥,)2(b a b ⊥-则a ，b 的夹角为( )6π⋅A 3π⋅B 32.πC 65.πD7．（2010卓越联盟自主招生，2）设向量a ，b 满足a b a ,1||||==∙,m b =则)(||R t tb a ∈+的最小值为 ( )2.A m B +1. 1.C 21.m D -8．（2013浙江．17.4分）设21,e e 为单位向量，非零向量1xe b =R y x ye ∈+,,2若21,e e 的夹角为,6π则||||b x 的最大值等于 9．（2011浙江．14,4分）若平面向量βα,满足,1||,1||≤=βα且以向量βα,为邻边的平行四边形的面积为,21则α与β的夹角θ的取值范围是 10．（2011安徽．13，5分）已知向量a ，b 满足)()2(b a b a -⋅+,6-=且,2||,1||==b a 则a 与b 的夹角为11.（2010浙江．16,4分）已知平面向量),0(,βααβα=/=/满足,1||=β且αβα-与的夹角为,120o 则||α的取值范围是12.（2010江西．13，4分）已知向量a ，b 满足a b a ,2||,1||==b 与的夹角为,60则=-||b a智力背景牵牛花的螺旋到了夏季，人们随处可以看到缠绕在大树上生长的牵牛花，而树为圆桶状，是为了最大限度减少从各个方向吹来的风的影响。

2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析12312为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦2和312-于是知，2和312为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e不全为0，则：420(42)(2020a c eg a c e b db d++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c=-+----+++++702320a b c d ea b c d+---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb da b c d ea b c da b c++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d++-=（6）由（6）+（2）得：1130a b c++=（7）由（6）+（4）得：13430a b c++=（8）由（7）-（5）得：0a=，代入（7）、（8）得：0b c==，代入（1）、（2）知：0d e==.于是知0a b c d e=====，与,,,,a b c d e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1-和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

创新题1

创新题（2011年卓越自招） i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则2221z z z i-+-+的最大值为（）A 1 B. 2 C 1 D. 2（2011年卓越自招）（1）设()ln f x x x =，求()'f x ；（2）设0a b <<，求常数C ，使得1ln bax C dx b a --⎰的最小值；（3）设（2）中的最小值为,a b m ，证明,ln 2a bm <（2012年卓越自招）在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为（）A. (0,2B. 1[,22C. (0,1)D. (2（2012年卓越自招）向量a e ≠，||1e =，若t R ∀∈，||||a te a e -≥+，则（）A. a e ⊥B. ()a a e ⊥+C 、 ()e a e ⊥+D. ()()a e a e +⊥-第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)直线x = 6与半抛物线y A 点，l 是过此抛物线焦点F 的直线，以x 轴为棱，将坐标平面折成60︒的二面角，此时点A 在另一个半平面内的射影B 恰在直线l 上，则直线l 的倾斜角是（）（A ）arctan 23 （B ）arctan ( –23) （C ）π – arctan 23 （D ）π – arccos 238、函数y = f ( x )有反函数，把它的图像绕原点在两坐标轴所在平面内按逆时针方向旋转90︒，新的图像所表示的函数是（）（A ）y = – f – 1 ( – x ) （B ）y = – f – 1 ( x ) （C ）y = f – 1 ( x ) （D ）y = f – 1 ( – x ) 10、用一个与圆台上、下底面都相交的平面截圆台，所得的截面图形是（）（A ）等腰梯形（B ）矩形（C ）等腰梯形或等腰三角形（D ）可能是曲边图形 11、曲线C 1：x 2 – y 2 + 4 y – 3 = 0与曲线C 2：y = a x 2（a 是大于0的常数）的交点个数是（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）不确定21、与曲线x 2 – y 2 – 4 m x + 4 n y = 1 + 4 n 2 – 4 m 2关于点（m ，n ）对称的曲线的轨迹方程是。

高中自主招生数学试题

12011年高中自主招生考试试题数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页.共120分.考试时间90分钟.请将选择题的答案填到Ⅱ卷上方的对应表格中.第Ⅰ卷（选择题共42分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试卷上.3.考试结束,答题卡和卷Ⅱ一并交回.一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1x 的取值范围是 A ．3x > B ．3x ≥C ．3x ≤D ．3x ≠2．据估算，中国汽车行业每年消耗的汽油总量大约为6000万吨，每日消耗约164400000千克，保留三位有效数字，将164 400 000千克这个数用科学记数法可表示为 A ．81.6410⨯千克 B ．816.410⨯千克 C ．81.64410⨯千克 D ．71.6410⨯千克 3．下列运算中，正确的是A ．235a a a += B ．222(2)2ab a b =C ．236a a a ⋅=D ．2222a a a +=4．如图，AB ∥CD ，BE 交CD 于点F ，∠B=45°，∠E =21°则∠D 为 A. 21° B. 24° C. 45° D. 66° 5．二元一次方程组2,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩26．如果线段上一点P 把线段分割为两条线段P A ，PB ，当2PA PB AB =⋅，即0.618PA AB ≈时，则称点P 是线段AB 的黄金分割点，现已知AB =10，点P 是线段AB 的黄金分割点，如图，那么线段PB 的长约为 A ．6.18B ．0.382C ．0.618D ．3.827．若两圆半径分别为R ，r ，其圆心距为d ,且2222R Rr r d ++=，则两圆的位置关系是 A ．外切 B ．内切 C ．外离 D ．内含8．下图是由大小一样的小正方块摆成的立体图形的三视图，摆成它共用小正方块数 A ．5 B ．8 C ．7 D ．69．在一周内，体育老师对九年级男生进行了5次一千米跑测试，若想了解他们的成绩是否稳定，老师需知道每个人5次测试成绩的A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数 10．如图路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处沿AO 所在的直线行走14米到点B 时，人影子的长度 A ．减小3.5米 B ．减小1.5米 C ．增大3.5米 D ．增大1.5米11．现有A ，B 两枚均匀的小正方体，正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.小红掷A 正方体得到向上的数字为x ，小明掷B 正方体得到向上的数字为y ，用x ，y 来确定点P (x ，y )，那么她们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为 A ．16 B ．19 C ．112 D ．1183B（第12题图）12．如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB :FG =2:3，则下列结论正确的是 A ．2DE =3MN ， B ．3DE =2MN ， C ．3∠ A =2∠ F D ．2∠ A = 3∠ F13．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是14．如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是452011年高中自主招生考试试题数学第Ⅱ卷（非选择题共78分）注意事项：1．第Ⅱ卷共8页,用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.二、填空题：(本大题共5个小题.每小题3分，共15分)把答案填在题中横线上.15．因式分解：3a a -=．16．已知二次函数2y x mx n =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为．17．规定[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.62=，[]3,144-=-，若[]3x =，则x的取值范围是.18．如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是．市(区):＿＿＿＿＿学校:＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿班级:＿＿＿＿准考证号:＿＿＿＿＿619．如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过Rt ∆OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为_____________.三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共20分） 20．（本小题满分6分）解分式方程： 423-x -2-x x=2121．（本小题满分7分）为响应某市组织的“爱心在校园”活动，学校对本校倡导的自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．请你根据上述信息解答下列问题：（1）他们一共调查了多少人？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？（3）若该校共有1300名学生，估计全校捐款不少于25元的学生约有多少人？/元(第21题图)22．（本小题满分7分）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图所示)：画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连结AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC的延长线于D，连结DB.则△ABD就是直角三角形.(1)请你说明其中的道理；(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°(不写作法，保留作图痕迹).DCBA78四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共19分） 23．（本小题满分9分）如图，已知⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于E ，连接AD ，BD ，OC ，OD ，且OD =5. （1）若3sin 5BAD ∠=，求CD 的长；（2）若:4:1ADO EDO ∠∠=,求阴影部分的面积.（结果保留π）24．（本小题满分10分）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶了7个小时时，两车相遇，求乙车速度．910五、相信自己，加油啊！（本大题共2小题，共24分） 25. (本小题满分11分)已知Rt ABC △中,90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），D EF S ∆，CEF S ∆，ABCS ∆有怎样的数量关系？（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，图1结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F1126．（本小题满分13分）已知：如图一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数212y x bx c =++的图象与一次函数112y x =+的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．第26题图12。

2011年华约自主招生数学试题(精校word版,有参考答案)

2011年“华约”自主招生数学试题一、选择题1．设复数z满足|z|<1且15||2zz+=则|z| =（）A．45B．34C．23D．12【答案】D【解析】由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程．解得|z| ＝2（舍去），12．2．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为P A、PB．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（）A．13B．16C．18D．112【答案】D【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等．然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起．解法一：如图1，设底面边长为2．如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0），则1111(,(,2222M N-，312132(,,),(,,)222222DM AN =-=-．设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==．3．已知1223+--=x x x y ，过点（－1, 1）的直线l 与该函数图象相切，且（－1, 1）不是切点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C【解析】显然（－1, 1）在1223+--=x x x y 的图象上．设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以223020--=x x k ．另一方面，)1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x ．所以x 0＝1,所以1-=k ．选C ． 4．若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为（） A ．321-，32B ．12 ，32C ．321-，321+D ．12 ，221+【答案】B【解析】首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个．解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，OO 1、OO 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A =O 1C ，O 2B =O 2C ．解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=．解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=．6．已知异面直线a ，b 成60°角．A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面（） A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有且只有四个【答案】D【解析】已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了．因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系．于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线．答案是4个． 7．已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++的最小值为（） A ．1B ．43C ．32D ．2【答案】B【解析】由(1,1)xa yb zc ++=得1)111222y z y z y z y z x x ⎧⎧+=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩，由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y －z三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 8．AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为（） A．B．5C．3D．3【答案】A【解析】解法一：焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2 ＝ 4x联立，解得A B (3+2+ (3-2- ，，于是22CA CB k k ==，tan 1CA CB CA CBk k ACB k k -∠==+ A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB ．tan tan 2DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===．类似的，有tan tan BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A【答案】DA ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C ．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形【答案】D【解析】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形．如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF （不妨设在AC 的另一边）的（其中的边EF 有可能与AC 重合）的∠D 一定是钝角．事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角．这样就排除了B ，C ．下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形．假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻（指有FEDBCA DBCA公共边AC ） ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形．所以答案是D ．二、解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）由已知3tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 33B B π=，=．又11222sin 2sin 2sin 23sin 3A C B π+===，sin 2sin 2sin 2sin 23A C A C +=sin()cos()cos 2()cos 2()3A C A C A C A C +-=--+而3sin()sin 2A C B +==，1cos 2()cos 22A C B +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，6cos 12A C -=，12．已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处．（I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？解：不妨设水杯高为1．（I ）这时，水杯质量：水的质量=2 ：3．水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+（II）当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上．设装x克水．这时，水杯质量：水的质量＝a：x．水杯的重心位置为12，水的重心位置为2xb，水面位置为xb，于是122xa x xba x b+=+，解得x a=-13．已知函数21()(1)1()2xf x f fax b===+2，，3．令111()2n nx x f x+==，．（I）求数列{}nx的通项公式；（II ）证明12112nx x xe+>．解：由12(1)1()1()21xf f a b f xx=====+2，得，3（I）方法一：先求出123412482359x x x x====，，，，猜想11221nn nx--=+．用数学归纳法证明．当n = 1显然成立；假设n = k成立，即11221kk kx--=+，则122()121kkk k kkxx f xx+===++，得证．方法二：121+=+nnn xxx取倒数后整理得)11(21111-=-+nnxx，所以)11()21(1111-=--xxnn所以12111+=-nx（II）方法一：证明12112nex x x+>．事实上，12111112(1)(1)(1)242nnx x x+=+++．我们注意到2212(1)12(1)nna a a a+<++<+，，，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：nxx n+≥+1)1(，x),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n nnex x x-+++-+<+=+<+<方法二：原不等式en<+++⇔)211()211)(211(21)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n构造函数)0()1ln()(>-+=x xx x g01111)(<+-=-+='xxx x g ，所以0)0()(=<g x g 所以)0()1ln(><+x x x令n x 21=则n n 21)211ln(<+ 1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n14．已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别为C 的左右焦点．P 为C右支上一点，且使21212=,3F PF F PF π∠∆又的面积为．（I ）求C 的离心率e ；（II ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（I ）如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，21212=3F PF F PF π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE ＝ PF 2，E F 1 ＝2a ，F 1 F 2 ＝ 2c ，求ca．设PE =PF 2=EF 2=x ，F F 2x ，1221211(222F PF S PF FF x a ∆==+=， 224120x ax a +-=，2x a =．ΔE F 1F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=，于是2c =，ce a==．（II ） 21=λ此解法可能有误15．将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率．（I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；（II ）探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；（III ）讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．解析：（I ）显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p ．（II ）共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P ．综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P ．（4≥n ），④ （III ）由（II ）知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ）所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…．3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在．对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p ．其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零．。

2011北约自主招生数学题及解答

2011北约自主招生数学题及解答∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，∴x=42。

∎2求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3交点的直线方程。

解：y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3，5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6，7y=-6x+1，∴6x+7y-1=0为所求。

∎3、等差数列a1,a2,⋯满足a3=-13，a7=3，这个数列的前n项和为Sn，数列S1,S2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。

解：d=a7-a37-3=164=4，∴a1=-21，Sn=2n2-23n，当n=234，即n=6时Sn最小，最小为-66。

∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤60°。

解：ab≤(a+b2)2，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab≥(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)2≥1-2c24c2=1 2，所以C≤60°。

∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存在四个正实数分别为a<b<c<d，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，∴a2bc=6，∴a=1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存在。

或解：∵abcd=32，而(abcd)3=1800×16，不满足，故不存在。

∎6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

解：设两定圆⊙C1，⊙C2的半径分别为r1,r2，动圆C的半径为R。

⑴当r1=r2①⊙C1与⊙C2相交时a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦；b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|=r1-R，|CC2|=r2+R，|CC1|+|CC2|=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。

卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(3)

绝密★启用前清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题(三)考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（5*6=30分）1.已知函数()()432,,,f x x a x b x c x d a b c d =++++为实常数的图象经过三点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()15f f +的值等于（） A ．0 B ．1C ．265D ．252.函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(14,52)f 的值为（）A ．364B ．182C ．91D ．无法计算3.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，则a 的取值范围是（）A ．01<≤-aB ．1->aC ．01<<-aD ．1-≤a4.关于x 、y 的方程20071111=++xy y x 的正整数解（x ，y ）的个数为（）A ．16B ．24C ．32D ．48第II 卷（非选择题）二、填空题（6*6=36分）5.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.6. 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0，定义A s =A s-3,s ≥4，构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置，k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.则ΔA 1A 2A 3为三角形。

2011年华约自招——数学

13．已知函数 f x 2x 、、 f 1 1
ax b
f
1 2
2 3
．令
x1
1、 2
xn1 f xn ．
1 数列xn的通项公式；
2
证明
x1 x2
xn1
1 2e
．
14．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0、、、b
0
F1
F2 分别为 C 的左右焦点． P 为 C 右
支上一点，且使 F1PF2
1 p1 、、、 p2 p3 p4 ；
2 探究数列pn的递推公式，并给出证明；
讨论数列 pn 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．
D．任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形
二、解答题
11．已知 △ABC 不是直角三角形． 1 证明： tan A tan B tan C tan A tan B tan C ；
2 若 3 tan C 1 tan B tan C 、且 sin 2A、、、sin 2B tan A
b
3 2
x2 y2 z2 的最小值为（
A．1
B． 4 3
1 2
c
3 2
）
C． 3 2
1 2
xa yb zc 1
1则
D． 2
8． AB 为过抛物线 y2 4x 焦点 F 的弦， O 为坐标原点，且 OFA 135、
物线准线与 x 轴的交点，则 ACB 的正切值为（
）
A． 2 2
角的正切为 2 ．则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为（）
A． 1 3
B． 1 6
C． 1 8
D． 1 12

(自主招生培训)第五讲：导数与积分

第五讲导数与积分第一部分相关知识一．函数导数1.1．函数导数的意义：①几何意义：函数()f x 在点0x x =处的导数0()f x '为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率；②物理意义：()s t 在0t t =处的导数0()s t '为质点在时刻0t t =处的瞬时速度，即00()()v t s t '=；()v t 在0t t =处的导数0()v t '为质点在时刻0t t =处的瞬时加速度，即00()()a t v t '=.1.2．导数与函数的性质已知函数()f x ，x D ∈，(1)()0f x '>→()f x 在D 上单调递增，()0f x '<→()f x 在D 上单调递减，()0f x '=→()f x 是常数函数.(2)()f x 在D 上单调递增→()0f x '≥，()f x 在D 上单调递减→()0f x '≤. 1.3．导数与极值(1)极值的必要．．条件：函数()f x 在0x 处可导，且()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=，反之不一定成立.(2)极值的第一充．分．条件：函数()f x 在0x 的领域00(,)x x δδ-+内可导，①当00(,)x x x δ∈-时()0f x '<，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；②当00(,)x x x δ∈-时()0f x '>，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值.极值的第二充分．．条件：函数()f x 在0x 的领域00(,)x x δδ-+内一阶可导，在0x 处二阶可导，且0()0f x '=，0()0f x ''≠，则()f x 在0x 处取得极值；①若0()0f x ''>，则()f x 在0x 处取得极小值；②若0()0f x ''<，则()f x 在0x 处取得极大值. 1.4．曲线的凸性的充分条件(1)函数凸性的定义：()f x 在D 上有意义，对任意的i x D ∈(1,2,i =…，n )，都存在i R α+∈(1,2,i =…，n )且11n i i α==∑，使：①11()()n ni i i i i i f x f x αα==<∑∑成立，则称()f x 在D 上是严格上凸的；②11()()nni i ii i i f x f x αα==>∑∑成立，则称()f x 在D 上是严格下凸的；(2)()f x 在开区间D 上二阶可导，若()0f x ''>，则曲线()y f x =在D 上时下凸的；若()0f x ''<，则曲线()y f x =在D 上时上凸的；通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数.(3)三次函数()f x 满足0()0f x ''=，则点00(,())x f x 是其对称点（这个结论解答题中不能直接使用）. 1.5．Roll 定理函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，若()()f a f b =，则必存在0(,)x a b ∈，使0()0f x '=成立.1.6．Lagrange 中值定理函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则必存在0(,)x a b ∈，使0()()()f a f b f x a b-'=-成立.二．定积分第二部分相关习题1.(2011复旦)设a 为正数，若函数322()2f x x ax a =-+在区间(0,)a 上大于0，则a 的取值范围是( )A.(0,1]B.(0,1)C.(1,)+∞D.[1,)+∞ 2.(2006武大)若定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0a ≠)的单调递增区间为(1,1)-，则实数a 、b 、c 的大小关系为( )A.a b c >>B.b c a >>C.a c b >>D.c b a >>3.(2001上海交大)已知()f x 在0x 处可导，则22000(3)()limh f x h f x h h→+--= ； 0000()()limx x xf x x x x x →-=- .4.(2011卓越联盟)(1)已知函数()ln f x x x =，求()f x '；(2)设0a b <<，求常数c 使得1ln ba x cdxb a--⎰的最小值； (3)设(2)中的最小值为,a b m ，证明：,ln 2a b m <.5.(2012清华保送)已知1()ln x e f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.(1)求证：10x xxe e -+≥恒成立； (2)求()f x 的单调区间；(3)证明：数列{}n a 为递减数列，且0n a >.6.(2011华约)已知3221y x x x =--+，过点(1,1)-的直线与该函数的图像相切，且点(1,1)-不是切点，求该直线的方程.7.(2010武大)已知()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，满足()0f x >，且()()0f x f x '+<.(1)讨论函数()()x F x e f x =的单调性； (2)设01x <<，比较函数()xf x 与11()f x x的大小.8.(2010五校联考)已知函数()axf x e =，过点(,0)A a 作与y 轴平行的直线与函数()f x 的图像交于点P ，过P 作()f x 的切线交x 轴于点B ，求ABP ∆的面积的最小值.9.(2007武大)已知函数()xf x e x =-.(1)若函数2()()1F x f x ax =--的导函数()F x '在[0,)+∞上时增函数，求实数a 的最大值； (2)求证：111()()()234f f f +++…1()14(2)n f n n n +>+++，*n N ∈.10.已知函数()ln(1)1(0)xf x e x x =-+-≥.(1)求函数()f x 的最小值； (2)若0y x ≤<，求证：1ln(1)ln(1)x ye x y -->+-+.11.已知函数()2ln bf x ax x x=--，(1)0f =. (1)若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 的图像在1x =处的切线斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14a =，求证：22n a n ≥+； (3)在(2)的条件下，试比较111ni ia =+∑与25的大小，并说明理由.12.已知二次函数2()f x ax bx c =++，直线1l ：28(02,y t t t t =-+≤≤为常数），2l ：2x =，若直线1l 、2l 与函数()f x 的图像以及1l 、y 轴与函数()f x 的图像所围成的封闭图形如阴影所示.(1)求a 、b 、c 的值；(2)求阴影部分面积S 关于t 的函数()S t 的解析式；(3)若()6ln g x x m =+，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.13.设三次函数32()()f x ax bx cx d a b c =+++<<在1x =处取得极值，且图像在x m =处的切线斜率为3a -.(1)求证：01ba≤<； (2)若函数()y f x =在区间[,]s t 上单调递增，求t s -的取值范围；(3)是否存在实数k （k 是与a 、b 、c 、d 无关的常数），当x k ≥时，恒有()30f x a '+<恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.14. （1m 取值范围；（2（*n N ∈）．15.已知函数32()f x x x =+，正项数列{}n x 的第一项11x =，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在点11(,())n n x f x ++处的切线与经过点(0,0)和点(,())n n x f x 两点的直线平行.求证：当*n N ∈时，(1)221132n n n n x x x x +++=+；(2)121122n n n x --⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16. (1)若曲线()x f 在点()()2,2f 处的切线与直线0132=++y x 垂直，求a 的值； (2)若()x f 在区间()+∞,0单调递增，求a 的取值范围；(3)若13a -<<，证明：对任意()12,0,x x ∈+∞,12x x ≠.17. 已知函数3214()333f x x x x =--+，9()2x cg x +=-. (1)若对任意的[2,2]x ∈-，都有()()f x g x <成立，求实数c 的取值范围； (2)若对任意的1x 、2[2,2]x ∈-，都有12()()f x g x <成立，求实数c 的取值范围；(3)若对任意的1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使12()()f x g x <成立，求实数c 的取值范围； (4)若对任意的1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使12()()f x g x =成立，求实数c 的取值范围.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生数学试题分值: 分时量: 分钟一、选择题,1.已知向量,a b 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥则,a b 夹角为( ) A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则tan()tan()αβγαβγ++=-+( )A.11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.11n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点,且11:1:3A F FB =,则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为( )A.B. C. D.4.i 为虚数单位,设复数z 满足||1z =,则2221z z z i-+-+的最大值为( )A.1 B.2 C. 1 D. 25.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,ABC ∆三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若BC 边所在的直线方程为4200x y +-=,则抛物线方程为( ) A.. 216y x = B. 28y x = C. 216y x =- D. 28y x =-6.在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面1AB E 的距离为( )A.B. C.D. 27.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞8.如图,ABC ∆内接于O ,过BC 中点D 作平行于AC 的直线,l l 交AB 于E ,交O 于G F 、,交O10.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转,τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用k σ表示连续k 次σ的变换,则234στστστσ是( ) A. 4σB. 5σC.2στD.2τσ二、解答题11.设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+. (1)设1n n n b a a +=-,证明:若a b ≠,则{}n b 是等比数列; (2)若12lim()4,n n a a a →∞+++= 求,a b 的值;12.在ABC ∆中,2,AB AC AD =是角A 的平分线,且AD kAC =. (1)求k 的取值范围;(2)若1ABC S ∆=,问k 为何值时,BC 最短?13.已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆与直线y x =. (1)求椭圆的方程;(2)过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ,与椭圆分别交于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.14.一袋中有a 个白球和b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为n X . (1)求1EX ;(2)设()n k P X a k p =+=,求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+= (3)证明:11(1) 1.n n EX EX a b+=-++15.设()ln f x x x =. (1)求()f x ';(2)设0,a b <<求常数c ,使得1|ln |bax c dx b a --⎰取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,Ma b ,证明,ln 2Ma b <.参考答案: 一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D二.解答题11.【解】(1)证:由1221,,2n n n a a a b a a a ++===+,得2112()().n n n n a a a a +++-=-- 令1,n n n b a a +=-则112n n b b +=-,所以{}n b 是以b a -为首项,以12-为公比的等比数列; (2)由(1) 可知1*11()()()2n n n n b a a b a n N -+=-=--∈,所以由累加法得1111()2(),11()2nn a a b a +---=---即121()[1()],32n n a a b a +=+--- 也所以有121()[1(](2),132n n a a b a n n -=+---≥=时,1a a =也适合该式; 所以1*21()[1()]()32n n a a b a n N -=+---∈也所以1211()224412()[()()()(13399212nn n a a a na b a n na b a n b a b a --+++=+--=+---+--+ 由于12lim()4,n n a a a →∞+++= 所以24()0,()4,39a b a b a +-=--=解得6,3a b ==-.12.【解】(1)过B 作直线BE AC ,交AD 延长线于E ,如图右.所以,2,BD AB CD AC==也所以有2DE BE BDAD AC DC===,即2,3.BE AC AE BD ==在ABE ∆中,有2222cos .AE AB BE AB BE EBA =+-⋅∠即222(3)(2)(2)2(22)cos AD AC AC AC AC A =++⋅⋅ 所以,2229()88cos ,kAC AC AC A =+⋅即2816(1cos )(0,99k A =+∈ 所以403k <<. (2)因为21sin sin 12ABC S AB AC A AC A ∆=⋅⋅== 在ABC ∆中,有2222254cos 2cos 54cos sin ABC AB AC AB AC A AC AC A A-=+-⋅=-=记54cos sin Ay A-=,则sin 4cos )5y A A A ϕ+=+=当sin()1A ϕ+=时53y ⇒= 此时y 取最小值,此时3cos 5A =.故当k =时,BC13.【解】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,因为它与直线y x =,所以方程组22221,x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩只有一解,整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=.所以2222222()4((3)0,a b a a b =--+-= 得223a b +=.又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,a b -=联立上式解得222,1a b ==所以椭圆方程为2212x y +=. (2)若PQ 斜率不存在(或为0)时,则||||22PMQN PQ MN S ⋅===四边形.若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则MN 为1k-. 所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y联立方程221,2.x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得2222(21)4220k x k x k +++-=.则22121222422,2121k k x x x x k k --+==++所以12|||PQ x x =-=同理可得||MN =所以222422242421||||(1)21124444()2(2)(21)2522252PMQNkPQ MN k k k S k k k k k k ⋅+++====-++++++四边形 24221114()4()12410424410k k k k =-=-++++因为22144101018k k ++≥=（当且仅当21k =时取等号）所以,2211(0,],1184410k k ∈++也所以2211164()[,2]1294410k k-∈++ 所以综上所述,PMQN S 四边形的面积的最小值为169,最大值为2. 14.【解】(1)1n =时,袋中的白球的个数可能为a 个(即取出的是白球),概率为aa b+;也可能为1a +个(即取出的是黑球),概率为ba b+,故21(1)a b a ab b EX a a a b a b a b ++=⋅++⋅=+++. (2)首先,10(0);n aP X a P a b+=+=⋅+1k ≥时,第1n +次取出来有a k +个白球的可能性有两种; 第n 次袋中有a k +个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b +个白球(故此时黑球有b k -个),第1n +次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为;ka kP a b+⋅+ 第n 次袋中有1a k +-个白球,第1n +次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b +个,故此时黑球的个数为1b k -+.这种情况发生的概率为11(1)k b k P k a b--+⋅≥+. 故111()(1).n k k a k b k P X a k P P k a b a b+-+-+=+=⋅+⋅≥++ (3)第1n +次白球的个数的数学期望分为两类:第n 次白球个数的数学期望,即n EX .由于白球和黑球的总个数为a b +,第1n +次取出来的是白球,这种情况发生的概率是n EX a b +;第1n +次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是na b EX a b+-+,此时白球的个数是 1.n EX +故21()(1)(1)(1)n n n nn n n n EX a b EX EX EX EX EX EX EX a b a b a b a b ++-=+⋅+=+-+++++ 22()())11(1)1n n n n n EX EX EX EX EX a b a b a b a b=+-+-=-+++++ 15.(1)1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+;(2)若ln ,c a ≤则|ln |ln ,x c x c -=-显然,当ln ,ln c a x c =-取最小; 若ln ,c b ≤则|ln |ln ,x c c x -=-当ln ,ln c b c x =-取最小.故ln ln .a c b ≤≤11|ln |[(ln )(ln )]c c b e b a a e x c dx x c dx c x dx b a b a-=-+---⎰⎰⎰ 1{[(ln 1)(1)][(1)(ln 1)]}c e b x c dx c x dx =+-+++-+⎰⎰由(1)知[(ln 1)(1)]ln |(1)()cce e ca a x c dx x x c e a +-+=-+-⎰[(1)(ln 1)](1)()ln |ccbc be ec x dx c e a x x +-+=+--⎰所以,11|ln |(ln ln 2)()b c a x c dx a a b b e a b ac bc b a b a-=---+++-*--⎰ 记()2()ln ln ,c g c e a b c a a b b a b =-++--++ 则令()20c g c e a b '=-++=,得2a bc += 即2a b c +=时,1|ln |b a x C dx b a --⎰取最小值. (3)将2a bc +=代入()*式右边,1,[ln ln ()ln ]ln 22a b Ma b a a b b a b b a +=--++<-等价于()ln ln ln ()ln2()ln()ln ln 2ln22a ba b a a b b b a a b a b a a b b b ++--<-⇔+⋅+<++ln()ln ln()ln 2ln2ln(1)ln(1)2ln2.b aa ab a a b a b b b b a b b a b⇔+-++-<⇔+++<由于0,12a a b b <<+<时,ln(1)ln2.a b b b +<所以下面只须证明ln(1)ln2ba b a +<即可.又ln(1)ln 2ln(1)ln 2.b a b a b a b a +<⇔+<令(0,1)at b =∈,则11ln(1)ln(1)ln(1)t a b t b a t t +=+=+,注意到函数1ln(1)t t+是单调递增的,且 1.t < 所以111ln(1)ln(1)ln 21t t +<+=.得证.。