高等代数课件(北大版)第七章 线性变换§7.9

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2012-9-23§7.9 最小多项式
特别地，若 g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x ) 两两互素，即 g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x ) 1
则A的最小多项式是为 g 1 ( x ) g 2 ( x )... g s ( x ).
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其中 V i { | V , ( a i E )( ) 0 }. （此结论的证明步骤同定理12） 把 V 1 , V 2 , , V S 各自的基合起来就是V的一组基. 在这组基中，每个向量都属于某个 V i ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
| E A | ( x 1) ( x 2 ),
3
但A与B不相似.
| E B | ( x 1) ( x 2 )
2
2
即 | E A | | E B | .
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所以，A与B不相似.
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5.（引理3）设A是一个准对角矩阵
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由最小多项式的定义， r ( x ) 0 .
g ( x ) f ( x ).
由此可知： 若 g ( x )是A的最小多项式，则 g ( x )整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g 2 ( x )).
于是有
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g1 ( A ) q ( A ) g 2 ( A ) r ( A ) 0
r( A) 0
由最小多项式的定义， r ( x ) 0 , 即， g 2 ( x ) g 1 ( x ) . 同理可得， g 1 ( x ) g 2 ( x ).
多项式 f ( x ) 以A为根.
本节讨论，以Βιβλιοθήκη Baidu阵A为根的多项式的中次数最低的
那个与A的对角化之间的关系.
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一、最小多项式的定义
定义： 设
A P
n n
,
在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
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引入
由哈密尔顿―凯莱定理， A P 是A的特征多项式，则 f ( A ) 0 . 因此，对任定一个矩阵 多项式 f ( x ) P [ x ],
A P
n n
n n
, f ( ) | E A |
，总可以找到一个
使 f ( A ) 0 . 此时，也称
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解： 的特征多项式
x 1 1 1 x 1 f ( x ) | E A E | 1 1
( x n)x
n1
1 1 x1
又
A 0, A nE 0, A 0
2
而
A
A( A nE ) 0.
的最小多项式为 x ( x n ).
因子.
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例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x k ; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x .
反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
例2、求
1 1 0 A 0 1 0 0 0 1
而
0 1 0 1 0 J aE 0, 1 0
0 0 0 1 0 0 2 (J aE ) 0, 1 0 0

( J aE )
k 1
1
使
B T
1
AT .
AT ) T
1
g A ( A )T 0
g A ( x ) 也以B为根，
从而
gB ( x) gA( x).
同理可得
gA( x) gB ( x).
又 g A ( x ), g B ( x ) 都是首1多项式， g A ( x ) g B ( x ).
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∴ A的最小多项式为
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( x 1) .
2
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4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似，g A ( x ), g B ( x )分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 从而
g A ( B ) g A (T
g1 ( x ) h( x ) , g 2 ( x ) h( x ) . g ( x ) h( x ) .
从而
故 g ( x ) 为A的最小多项式.
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推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 As
且 A i 的最小多项式为 g i ( x ), i 1, 2 , ..., s 则A的最小多项式是为 [ g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x )].
从而A相似于对角矩阵.
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8.
AC
n n
与对角矩阵相似
A
的最小多项式没有重根.
练习：
1 1 1 1 1 1 A 1 1 1
求矩阵
的最小多项式.
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第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵
§6线性变换的值域与核
§7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
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§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
二、最小多项式的基本性质
则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g ( x ), 则
g ( )(V ) 0 .
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若 g ( x )为P上互素的一次因式的乘积：
g ( x ) ( x a 1 )( x a 2 )...( x a s )
则
V V 1 V 2 ... V S ,
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6.（引理4）k 级若当块
a 1 a 1 J 1 a
的最小多项式为
(x a) .
k
证：J的特征多项式为
( J aE ) 0.
k
(x a)
k
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即A为 g ( x ) 的根.
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所以 g ( x ) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h ( A ) 0 , 则
0 h ( A1 ) h( A ) 0 h ( A2 ) 0
从而 h ( A1 ) 0 , h ( A 2 ) 0 .
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f ( x ) 可表成
f ( x ) q ( x ) g ( x ) r ( x ),
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g ( x )).
于是有

f ( A) q( A)g( A) r( A) 0
r( A) 0
A1 0 A 0 A2
并设 A1 , A 2 的最小多项式分别为 g 1 ( x ), g 2 ( x ). 则A的最小多项式为 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 的最小公倍式. 证：记 g ( x ) [ g 1 ( x ), g 2 ( x )] 首先，
0 g ( A1 ) g( A) 0 g ( A2 ) 0
的最小多项式.
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解：A的特征多项式为
x 1 1 0 3 f ( x ) | x E A | 0 x1 0 ( x 1) 0 0 x1
又 A E 0,
(A E) A 2A E
2 2
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
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二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g 1 ( x ) 可表成
g1 ( x ) q ( x ) g 2 ( x ) r ( x )
0 0. 0 1 0 0

J
的最小多项式为
(x a) .
k
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6.（定理13） A P n n与对角矩阵相似
A
的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A，
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注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 0 A 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 , B 0 0 2 0
2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
的最小多项式皆为 ( x 1) ( x 2 ),
g 1 ( x ) cg 2 ( x ), c 0
又 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是首1多项式, 故
g 1 ( x ) g 2 ( x ).
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c 1
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2.（引理2）设 g ( x ) 是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 g ( x ) f ( x ).