高等代数课件(北大版)第七章 线性变换§7.9
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《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
高等代数课件
(1) a111 a212 ar1r
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
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设A,BL(V), 定义A与B的和为V的一个变
换, 使"aV, 有 (A+B)(a) =A(a)+B(a)．
1、A + B 也是V的一个线性变换．
因为对于所有的a,bV和数k，lP,有
(A+B)(ka+lb) = A(ka+lb ) +B(ka+lb ) = kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b) = k (A+B)(a)+l (A+B)(b)
精选
2、乘法适合结合律,即 (AB)C = A(BC)
因为映射的合成满足结合律 3、乘法不满足交换律,即一般地
AB BA 如求微分变换D 与求积分变换J , 有
DJ = E ,但一般地 JD E 4、单位变换的作用 AE = EA = A 5、零变换的乘法 OA = AO = O
精选
二、线性变换的加法及其性质
精选
2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O
其中 (-A)(a)= -A(a), 从而
(A - B) = (A+ (-B)) 3、分配律 A(B+C) = AB +AC
(A+B)C = AC+BC
D是一个线性变换，称为微分变换.
例7 闭区间[a, b]上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换
x
则J是一个J(线f (性x))变=换精选.a f (t)dt
二、线性变换的简单性质
换, 使"aV, 有 (A+B)(a) =A(a)+B(a)．
1、A + B 也是V的一个线性变换．
因为对于所有的a,bV和数k，lP,有
(A+B)(ka+lb) = A(ka+lb ) +B(ka+lb ) = kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b) = k (A+B)(a)+l (A+B)(b)
精选
2、乘法适合结合律,即 (AB)C = A(BC)
因为映射的合成满足结合律 3、乘法不满足交换律,即一般地
AB BA 如求微分变换D 与求积分变换J , 有
DJ = E ,但一般地 JD E 4、单位变换的作用 AE = EA = A 5、零变换的乘法 OA = AO = O
精选
二、线性变换的加法及其性质
精选
2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O
其中 (-A)(a)= -A(a), 从而
(A - B) = (A+ (-B)) 3、分配律 A(B+C) = AB +AC
(A+B)C = AC+BC
D是一个线性变换，称为微分变换.
例7 闭区间[a, b]上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换
x
则J是一个J(线f (性x))变=换精选.a f (t)dt
二、线性变换的简单性质
高等代数【北大版】7.9
LLLLL
0 ≠ 0. ( J aE )k 1 = M O O 0 1 0 L 0
k ∴ J 的最小多项式为 ( x a ) .
§7.9 最小多项式
6.(定理13) A ∈ P n×n与对角矩阵相似 (定理13)
A 的最小多项式是 上互素的一次因式的积. 的最小多项式是P上互素的一次因式的积 上互素的一次因式的积
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.9 最小多项式
一,最小多项式的定义 二,最小多项式的基本性质
§7.9 最小多项式
二,最小多项式的基本性质
1.(引理1)矩阵 的最小多项式是唯一的 (引理1 矩阵A的最小多项式是唯一的 的最小多项式是唯一的. 都是A的最小多项式 的最小多项式. 证:设 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是 的最小多项式 由带余除法,g1 ( x ) 可表成 由带余除法,
g1 ( x ) = q( x ) g2 ( x ) + r ( x )
∴ g1 ( x ) h( x ), g2 ( x ) h( x ).
从而
g ( x ) h( x ).
的最小多项式. 故 g( x ) 为A的最小多项式 的最小多项式
§7.9 最小多项式
推广: 若A是一个准对角矩阵 是一个准对角矩阵
A1 A2 O As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i = 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x )]. 的最小多项式是为 两两互素, 特别地,若 g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x ) 两两互素,即
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1
高等代数 讲义 第七章
(στ ) δ
= σ (τδ )
D( f ( x )) = f ′( x )
J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
x
（2） Eσ = σ E = σ ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
( DJ ) ( f ( x ) ) = D ∫0 f ( t ) dt
x
στ ≠ τσ .
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换
σ ( X ) = AX , τ ( X ) = XB ,
∀X ∈ P n×n
则 σ ,τ 皆为 P n×n 的线性变换，且对 ∀X ∈ P n×n , 有
(στ )( X ) = σ (τ ( X )) = σ ( XB ) = A( XB ) = AXB , (τσ )( X ) = τ (σ ( X )) = τ ( AX ) = ( AX ) B = AXB .
= σ (τ (α )) + σ (τ ( β )) = (στ )(α ) + (στ )( β ), (στ )( kα ) = σ (τ ( kα )) = σ ( kτ (α )) = kσ (τ (α )) = k (στ )(α )
§7.1 线性变换的定义
２．基本性质
（1）满足结合律：
例1. 线性空间 R[ x ]中，线性变换
高等代数第七章
l A ( X Y ) A( X Y ) AX AY l A ( X ) l A (Y ), l A ( kX ) A( kX ) k ( AX ) kl A ( X );
同样可验证 rA , A 为 n n 的线性变换. 注意:
A l A rA
1 2 + 1 n 1 L 2! ( n1)!
另一方面, 由 n 0 知
1 2 1 n 1 )n 0, ( 2! ( n1)!
即下述线性变换 幂零:
【例2】 设 E 3 为欧氏空间中 一切几何向量(有向线 段)所 构 成的三维线性空间, 为其中选定的一个 平面. 如图, 对于此空间中任何一个向量 , 我们用 R ( ) 表示向量 以平面 镜面的镜像 . 验证 R 为 E 3 的线性变换 , 且 R1 R .
【验证】 如图, 为平面 的法向; R ( ) 2 P ( ) ( ) 2 P ( ) ( 2 P )( ); R 2 P 为线性变换; P ( )
【定义1】 对于 , (V ), 我们如下定义它们的 乘积 : ( )( ) ( ( ))( V ), 即 : ( ) ( ( )).
【线性变换乘积的性质】 (如下有 , , (V ); k , l )
(3) dim (V ) n 2 ;
2. 线性变换代数*
(如下有 , , (V ); k , l ) ( )(k ) ( ( k )) (k ( )) k ( ( )) k ( )( ).
(2) ( ) ( ); (3) ( ) , ( ) ; (4) ( 为单位线性变换); (5) 0; (6) ( k ) ( k ) k ( ).
同样可验证 rA , A 为 n n 的线性变换. 注意:
A l A rA
1 2 + 1 n 1 L 2! ( n1)!
另一方面, 由 n 0 知
1 2 1 n 1 )n 0, ( 2! ( n1)!
即下述线性变换 幂零:
【例2】 设 E 3 为欧氏空间中 一切几何向量(有向线 段)所 构 成的三维线性空间, 为其中选定的一个 平面. 如图, 对于此空间中任何一个向量 , 我们用 R ( ) 表示向量 以平面 镜面的镜像 . 验证 R 为 E 3 的线性变换 , 且 R1 R .
【验证】 如图, 为平面 的法向; R ( ) 2 P ( ) ( ) 2 P ( ) ( 2 P )( ); R 2 P 为线性变换; P ( )
【定义1】 对于 , (V ), 我们如下定义它们的 乘积 : ( )( ) ( ( ))( V ), 即 : ( ) ( ( )).
【线性变换乘积的性质】 (如下有 , , (V ); k , l )
(3) dim (V ) n 2 ;
2. 线性变换代数*
(如下有 , , (V ); k , l ) ( )(k ) ( ( k )) (k ( )) k ( ( )) k ( )( ).
(2) ( ) ( ); (3) ( ) , ( ) ; (4) ( 为单位线性变换); (5) 0; (6) ( k ) ( k ) k ( ).
高等代数讲义ppt第七章 线性变换
(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N
第七章线性变换.(20201011015825)
第七章 线性变换计划课时： 24 学时 .( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质( 2 学时)教学目的及要求 ：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点 ：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授 .一 . 线性变换的定义( P 307 )注意：向量空间V 到自身的同构映射一定是 V 上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质定理 7.1.1定理 7.1.2推论 7.1.3 注意：1.定理 7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基 向量的作用所决定。
2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论 我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
P 309) P 309) ( P 3107.1.3 (P 310)告诉作业：习题七 P 330 1 ，2，3.§ 7.2 线性变换的运算(4 学时)教学目的及要求 教学重点、难点 ：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义 1 ( P 310)注意：+ 是V 的线性变换.二 . 数乘运算定义 2 ( P 311) 显然k 也是V 的一个线性变换.定理 7.2.1L (V ) 对于线性变换的加法与数乘运算构成数域 三 . 乘法运算(1). 乘法运算定义 3( P 311-312 ) 注意 ：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律 F 上的一个向量空间 . 两个非零线性变换的乘积可能是零变换 .(2). 线性变换 的方幂四 . 可逆线性变换定义 4 ( P 313)线性变换可逆的充要条件 例 2 ( P 314)线性变换的多项式的概念 ( 阅读内容 ).作业： P 330 习题七 4， 5.§7.3 线性变换的矩阵( 6 学时)教学目的及要求 ：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ( )关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M (F )的同构理论。
高等代数7线性变换
⾼等代数7线性变换⾼等代数7 线性变换⽬录线性变换的定义线性空间V到⾃⾝的映射通常称为V的⼀个变换。
定义线性空间V的⼀个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域P中的任意数k都有A(α+β)=A(α)+A(β)A(kα)+k A(α)线性变换A保持向量的加法和数量乘法。
恒等变换、单位变换 E(α)=α (α∈V)零变换0 0(α)=0 (α∈V)数乘变换设V是数域P上的线性空间，k是数域P上的某个数，定义V的变换：α→kα,α∈V这是⼀个线性变换，称为由数k决定的数乘变换。
简单性质1. 线性空间V的⼀个线性变换A，则A(0)=0,A(−a)=−A(a)2. 线性变换保持线性组合不变β=k1α1+k2α2+⋯+k rαr A(β)=k1A(α1)+k2A(α2)+⋯+k r A(αr)3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
线性变换的运算线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法运算乘法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的乘积AB为(AB)(α)=A(B(α)) (α∈V)线性变换的乘积也是线性变换。
适合结合律 (AB)C=A(BC)⼀般是不可交换的单位变换E EA=AE=A加法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的和A+B为(A+B)(α)=A(α)+B(α) (α∈V)线性变换的和还是线性变换交换律 A+B=B+A结合律 (A+B)+C=A+(B+C)零变换0 A+0=A负变换 A+(−A)=0 .负变换也是线性的。
线性变换乘法对加法具有左右分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA数量乘法数域P中的数与线性变换的数量乘法为k A=KA(kl)A=k(l A)(k+l)A=k A+l Ak(A+B)=k A+k B1A=A线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上的⼀个线性空间逆变换V上的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使 AB=BA=E这时，变换A称为A的逆变换，称为A−1如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A−1也是线性变换。
高等代数【北大版】76
由第六章§5的结论3知， (1), ( 2 ),L , ( n ) 的秩
等于矩阵A的秩.
∴ 秩( )＝秩 ( A).
§7.6 线性变换的值域与核
2. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
的秩＋ 的零度＝n 即 dim (V ) dim 1(0) n.
证明：设 的零度等于r ，在核 1(0)中取一组基 1, 2 ,L , r
线性无关.
设 kr1 ( r1 ) L kn ( n ) 0
则有 kr1 r1 L kn n 0
kr1 r1 L kn n 1(0) 即 可被 1, 2 ,L , r 线性表出.
§7.6 线性变换的值域与核
设 k11 k2 2 L kr r 于是有 k11 k22 L kr r, kr1 r1 L kn n 0 由于为 1, 2 ,L , n V的基.
二、有关性质
1. (定理10) 设 是n 维线性空间V的线性变换，
1, 2 ,L , n 是V的一组基， 在这组基下的矩阵是A，
则
1） 的值域 (V )是由基象组生成的子空间，即
(V ) L (1), ( 2 ),L , ( n )
2） 的秩＝A的秩.
§7.6 线性变换的值域与核
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 ( ) x1 (1) x2 ( 2 ) L xn ( n )
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6 线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
Байду номын сангаас
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.6 线性变换的值域与核
等于矩阵A的秩.
∴ 秩( )＝秩 ( A).
§7.6 线性变换的值域与核
2. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
的秩＋ 的零度＝n 即 dim (V ) dim 1(0) n.
证明：设 的零度等于r ，在核 1(0)中取一组基 1, 2 ,L , r
线性无关.
设 kr1 ( r1 ) L kn ( n ) 0
则有 kr1 r1 L kn n 0
kr1 r1 L kn n 1(0) 即 可被 1, 2 ,L , r 线性表出.
§7.6 线性变换的值域与核
设 k11 k2 2 L kr r 于是有 k11 k22 L kr r, kr1 r1 L kn n 0 由于为 1, 2 ,L , n V的基.
二、有关性质
1. (定理10) 设 是n 维线性空间V的线性变换，
1, 2 ,L , n 是V的一组基， 在这组基下的矩阵是A，
则
1） 的值域 (V )是由基象组生成的子空间，即
(V ) L (1), ( 2 ),L , ( n )
2） 的秩＝A的秩.
§7.6 线性变换的值域与核
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 ( ) x1 (1) x2 ( 2 ) L xn ( n )
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6 线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
Байду номын сангаас
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.6 线性变换的值域与核
高等代数课件(北大三版)--第七章-线性变换
尤其，向量空间V 在σ之下旳象是W 旳一种
子空间，叫做σ旳象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 旳零子空间 { 0 } 在σ之下旳原象是 V 旳一种子空间，叫做σ旳核，
记为 Ker( ),
即 Ker( ) { V | ( ) 0}.
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一种线 性映射，那么 :V W (i) σ是满射 Im( ) W (ii) σ是单射 Ker( ) {0} 证明 论断(i)是显然旳,我们只证论断(ii) 假如σ是单射,那么ker(σ)只能是具有唯一旳零向量. 反过来设ker(σ) = {0}.
轻易证明上面旳两个条件等价于下面一种条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0，对③进行数学归纳，能够得到：
（1） (0) 0
（2） (a11 ann ) a1 (1) an (n )
例1 对于 R 2 旳每历来量 x1, x2 定义 x1, x1 x2 , x1 x2 R3
x1
(1
,
2
,,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
( ) x1 (1) x2 (2 ) xn (n )
（2）
x1
(
(1),
(
2
),,
(
n
))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,
2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最终，等式表白， ( )关于(1,2 ,n ) 旳坐标所构成 旳列是
高等代数(第7章)
例如，零变换将线性无关的向量组变成线性相关 的向量组.
§7.2 线性变换的运算
设V是数域P上的线性空间， 、是V的两个线 性变换. 1.线性运算 (1)加法： 与的和定义为 ( +)()=()+() ( V) (2)数量乘法：数域P中的数k与的数量乘法定义为 (k)( ) =k(()) ( V) (3) 负变换：的负变换 -定义为 (-)()= - () ( V) 结论：线性空间V上的线性变换的全体，对于如上定 义的加法与数乘运算构成数域P上的线性空间.即
例2 设是几何空间中一个固定的非零向量, 将每个 向量变到它在上的内射影的变换
( , ) ( ) ( , ) .
( )
是一个线性变换.
2.线性变换的简单性质 设 是数域P上线性空间V的一个变换. (i)(0)=0, (-)= - (), V. (ii)(k11+…+ kmm)= k1(1) +…+ km(m) i V, ki P (i=1,2,…,m) (iii) 设i V, (i=1,2,…,m) .若 1,2,…,m线性相关,则 (1),(2),…,(m)线性相关；反之不然.
线性变换被基向量的像唯一确定！
定理1: 设1, 2,…,n是数域P上n维线性空间V 的一组 基, 1,2,…,n是V中任意n个向量,则存在唯一的线性 变换使 (j)= j , j=1,2,…,n.
证明：(i)存在性
x i i V , 定义V的变换： x i i .
仍是线性变换
()()=(()) ( V)
运算律： (i)()= () (ii) (+) = + , (+)+= +(+) (iii)k()=(k)= (k) 注意：线性变换的乘积一般是不可交换的,即 . 例1 在P22中，定义线性变换、 、为
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
第七章 线性变换
, ε n ,写出
,ε n
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例 2 设线性变换A 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是
⎛1 2 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 2⎟, ⎜2 2 1⎟ ⎝ ⎠
求A 的特征值与特征向量. 线性变换A 的属于 λ0 的全部特征向量再添上零向量所 成的集合,是V的一个子空间,称为A 的一个特征子空间,记为
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例 设V是数域P上一个二维线性空间,
ε 1 , ε 2是一组基线性变换A 在 ε 1 , ε 2 下的矩阵是
⎛ 2 1⎞ ⎜ ⎟. ⎝ −1 0 ⎠ 对V的另一组基 η1 ,η 2 ,有
⎛ 1 −1 ⎞ (η1 ,η 2 ) = (ε 1 , ε 2 ) ⎜ ⎟, ⎝ −1 2 ⎠ k ⎛ 2 1⎞ 求 ⎜ ⎟ . ⎝ −1 0 ⎠
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定理 2 设 ε 1 , ε 2 ,
, ε n 使数域P上n维 ,ε n ) A
线性空间V的一组基,在这组基下,每个线性变换按
A (ε 1 , ε 2 ,
, ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,
都对应一个 n × n 矩阵,这个对应具有以下的性质: 1) 线性变换的和对应于矩阵的和; 2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积; 3) 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积; 4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对 应于逆矩阵.
高等代数
东北大学秦皇岛分校
利用线性变换的矩阵计算向量的像: 定理 3 设线性变换A 在基 ε 1 , ε 2 , 矩阵是A,向量 ξ 在基 ε 1 , ε 2 , 则 A ξ 在基 ε 1 , ε 2 ,
, ε n 下的 , ε n下的坐标是 ( x1 , x2 ,
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1
使
B T
1
AT .
AT ) T
1
g A ( A )T 0
g A ( x ) 也以B为根，
从而
gB ( x) gA( x).
同理可得
gA( x) gB ( x).
又 g A ( x ), g B ( x ) 都是首1多项式， g A ( x ) g B ( x ).
2012-9-23§7.9 最小多项式
即A为 g ( x ) 的根.
2012-9-23§7.9 最小多项式
数学与计算科学学院
所以 g ( x ) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h ( A ) 0 , 则
0 h ( A1 ) h( A ) 0 h ( A2 ) 0
从而 h ( A1 ) 0 , h ( A 2 ) 0 .
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引入
由哈密尔顿―凯莱定理， A P 是A的特征多项式，则 f ( A ) 0 . 因此，对任定一个矩阵 多项式 f ( x ) P [ x ],
A P
n n
n n
, f ( ) | E A |
，总可以找到一个
使 f ( A ) 0 . 此时，也称
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵
§6线性变换的值域与核
§7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
2012-9-23
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§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
二、最小多项式的基本性质
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2012-9-23§7.9 最小多项式
由最小多项式的定义， r ( x ) 0 .
g ( x ) f ( x ).
由此可知： 若 g ( x )是A的最小多项式，则 g ( x )整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个
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解： 的特征多项式
x 1 1 1 x 1 f ( x ) | E A E | 1 1
( x n)x
n1
1 1 x1
又
A 0, A nE 0, A 0
2
而
A
A( A nE ) 0.
的最小多项式为 x ( x n ).
则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g ( x ), 则
g ( )(V ) 0 .
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若 g ( x )为P上互素的一次因式的乘积：
g ( x ) ( x a 1 )( x a 2 )...( x a s )
则
V V 1 V 2 ... V S ,
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6.（引理4）k 级若当块
a 1 a 1 J 1 a
的最小多项式为
(x a) .
k
证：J的特征多项式为
( J aE ) 0.
k
(x a)
k
2012-9-23§7.9 最小多项式
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g1 ( x ) h( x ) , g 2 ( x ) h( x ) . g ( x ) h( x ) .
从而
故 g ( x ) 为A的最小多项式.
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推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 As
且 A i 的最小多项式为 g i ( x ), i 1, 2 , ..., s 则A的最小多项式是为 [ g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x )].
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2012-9-23§7.9 最小多项式
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f ( x ) 可表成
f ( x ) q ( x ) g ( x ) r ( x ),
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g ( x )).
于是有
f ( A) q( A)g( A) r( A) 0
r( A) 0
因子.
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例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x k ; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x .
反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
例2、求
1 1 0 A 0 1 0 0 0 1
g 1 ( x ) cg 2 ( x ), c 0
又 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是首1多项式, 故
g 1 ( x ) g 2 ( x ).
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c 1
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2.（引理2）设 g ( x ) 是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 g ( x ) f ( x ).
0 0. 0 1 0 0
J
的最小多项式为
(x a) .
k
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6.（定理13） A P n n与对角矩阵相似
A
的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A，
∴ A的最小多项式为
2012-9-23§7.9 最小多项式
( x 1) .
2
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4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似，g A ( x ), g B ( x )分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 从而
g A ( B ) g A (T
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注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 0 A 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 , B 0 0 2 0
2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
的最小多项式皆为 ( x 1) ( x 2 ),
而
0 1 0 1 0 J aE 0, 1 0
0 0 0 1 0 0 2 (J aE ) 0, 1 0 0
( J aE )
k 1
多项式 f ( x ) 以A为根.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的
那个与A的对角化之间的关系.
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一、最小多项式的定义
定义： 设
A P
n n
,
在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
A1 0 A 0 A2
并设 A1 , A 2 的最小多项式分别为 g 1 ( x ), g 2 ( x ). 则A的最小多项式为 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 的最小公倍式. 证：记 g ( x ) [ g 1 ( x ), g 2 ( x )] 首先，
0 g ( A1 ) g( A) 0 g ( A2 ) 0
其中 V i { | V , ( a i E )( ) 0 }. （此结论的证明步骤同定理12） 把 V 1 , V 2 , , V S 各自的基合起来就是V的一组基. 在这组基中，每个向量都属于某个 V i ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g 2 ( x )).
于是有
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g1 ( A ) q ( A ) g 2 ( A ) r ( A ) 0
r( A) 0
由最小多项式的定义， r ( x ) 0 , 即， g 2 ( x ) g 1 ( x ) . 同理可得， g 1 ( x ) g 2 ( x ).
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二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g 1 ( x ) 可表成
g1 ( x ) q ( x ) g 2 ( x ) r ( x )
的最小多项式.
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解：A的特征多项式为
x 1 1 0 3 f ( x ) | x E A | 0 x1 0 ( x 1) 0 0 x1
又 A E 0,
(A E) A 2A E
2 2
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
| E A | ( x 1) ( x 2 ),
3
但A与B不相似.
| E B | ( x 1) ( x 2 )
2
2
即 | E A | | E B | .
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使
B T
1
AT .
AT ) T
1
g A ( A )T 0
g A ( x ) 也以B为根，
从而
gB ( x) gA( x).
同理可得
gA( x) gB ( x).
又 g A ( x ), g B ( x ) 都是首1多项式， g A ( x ) g B ( x ).
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即A为 g ( x ) 的根.
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所以 g ( x ) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h ( A ) 0 , 则
0 h ( A1 ) h( A ) 0 h ( A2 ) 0
从而 h ( A1 ) 0 , h ( A 2 ) 0 .
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引入
由哈密尔顿―凯莱定理， A P 是A的特征多项式，则 f ( A ) 0 . 因此，对任定一个矩阵 多项式 f ( x ) P [ x ],
A P
n n
n n
, f ( ) | E A |
，总可以找到一个
使 f ( A ) 0 . 此时，也称
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵
§6线性变换的值域与核
§7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
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§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
二、最小多项式的基本性质
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由最小多项式的定义， r ( x ) 0 .
g ( x ) f ( x ).
由此可知： 若 g ( x )是A的最小多项式，则 g ( x )整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个
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解： 的特征多项式
x 1 1 1 x 1 f ( x ) | E A E | 1 1
( x n)x
n1
1 1 x1
又
A 0, A nE 0, A 0
2
而
A
A( A nE ) 0.
的最小多项式为 x ( x n ).
则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g ( x ), 则
g ( )(V ) 0 .
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若 g ( x )为P上互素的一次因式的乘积：
g ( x ) ( x a 1 )( x a 2 )...( x a s )
则
V V 1 V 2 ... V S ,
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6.（引理4）k 级若当块
a 1 a 1 J 1 a
的最小多项式为
(x a) .
k
证：J的特征多项式为
( J aE ) 0.
k
(x a)
k
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g1 ( x ) h( x ) , g 2 ( x ) h( x ) . g ( x ) h( x ) .
从而
故 g ( x ) 为A的最小多项式.
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推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 As
且 A i 的最小多项式为 g i ( x ), i 1, 2 , ..., s 则A的最小多项式是为 [ g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x )].
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证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f ( x ) 可表成
f ( x ) q ( x ) g ( x ) r ( x ),
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g ( x )).
于是有
f ( A) q( A)g( A) r( A) 0
r( A) 0
因子.
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例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x k ; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x .
反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
例2、求
1 1 0 A 0 1 0 0 0 1
g 1 ( x ) cg 2 ( x ), c 0
又 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是首1多项式, 故
g 1 ( x ) g 2 ( x ).
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c 1
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2.（引理2）设 g ( x ) 是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 g ( x ) f ( x ).
0 0. 0 1 0 0
J
的最小多项式为
(x a) .
k
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6.（定理13） A P n n与对角矩阵相似
A
的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A，
∴ A的最小多项式为
2012-9-23§7.9 最小多项式
( x 1) .
2
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4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似，g A ( x ), g B ( x )分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 从而
g A ( B ) g A (T
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注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 0 A 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 , B 0 0 2 0
2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
的最小多项式皆为 ( x 1) ( x 2 ),
而
0 1 0 1 0 J aE 0, 1 0
0 0 0 1 0 0 2 (J aE ) 0, 1 0 0
( J aE )
k 1
多项式 f ( x ) 以A为根.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的
那个与A的对角化之间的关系.
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一、最小多项式的定义
定义： 设
A P
n n
,
在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
A1 0 A 0 A2
并设 A1 , A 2 的最小多项式分别为 g 1 ( x ), g 2 ( x ). 则A的最小多项式为 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 的最小公倍式. 证：记 g ( x ) [ g 1 ( x ), g 2 ( x )] 首先，
0 g ( A1 ) g( A) 0 g ( A2 ) 0
其中 V i { | V , ( a i E )( ) 0 }. （此结论的证明步骤同定理12） 把 V 1 , V 2 , , V S 各自的基合起来就是V的一组基. 在这组基中，每个向量都属于某个 V i ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g 2 ( x )).
于是有
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g1 ( A ) q ( A ) g 2 ( A ) r ( A ) 0
r( A) 0
由最小多项式的定义， r ( x ) 0 , 即， g 2 ( x ) g 1 ( x ) . 同理可得， g 1 ( x ) g 2 ( x ).
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二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g 1 ( x ) 可表成
g1 ( x ) q ( x ) g 2 ( x ) r ( x )
的最小多项式.
2012-9-23§7.9 最小多项式
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解：A的特征多项式为
x 1 1 0 3 f ( x ) | x E A | 0 x1 0 ( x 1) 0 0 x1
又 A E 0,
(A E) A 2A E
2 2
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
| E A | ( x 1) ( x 2 ),
3
但A与B不相似.
| E B | ( x 1) ( x 2 )
2
2
即 | E A | | E B | .
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