解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 22
2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{
}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧+==-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+=t z z y
y t
x x t
z z y y t x x 220
0000
0 而0M 在准线上，所以：
⎩⎨
⎧+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******
2
2
=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为
())3
4,31,3
1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为
)15
13
,1511,152(0--
M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧
=++=
-++++0
7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
§ 4.2锥面
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12
2
2
=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。 解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
2
1133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
⎪⎩⎪
⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1 ∴与l 垂直的平面之一令为1=++z y x
平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，该圆的圆心为)3
1
,31,
31(，故该圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧
=++=-+-+-1
)
32()31()31()31(2222z y x z y x 它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：
z
Z
y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：
0=++zx yz xy
5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：
1
4
2221-=
-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：
0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)9
37,920,911(
，它与)1,2,3(的距离为： 3
116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d
∴要求圆锥面的准线为：
⎪⎩⎪⎨⎧
=-++=
-+-+-0
11229116)937()920()911(222z y x z y x 对锥面上任一点),,(z y x M ，过该点与顶点的母线为：
4
4
2211--=--=--z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使,)1(10t x X -+=,)2(20t y Y -+=
t z Z )4(40-+=
将它们代入准线方程，并消去t 得：
01299252516518525210412515122=+---+++++z y x zx yz xy z y x
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；
111112x y z -+-==-绕1
112x y z -==
-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112x y z -==
-旋转 （3）1133
x y z -==-绕z 轴旋转；