湘潭大学算法设计与分析知识点

第一章算法概述

1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。

2、算法的复杂性取决于：（1）求解问题的规模（N）,（2）具体的输入数据（I），（3）算法本身的设计（A），C=F(N,I,A)。

3、算法的时间复杂度的上界记号O，

下界记号Ω(记为f(N) = Ω(g(N))。即算法的实际运行时间至少需要g(n)的某个常数倍时间)，

同阶记号Θ：f(N)= Θ(g(N))表示f(N)和g(N)同阶。

即算法的实际运行时间大约为g(n)的某个常数倍时间。

低阶记号o：f(N)=o(g(N))表示f(N)比g(N)低阶。

多项式算法时间：

O(1)

约定logn表示以2为底的对数。指数时间算法时间：

O(2n)

4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。

5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。

6、算法:是指解决某一问题的运算序列

第二章递归与分治

1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。递归的时间复杂性可归结为递归方程：

其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n – b，的形式。2、除法，即n / b，的形式。

2、(这里都是针对递减方式为除法的哦)D(n)为常数c：这时，T(n) = O(n p)。

D(n)为线形函数cn：

D(n)为幂函数n x：

考虑下列递归方程：T(1) = 1

⑴T(n) = 4T(n/2) +n

⑵T(n) = 4T(n/2) +n2

⑶T(n) = 4T(n/2) +n3

解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。

对⑴，∵a > b1 (D(n) = n) ∴T(n) = O(n2)；

对⑵，∵a = b2 (D(n) = n2)∴T(n) = O(n2log n)；

对⑶，∵a < b3 (D(n) = n3)∴T(n) = O(n3)；

证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。2、算法的终止性。

第三章贪心算法（旅行商问题、单源最短路径问题）

以下两种算法都是为了查找最小生成树问题的算法：

1、Prim算法的基本思想：在保证连通的前提下依次选出权重较小的n – 1条边。

（在实现中体现为n个顶点的选择）。

G=(V, E)为无向连通带权图，令V={1, 2, …, n}。

设置一个集合S ，初始化S = {1}，T = Φ。

贪心策略：如果V–S中的顶点j与S中的某个点i连接且(i, j) 的权重最小，于是就选择j(将j加入S)，并将(i, j) 加入T中。

重复执行贪心策略，直至V–S为空。

=============================证明最小生成树必然包含最小权值边================= 若G的任何最小生成树都不包含e1。设T为G的最小生成树，e1 T。于是T+e1是一个有回路的图且该回路中包含e1。该回路中必有条不是e的边e i。令T’={T+e1}–e i。T’也是G的生成树。又c(T’) = c(T) + c(e1) – c(e i)，c(e1) ≤ c(e i)，从而c(T’)≤c(T)，T’是G的最小生成树且含有边e1。矛盾。故必定有图G的最小生成树包含了e1。

============================================================================= 2、Kruskal算法的基本思想：基本思想：在保证无回路的前提下依次选出权重较小的n –1

条边。如果(i, j)是E中尚未被选中的边中权重最小的，并且(i, j)不会与已经选择的边构成回路，于是就选择(i, j)。具体做法:先把所有n个点画出来。不画边。然后把权值最小的那条边画上去。然后再把当前权值最小的边(不算画了的边)画上去。如果构成回路则舍弃这条边。然后一直直到画了n-1条边。结束。

================用Kruskal算法得到的生成树T*必是最优树==================== 证明：设T*不是最优，令T是与T*有k条共同边的最优树且k是最优树与T*共有边数的最大值

∵T≠T* ∴e k+1: ek+1 E(T)且ek+1∈E(T*)。

则T+ek+1含唯一回路C，C必有条边ek’ E(T*)。

令T’= (T+ek)–ek’, w(T’)=w(T)+w(ek+1) –w(ek’)。

由算法知，w(ek+1) w(ek’)，∴T’是最优树。

但T’与T*有k+1条共同边，矛盾。故T*是最优

3、Prim与Kruskal两算法的复杂性：

Prim算法为两重循环，外层循环为n次，内层循环为O(n)，因此其复杂性为O(n2)。Kruskal算法中，设边数为e，则边排序的时间为O(eloge)，最多对e条边各扫描一次，每次确定边的时间为O(loge)，所以整个时间复杂性为O(eloge)。

当e = Ω(n2)时，Kruskal算法要比Prim算法差；

当e = ο(n2)时，Kruskal算法比Prim算法好得多。

4、贪心算法的基本要素是：贪心选择性质。

5、单源最短路径问题、旅行商问题、0—1背包问题，贪心算法不能够找到最优解。

6、活动安排问题、最优装载问题，贪心算法可以找到最优解。

第四章动态规划

1、最短路径问题的计算方法。（P44例题）

2、最有子结构的性质：最优解的子结构也是最优的。

3、动态规划的基本要素：（1）最优子结构：问题的最优解是由其子问题的最优解所构成的。

（2）重叠子问题：子问题之间并非相互独立的，而是彼此有重叠的。

4、动态规划算法的步骤：1.找出最优解的性质，并刻画其结构特性。2.递归地定义最优解。

3.以自底向上的方式计算出各子结构的最优值，并流入表格中保

存。4.根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

5、在有n个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰有n-3条弦，n-2个三角形。

第五章回溯法

1、三种搜索方法：（1）广度优先搜索的优点是一定能找到解；缺点是空间复杂性和时间复杂性都大。（2）深度优先搜索的优点是空间复杂性和时间复杂性较小；缺点是不一定能找到解。（3）启发式搜索是最好优先的搜索，优点是一般来说能较快地找到解，即其时间复杂性更小；缺点是需要设计一个评价函数，并且评价函数的优劣决定了启发式搜索的优劣。

2、回溯法是一种通用的算法，实为深度优先的搜索方法。

回溯法可以递归实现，也可以迭代实现。

回溯法通常求解三类问题：

(1)求排列：时间复杂性为O(f(n)n!)；

(2)求子集：时间复杂性为O(f(n)2n)；

(3)求路径：时间复杂性为O(f(n)k n)。

这里f(n)为处理一个结点的时间复杂性。

第六章分支界限法

1、分支界限法德两个要点：（1）评价函数的构造。（2）搜索路径的构造。

2、所谓分支限界法就是通过评价函数及其上下界函数的计算，将状态空间中不可能产生最佳解的子树剪去，减少搜索的范围，提高效率。因而更准确的称呼应是“界限剪支法”