免费版 2014年八年级数学下册同步讲义 18.2 矩形的性质与判定

18.2矩形的性质与判定

例1.已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、

G、H。求证：四边形EFGH 是矩形。

例2.如图，在平行四边形ABCD中,以AC为斜边作直角三角形ACE,∠BED=900、

说明四边形ABCD 是矩形.

例3.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD交于O,E,F,G,H分别是四边的中点，求证：四边形EFGH

是矩形．

例4.已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A（10,0）、C（0,4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求P

点坐标?

例5.如图，矩形ABCD中，EF⊥EB,EF=EB,ABCD周长为22cm，CE=3cm，求：DE

的长。

矩形的定义：有一个角是直

角的平行四边形。

矩形的性质：

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线平分且相等。

矩形判定定理：

1.有一个角是直角的平行

四边形叫做矩形。

2.对角线相等的平行四边

形是矩形。

3.有三个角是直角的四边

形是矩形。

4.对角线互相平分且相等

的四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半。

例6.如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F 处，折痕为AE，求CE的长．

例7.矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD.

例8.如图，△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于点E，AF⊥CF于点F，直线EF分别交AB、AC于点M、点N．

（1）猜想四边形AECF的形状，并证明你的猜想;

（2）判断MN与BC有何种位置关系，证明你的结论．

例9.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,BE平分∠ABC交AC于点E,交AD于点F，且∠DBF=150，求证:OF=EF。

课堂练习：

1.由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（）

A.22.5°

B.45°

C.30°

D.60°2.若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为（）

A.22

B.26

C.22或26

D.28

3.如图，E,F,G,H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形，四边形ABCD 应具备的条件是（）．

A.一组对边平行而另一组对边不平行;

B.对角线相等

C.对角线互相垂直;

D.对角线互相平分

4.如图,过矩形ABCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ，那么图中矩形AMRP 的面积S 1,与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是()

A.S 1>S 2

B.S 1=S 2

C.S 1

D.不能确定5.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE=30°,AB=3,折叠后,点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（

）

A.3

B.2

C.3

D.3

26.在矩形ABCD 中，AB=2BC，在CD 上取一点E,使AE=AB,则∠EBC=_______度。

7.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是________

8.如图,在矩形ABCD 中,DC=2BC,在DC 上取一点E,使EB=AB,连结EA，则∠DAE=_______

9.如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm，BC=6cm．点E，F 分别在AB，CD 上,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，则整个阴影部分图形的周长为

10.如图,在扇形中,∠AOB=900

,OA=5，C 是弧AB 上一点,且CD⊥OB，CE⊥OA,垂足分别为点D、E，则DE=

11.在△ABC 中，∠C=900

，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC 于点E，PF⊥BC 于点F。求证：DE=DF.

12.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD,垂足为E,已知AB=3,AD=4,求△AEO的面积。

13.如图,在矩形OABC中,已知点B的坐标为(9,4),点P是矩形边上的一个动点，若点E的坐标为（5，0）,且△POE是等腰三角形，求点P的坐标？

14.如图,在矩形OABC中,已知B（8,6），点P是边AB上的一个动点,PM⊥AC,PN⊥OB,求PM+PN的长.

15.如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧分别作3个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形？

16.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,按下列要求折叠,试求出所要求的结果：

；

(1)如图,把矩形ABCD沿对角线BD折叠得△EBD,BE交CD于点F,求S

△BFD

(2)如图,折叠矩形ABCD,使AD与对角线BD重合,求折痕DE的长；

(3)如图,折叠矩形ABCD,使点B与点D重合,求折痕EF的长；