浙江省高等数学竞赛试题与答案工科类

2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
工科类
一计算题：（每小题1４分，满分７0分）
1．求极限lim log ()a
b
x x x x →+∞
+。

2．设函数:f →R R 可导，且,x y ∀∈R ，满足()()f x y f x y xy +≥++，求()f x 的表达式。

3．计算 0
sin d n x x x π
⎰
（n 为正整数）。

4．计算
{}min ,2d d D
x y x y x y -⎰⎰
，D 为2y x =与2y x =围成的平面有界闭区域。

5．求曲线3
3
cos sin x a y a θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，(0)θπ≤≤的形心，其中0a >为常数。

二、（满分20分）
证明：111
ln 1ln
n i n n n i =+<<+∑
，n ¢+∈。

三、（满分20分）
设2
:u →R R 所有二阶偏导连续，证明u 可表示为(,)()()u x y f x g y =的充分必要条件为
2u u u u x y x y
∂∂∂=∂∂∂∂。

四、（满分20）
在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。

外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为π米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。

五、（满分20分）
证明1
1
111(1)
n
n
k k n
k k C k k -==-=∑∑。

装
订
线
工科类答案
一、计算题
1、若a b ≥ lim log ()a
b
x x x x →+∞
+lim log (1)lim log (1)a
b a
b a x x x x x x
a x a --→+∞→+∞
=+=++=
同理，当a b <时，lim log ()a
b
x x x x →+∞
+b =， 所以lim log ()a
b
x x x x →+∞
+max(,)a b =
2、解：由假设，0y ∀>，有
()()
1f x y f x x y
+-≥+ f Q 可导()1f x x +'⇒≥+
同理()1()1f x x f x x -''≤+⇒=+ 2
()/2f x x x c =++ 3、解：
sin d n x x x π
⎰
()0
1
1
sin sin n
n
j j j j x x dx x j xdx ππ
ππ
ππ-====+-∑∑⎰
⎰
()()20
1
sin d 21212n
j n x x x j n n n n n n π
ππππ==+-=++-=+∑⎰
4、解：(
){}
(){}12,1,,/2,01/2D x y x y x D x y x y x x =≤≤
≤≤=≤≤≤≤
(){}(){}
2
2
34,,1/21,,/2,01/2D x y x
y x x D x y x
y x x =≤≤≤≤=
≤≤≤≤
原积分12
()d d ()d d D D y x x x y x y x x y =
-+-⎰⎰⎰⎰3
4
()d d ()d d D D x y x x y x y y x y +-+-⎰⎰⎰⎰
21
110
2
d )d d ()d x
x
x
x y x x y x x y x y =-+-⎰⎰⎰2
1112221002d ()d d ()2d x
x x
x x y x x y x x y y y +-+-⎰⎰⎰⎰
11
3414561422100
2
1211111()678851232x x x x x x x =-++-++1
46720
112()24621
x x x +-+
111124724532245=
++⨯⨯⨯⨯11253
3216642117920
++=
⨯⨯ 5、解：/0c L
L
x xds ds =
=⎰
⎰，d /d c L
L
y y s s =⎰⎰
而d 3sin cos d s a θθθθ== 2
d 3sin cos d sin cos 3L
s a ba d a ππθθθθθθ/===⎰
⎰⎰
/2
3
2
420
6
d sin 3sin cos d 6sin cos d 5
L
y s a x a a
a π
πθθθθθθθ===⎰
⎰⎰
0c x ∴= 25
c y a =
二、证明：显然
1111
1d d j j j
j x x x j
x +-<<⎰
⎰ 2j ≥
1 1122
11
1111d 1d 1ln n
n n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰
另一方面111111111111
d ln n
n n j j j j j x n j j
n x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰
三、证明：()()u f x g y =时，显然有xy x y uu u u =
反之，若xy x y uu u u =成立，即有2
()/(
)0x
xy x y y u uu u u u u
-== 1/()x u u f x ⇒= 也即1121ln ()d ()()()u f x x g y f x g y =+=+⎰ ()()u f x g y ∴=
四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在x 轴上3x =点，则羊跑最远的曲线在3x <的区域内是渐开线 即 3(cos (/3)sin )x t t t π=-- 3(sin (/3)cos )y t t t π=+- 记在3x <山羊能吃到草的草地面积为1S
3
/3
213/2
/3
2d 29sin d 2(3sin (3)cos )(3)cos d S y x t t t t t t t t ππππ=-=+--⎰
⎰
⎰
/3
20
29sin d t t π-⎰
/322
23(3)sin cos (3)cos d t t t t t t πππ⎡⎤=-+-⎣⎦⎰/320
29sin d t t π-⎰
/3
22
13(3)sin (3)(sin 2)2t t t t t πππ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦/32016(3)(sin 2)9sin d 2t t t t t ππ⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦⎰ ()/3/3
/322000191133cos 2sin 29cos 2d 2222t t t t t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=----+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰
33
/3
19sin 28349
t t ππ⎛⎫=+-=
⎪⎝⎭
所以山羊能吃到草的草地面积33
3
119218
S πππ=+= (方法二) 山羊能吃到草的草地面积S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积1S 和 绳子绕向房子时转过θ∆ 其扫过的面积可近似为扇形
2
2
r θ∆
()2
/3
310
3/9S d ππθθπ=-=⎰
所以311/18S π=
五、证明：
111
11001
1111(1)
(1)d (1)d n
n n k k k k k k k k
n
n n k k k C C t t C t t k t ---===--=-=-∑∑∑⎰⎰ 1
100(1)1
1(1)d d n n t t t t t t ----==⎰⎰101d 1n
x x x -=-⎰ 而111
0011
1d d 1n
n
n k k k t t t t k t -==1-==-∑∑⎰⎰ ∴等式成立。