不等式的性质与应用：第1讲不等式的性质及应用

不等式的性质及应用

【知识分析】

不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，高考中主要以客观题形式呈现，难度不大，分值5分，复习时注意不等式的等价变形，特别是不等式两边同乘以或同除以一个数时，不等式的方向变化． 【经典例题】

(1)(2016·北京平谷区质检，6)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －d

b ＞0；

②若ab ＞0，c a －d

b ＞0，则b

c －a

d ＞0；

③若bc －ad ＞0，c a －d

b ＞0，则ab ＞0.

其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

(2)(2014·课标Ⅰ，9)不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，

x －2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：

p 1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2， p 2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2， p 3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3， p 4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( )

A ．p 2，p 3

B ．p 1，p 2

C ．p 1，p 4

D ．p 1，p 3

【解析】 (1)对于①，∵ab ＞0，bc －ad ＞0，∴c a －d b ＝bc －ad ab ＞0，∴①正确；对于②，∵ab ＞0，又c a －d

b ＞

0，即

bc －ad ab ＞0，∴bc －ad ＞0，∴②正确；对于③，∵bc －ad ＞0，又c a －d

b ＞0，即b

c －a

d ab

＞0，∴ab ＞0，∴③正确．

(2)设x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －2y)，

则⎩

⎪⎨⎪⎧1＝m ＋n ，

2＝m －2n ，解得⎩⎨⎧

m ＝43

，

n ＝－13.

∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4，∴43

(x ＋y)≥43，－13(x －2y)≥－43，

∴x ＋2y ＝43(x ＋y)－1

3(x －2y)≥0.

故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误． 【答案】 (1)D (2)B

题(1)实质为ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d

b ＞0三个结论之间的轮换，知二推一，利用不等式的性质判断．

(2)利用不等式组求x ＋2y 的范围，注意性质应用的条件，以免扩大取值范围．

判断关于不等式的命题真假的三种方法

(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．

(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．

(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．

利用不等式的性质求取值范围的方法

由a ＜f(x ，y)＜b ，c ＜g(x ，y)＜d 求F(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x ，y)＝mf(x ，y)＋ng(x ，y)，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F(x ，y)的取值范围． 【针对训练】

1.(2014·四川·4)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b a B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c

1．D 方法一：c0⇒c cd

<0⇒

⎭⎪⎬⎪⎫

－1d >－1c >0a>b>0

⇒－a d >－b c ⇒a d

方法二：依题意取a ＝2，b ＝1时，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确． 2．(2016·江苏镇江模拟，14)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2

≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3

y

4的最大值是________．

2.【解析】 方法一：由题意知，实数x ，y 均为正数，则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y≤lg 8，lg 4≤2lg x －lg y≤lg 9.

令lg x ＝a ，lg y ＝b ，

则有⎩

⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b≤3lg 2，2lg 2≤2a －b≤2lg 3.设t ＝x 3

y 4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b.令3a －4b ＝m(a ＋2b)＋n(2a －b)，解得m ＝

－1，n ＝2，故lg t ＝－(a ＋2b)＋2(2a －b)≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27.所以x 3

y 4的最大值为27.

方法二：将4≤x 2

y ≤9两边平方，得

16≤x 4

y

2≤81.①

由3≤xy 2≤8，得18≤1xy 2≤1

3

.②

由①②，得2≤x 3y 4≤27，即x 3

y 4的最大值是27.

【答案】 27, 【测试】

1．(2016·河北衡水一模，5)设a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1

a ＜0，则甲是乙的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．(2016·湖北荆门模拟，8)已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2 D ．ab ＞ab 2＞a

2．D 由－1＜b ＜0，得b ＜b 2＜1.又∵a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a. 3．(2015·河北衡水二模，5)已知01a

B.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b C ．(lg a)2<(lg b)2 D.1lg a >1

lg b

3．D 因为0

所以1b －1a ＝a －b ab

<0.

可得1b <1a ，⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b

，(lg a)2>(lg b)2，lg a

由lg a

1lg a >1lg b

，因此只有D 项正确．