因式分解知识点总结及巩固练习

因式分解知识点总结及

巩固练习

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一、知识梳理

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积

例：111

() 333

ax bx x a b +=+

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

例：33323422

1286

a b c a b c a b c

-+的公因式是．

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422

,,

a b c a b c a b c都含有因式32

a b c，故多项式的

公因式是232

a b c.

②提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把2233121824a b ab a b --分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab ，故公因式为6ab 。

解：2233121824a b ab a b --

例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式

解析：由于4(4)x x -=--，多项式3(4)(4)x x x -+-可以变形为3(4)(4)x x x ---,我们

可以发现多项式各项都含有公因式（4x -）,所以我们可以提取公因式

（4x -）后,再将多项式写成积的形式.

解：3(4)(4)x x x -+-

=3(4)(4)x x x ---

=(3)(4)x x --

例3：把多项式22x x -+分解因式

解：22x x -+=2(2)(2)x x x x --=--

（2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方

差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解21449a a -+

解：21449a a -+=2(7)a -

例2：因式分解222()()a a b c b c ++++

解：222()()a a b c b c ++++=2()a b c ++

（3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；

例：把多项式1ab a b -+-分解因式

解：1ab a b -+-=()(1)ab a b -+-=(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-

②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

例：将多项式2221a ab b --+因式分解

解：2221a ab b --+

=222(2)1()1(1)(1)a ab b a b a b a b -+-=--=-+--

（4）十字相乘法（形如2()()()x p q x pq x p x q +++=++形式的多项式，可以考虑运

用此种方法）

方法：常数项拆成两个因数p q 和，这两数的和p q +为一次项系数 例：分解因式230x x -- 分解因式252100x x ++ 补充点详解 补充点详解

我们可以将-30分解成p ×q 的形式， 我们可以将100分解成p ×q 的形式，

使p+q=-1, p ×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p ×q=100,我们就有p=2,

q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以将多项式2()x p q x pq +++可以分 所以将多项式2()x p q x pq +++可以分

解为()()x p x q ++ 解为()()x p x q ++ x 5

x 2 x

-6 x 50

3.因式分解的一般步骤：

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的

因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

二、 例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

【例 1】 分解因式：

⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数)

⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)

【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.

【例 2】 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12

y =． 【巩固】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-

. 【例 3】 已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333

a a

b

c b c a b c b c a --+-+++-的值. 【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.

公式法

平方差公式：22()()a b a b a b -=+-