中考数学 专题提升十五 巧用旋转进行证明与计算复习
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教材母题答图
【思想方法】 旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复 杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形， 把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破 口．
【中考变形】
1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，
C，E在同一条直线上，AE与BD交于
点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点
F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝
BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是 ( D )
图Z15－2
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图Z15－3，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时
针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，
图Z15－7
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②， 试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由； (2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上， 如图③，请你求出CF的长． 解：(1)AD与CF还相等． 理由：∵四边形ODEF，四边形ABCO为正方形， ∴∠DOF＝∠COA＝90°，DO＝OF，CO＝OA， ∴∠COF＝∠AOD，∴△COF≌△AOD(SAS)， ∴AD＝CF；
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴n＝60； (2)四边形ACFD是菱形．理由如下： ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝CD＝AD，∠ADC＝60°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°， ∴∠DCB＝∠B，
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
【教材母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向 旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没 有互相垂直的边？证明你的判断．(浙教版九上 图Z15－1 P110第5题) 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．
B∠PA＝BBPP＝′，∠CBP′， AB＝BC，
中考变形2答图
∴△ABP≌△CBP′(SAS)， ∴AP＝P′C. 又∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A. 连结 PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝ 2PB.
∵∠AP′B＝135°， ∴∠AP′P＝135°－45°＝90°， ∴△APP′是直角三角形．设 P′A＝x，则 AP＝3x， 根据勾股定理，得
4．如图Z15－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， 将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上． (1)求n的值； (2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的 图Z15－5 形状，并说明理由． 解：(1)∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到 △DEC， ∴CD＝CA， ∴△ACD是等腰三角形．
∴CD＝DB，∴CD＝DB＝AD＝12AB. ∴△DEC 为直角三角形，DE＝AB. ∵F 是 DE 的中点， ∴CF 是直角三角形 DEC 斜边上的中线，
∴CF＝12DE， ∴AC＝CF＝DF＝AD， ∴四边形 ACFD 是菱形．
5．[2015·南充]如图 Z15－6，点 P 是正方形 ABCD 内一点， 点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1，2 2， 10，△ADP 沿点 A 旋转至△ABP′，连结 PP′，并延长 AP 与 BC 相交 于点 Q.
则P′. 3∶2
图Z15－3
B．1∶2 D．1∶ 3
【解析】 如答图，连结AP， ∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′， ∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°， ∴∠ABP＝∠CBP′. 在△ABP和△CBP′中，
∵∠BPQ＝45°，PB＝2 2，
∴PE＝BE＝2， ∴AE＝2＋1＝3，
∴AB＝ AE2＋BE2＝ 13，
∵∠EBQ＝∠EAB，cos∠EAB＝AAEB＝
3， 13
∴cos∠EBQ＝BBEQ＝
3， 13
∴B2Q＝
3， 13
∴BQ＝23 13，
∴CQ＝
13－23
13＝
13 3.
【中考预测】 在数学活动课中，小辉将边长为 2和 3 的两个正方形放置 在直线 l 上，如图 Z15－7，他连结 AD，CF，经测量发现 AD＝CF.
图Z15－6 (1)求证：△APP′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ的大小； (3)求CQ的长．
解：(1)∵△ADP沿点A旋转至△ABP′， ∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B， ∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AB， ∵∠PAD＋∠PAB＝90°， ∴∠P′AB＋∠PAB＝90°， 即∠PAP′＝90°， ∴△APP′是等腰直角三角形；
PP′＝ AP2－P′A2＝ （3x）2－x2＝2 2x，
∴P′B＝PB＝2x， ∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2. 故选 B.
3．如图Z15－4，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于点F，BD分别交CE， AE于点G，H.试猜想线段AE和BD的位置及数量关系，并说 明理由．
图Z15－4
解：猜想 AE＝BD，AE⊥BD. 理由如下： ∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB. ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB， ∴△ACE≌△DCB(SAS)， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB. ∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°， ∴AE⊥BD.
(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1， ∴PP′＝ 2，
∵P′B＝PD＝ 10，PB＝2 2， ∴P′B2＝PP′2＋PB2， ∴∠P′PB＝90°，
∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′＝45°， ∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°； (3)作 BE⊥AQ，垂足为 E，
【思想方法】 旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复 杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形， 把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破 口．
【中考变形】
1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，
C，E在同一条直线上，AE与BD交于
点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点
F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝
BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是 ( D )
图Z15－2
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图Z15－3，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时
针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，
图Z15－7
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②， 试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由； (2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上， 如图③，请你求出CF的长． 解：(1)AD与CF还相等． 理由：∵四边形ODEF，四边形ABCO为正方形， ∴∠DOF＝∠COA＝90°，DO＝OF，CO＝OA， ∴∠COF＝∠AOD，∴△COF≌△AOD(SAS)， ∴AD＝CF；
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴n＝60； (2)四边形ACFD是菱形．理由如下： ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝CD＝AD，∠ADC＝60°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°， ∴∠DCB＝∠B，
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
【教材母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向 旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没 有互相垂直的边？证明你的判断．(浙教版九上 图Z15－1 P110第5题) 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．
B∠PA＝BBPP＝′，∠CBP′， AB＝BC，
中考变形2答图
∴△ABP≌△CBP′(SAS)， ∴AP＝P′C. 又∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A. 连结 PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝ 2PB.
∵∠AP′B＝135°， ∴∠AP′P＝135°－45°＝90°， ∴△APP′是直角三角形．设 P′A＝x，则 AP＝3x， 根据勾股定理，得
4．如图Z15－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， 将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上． (1)求n的值； (2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的 图Z15－5 形状，并说明理由． 解：(1)∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到 △DEC， ∴CD＝CA， ∴△ACD是等腰三角形．
∴CD＝DB，∴CD＝DB＝AD＝12AB. ∴△DEC 为直角三角形，DE＝AB. ∵F 是 DE 的中点， ∴CF 是直角三角形 DEC 斜边上的中线，
∴CF＝12DE， ∴AC＝CF＝DF＝AD， ∴四边形 ACFD 是菱形．
5．[2015·南充]如图 Z15－6，点 P 是正方形 ABCD 内一点， 点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1，2 2， 10，△ADP 沿点 A 旋转至△ABP′，连结 PP′，并延长 AP 与 BC 相交 于点 Q.
则P′. 3∶2
图Z15－3
B．1∶2 D．1∶ 3
【解析】 如答图，连结AP， ∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′， ∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°， ∴∠ABP＝∠CBP′. 在△ABP和△CBP′中，
∵∠BPQ＝45°，PB＝2 2，
∴PE＝BE＝2， ∴AE＝2＋1＝3，
∴AB＝ AE2＋BE2＝ 13，
∵∠EBQ＝∠EAB，cos∠EAB＝AAEB＝
3， 13
∴cos∠EBQ＝BBEQ＝
3， 13
∴B2Q＝
3， 13
∴BQ＝23 13，
∴CQ＝
13－23
13＝
13 3.
【中考预测】 在数学活动课中，小辉将边长为 2和 3 的两个正方形放置 在直线 l 上，如图 Z15－7，他连结 AD，CF，经测量发现 AD＝CF.
图Z15－6 (1)求证：△APP′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ的大小； (3)求CQ的长．
解：(1)∵△ADP沿点A旋转至△ABP′， ∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B， ∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AB， ∵∠PAD＋∠PAB＝90°， ∴∠P′AB＋∠PAB＝90°， 即∠PAP′＝90°， ∴△APP′是等腰直角三角形；
PP′＝ AP2－P′A2＝ （3x）2－x2＝2 2x，
∴P′B＝PB＝2x， ∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2. 故选 B.
3．如图Z15－4，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于点F，BD分别交CE， AE于点G，H.试猜想线段AE和BD的位置及数量关系，并说 明理由．
图Z15－4
解：猜想 AE＝BD，AE⊥BD. 理由如下： ∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB. ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB， ∴△ACE≌△DCB(SAS)， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB. ∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°， ∴AE⊥BD.
(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1， ∴PP′＝ 2，
∵P′B＝PD＝ 10，PB＝2 2， ∴P′B2＝PP′2＋PB2， ∴∠P′PB＝90°，
∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′＝45°， ∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°； (3)作 BE⊥AQ，垂足为 E，