2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案

2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生

数学试题

分值: 分 时量: 分钟

一、选择题,

1.已知向量,a b 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥

则,a b 夹角为( ) A.

6π B. 3π C. 32π D. 6

5π 2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则

tan()

tan()

αβγαβγ++=-+( )

A.

11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.1

1

n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点,且11:1:3A F FB =,则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为( )

A.

B. C. D.

4.i 为虚数单位,设复数z 满足||1z =,则222

1z z z i

-+-+的最大值为( )

A.

1 B.

2 C. 1 D. 25.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,ABC ∆三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若BC 边所在的直线方程为4200x y +-=,则抛物线方程为( ) A.. 216y x = B. 28y x = C. 216y x =- D. 28y x =-

6.在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面1AB E 的距离为( )

A.

B. C.

D. 2

7.若关于x 的方程

2||

4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1

(,)4

+∞ D. (1,)+∞

8.如图,ABC ∆内接于O ,过BC 中点D 作平行于AC 的直线,l l 交AB 于E ,交O 于G F 、,交O

10.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

27

π

的旋转,τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用k σ表示连续k 次σ的变换,则234στστστσ是( ) A. 4σ

B. 5σ

C.2στ

D.2τσ

二、解答题

11.设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+. (1)设1n n n b a a +=-,证明:若a b ≠,则{}n b 是等比数列; (2)若12lim()4,n n a a a →∞

+++= 求,a b 的值;

12.在ABC ∆中,2,AB AC AD =是角A 的平分线,且AD kAC =. (1)求k 的取值范围;

(2)若1ABC S ∆=,问k 为何值时,BC 最短?

13.已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆与直线y x =. (1)求椭圆的方程;

(2)过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ,与椭圆分别交于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.

14.一袋中有a 个白球和b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为n X . (1)求1EX ;

(2)设()n k P X a k p =+=,求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+= (3)证明:11

(1) 1.n n EX EX a b

+=-++

15.设()ln f x x x =. (1)求()f x ';

(2)设0,a b <<求常数c ,使得

1|ln |b

a

x c dx b a --⎰取得最小值;

(3)记(2)中的最小值为,Ma b ,证明,ln 2Ma b <.

参考答案: 一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D

二.解答题

11.【解】(1)证:由1221,,2n n n a a a b a a a ++===+,得2112()().n n n n a a a a +++-=-- 令1,n n n b a a +=-则112n n b b +=-,所以{}n b 是以b a -为首项,以12

-为公比的等比数列; (2)由(1) 可知1*11()()()2

n n n n b a a b a n N -+=-=--∈,

所以由累加法得1111()2(),11()2

n

n a a b a +---=---即121()[1()],32n n a a b a +=+--- 也所以有121()[1(](2),132

n n a a b a n n -=+---≥=时,1a a =也适合该式; 所以1*21()[1()]()32

n n a a b a n N -=+---∈

也所以1211()224412()[()()()(13399212

n

n n a a a na b a n na b a n b a b a --+++=+--

=+---+--+ 由于12lim()4,n n a a a →∞+++= 所以24

()0,()4,39

a b a b a +-=--=解得6,3a b ==-.

12.【解】(1)过B 作直线BE AC ,交AD 延长线于E ,如图右.

所以,2,BD AB CD AC

==

也所以有2DE BE BD

AD AC DC

===,即2,3.BE AC AE BD ==

在ABE ∆中,有2222cos .AE AB BE AB BE EBA =+-⋅∠

即222(3)(2)(2)2(22)cos AD AC AC AC AC A =++⋅⋅ 所以,2229()88cos ,kAC AC AC A =+⋅即2816(1cos )(0,99

k A =+∈ 所以403

k <<

. (2)因为21

sin sin 12

ABC S AB AC A AC A ∆=

⋅⋅== 在ABC ∆中,有2222254cos 2cos 54cos sin A

BC AB AC AB AC A AC AC A A

-=+-⋅=-=

记54cos sin A

y A

-=

,则sin 4cos )5y A A A ϕ+=+=