微积分的基本运算

第4章微积分的基本运算

本章学习的主要目的：

1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.

2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解.

3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；

4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.

1 有关函数极限计算的MatLab命令

(1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a 的极限

(2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限

(3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限

(4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限

(5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限

注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)42

20

x cos lim x

e

x x -→-

在MatLab 的命令窗口输入: syms x

limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12

理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 =-+-=---=--

-

→-

→-→2

2

222

20

x 3

22

x 42

20

x 12cos lim

4)

(sin lim

cos lim x x e

e

x x x e

x x

e

x x x x x

12112112)2(2

lim 1211cos lim

222

220x 2

2

22220

x -=--+=--++--

→-

-

→x x x e x x x x x e e x 方法

2 4

42

224420x 42

20x ))(2)2()2(1()(!

421lim cos lim x x o x x x o x x x e x x +-+---++-=-→-→

12

1)

(121lim

444

x -

=+-=→x x o x (2) x 3x )x

t

21(lim +∞

→ %自变量趋于无穷大,带参数t 在MatLab 的命令窗口输入: syms x t

limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) 运行结果为 ans =exp(6*t)

理论上用重要极限计算:

t t t x

e 662x x 3x ))x

t

21((lim )x t 21(lim =+=+∞→∞→ (3) x

1

lim 0x +→ %求右极限 在MatLab 的命令窗口输入: syms x

limit(1/x,x,0,’right’) 运行结果为 ans = inf

2 有关函数导数计算的MatLab 命令

(1)diff(F,x) 表示表达式F 对符号变量x 求一阶导数，

允许表达式F 含有其他符号变量，若x

缺省，则表示对由命令syms定义的变量求一阶导数。

(2)diff(F,x,n) 表示表达式F 对符号变量x 求n 阶导数。 例10 求下列函数的导数 （1） 已知2

42

arcsin x x x y -+

=,求)3(,'y y ；

在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms x

y=x*asin(x/2)+sqrt(4-x^2)

diff(y,x) %执行结果ans = asin(1/2*x)与理论推导

)2

x

arcsin('＝y 完全吻合。

diff(y,x,3) %执行结果ans = 1/(4-x^2)^(3/2)*x 与理

论推导23

23)

4(x x y

-

＝）

（完全吻合。

（2） 已知y x

z 2sin 2

=,求

y

x z x z x z ∂∂∂∂∂∂∂222,

,

在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z z=x^2*sin(2*y);

diff(z,x) %执行结果ans =2*x*sin(2*y)

diff(z,x,2) %执行结果ans =2*sin(2*y) diff(diff(z,x),y) %执行结果ans =4*x*cos(2*y) （3） 已知2

2z

y)

-x (u y

x z ＋==,求

y

x u y u x u ∂∂∂∂∂∂∂2,

, (复合函数求

导偏导数)

在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z u z=x^2+y^2; u=(x-y)^z; diff(u,x)

%

执

行

结

果

＝x

u ∂∂ (x-y)^(x^2+y^2)*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)) diff(u,y,2)

%执行结果

＝y

u ∂∂(x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y))^

2+

(x-y)^(x^2+y^2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y)^2) diff(diff(u,x),y)

%

执

行

结

果

＝y

x u

∂∂∂2 (x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-