大学物理第二十章题解

第二十章 稳恒电流的磁场

20-1．如图所示，将一条无限长载流直导线在某处折成直角，P 点在折线的延长线上，到折线的距离为a .（1）设导线所载电流为I ，求P 点的B r

．（2）当20A I =，0.05m a =，

求B r ．

解 （1）根据毕-萨定律，AB 段直导线电流在P 点产生的磁场0B =；BC 段是“半无限长”直导线电流，它在P 点产生的磁场为001224I

I B a a

μμππ==，方向垂直纸面向里．根

据叠加原理，P 点的磁感应强度

001224I

I B a a

μμππ=

=

方向垂直纸面向里．

（2）当20A I =，0.05m a =时

75141020410(T)22005

B .ππ--⨯⨯=⨯=⨯⨯

20-2．如图所示，将一条无限长直导线在某处弯成半径为R 的半圆形，已知导线中的

电流为I ，求圆心处的磁感应强度B r

．

解 根据毕-萨定律，两直线段导线的电流在O 点产生的磁感应强度0B =，半圆环形导线的电流在O 点产生的磁感应强度0122I

B R

μ=

．由叠加原理，圆心O 处的磁感应强度 04I B R

μ=

方向垂直纸面向里．

20-3．电流I 若沿图中所示的三种形状的导线流过（图中直线部分伸向无限远）, 试求

各O 点的磁感应强度B ρ

．

解 （a ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于两条半无限长直线电流的磁感应强度和14个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加

0000111(1)22224224

I I I I B R R R R μμμμπ

πππ=

++=+ ，方向垂直纸面向外．

（b ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于下面一条半无限长直线电流的磁感应强度和34个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加

000133

(1)224242

I I I B R R R μμμπππ=

+=+ ，方向垂直纸面向里．

（c ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于两条半无限长直线电流的磁感应强度和12个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加

000111222222I I I B R R R μμμππ=

++()024I R

μππ=+ ，方向垂直纸面向里．

*20-4．如图所示，电流I 均匀地流过宽为a 2的无限长平面导体薄板．P 点到薄板的

垂足O 点正好在板的中线上，设距离x PO =，求证P 点的磁感应强度B ρ

的大小为

x

a

a I B arctan 20πμ=

解 把薄板等分成无限多条宽为d y 的细长条，每根细长条的电流d d 2I

I y a

=，可视为线电流；无限长载流薄板可看成由无限多条无限长载流直导线构成．

y 处的细长条在P 点产生的磁感应强度为d B +r

，y -处的细长条在P 点产生的磁感应强

度为d B -r

，二者叠加为沿Oy 方向的d B r ．所以P 点的磁感应强度B ρ沿Oy 方向，B ρ的大小

a

B θ=

⎰

0a

=⎰

0220d 2a Ix y a x y μπ=+⎰001arctan 2a

Ix y a x x μπ=0arctan 2I a a x μπ

=

*20-5．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单

层线圈盖住半个球面．设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 处的B ρ

．

解 在14圆周的圆弧ºab

上，单位长度弧长的线圈匝数为 224N N

R R

ππ=

在如图θ处，d θ角对应弧长d l 内通过的电流

22d d d NI NI

I l R θππ

=

= 此电流可视为半径为r 的圆环形电流圈，参见教材p80，此圆环形电流圈在O 处产生的

2222

00033

d sin 2d d sin d 22r I

R NI NI B R R R

μμθμθθθππ=== 所以总磁感应强度 20022

00d sin d 4NI NI B B R R

π

πμμθθπ===⎰⎰

20-6．如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过与直导线共面的矩形面积CDEF 的磁通量．

解 用平行于长直导线的直线把矩形CDEF 分成无限多个无限小的面元，距长直导线

r 处的面元的面积为d d S l r =，设矩形CDEF 的方向为垂直纸面向里，则

d S Φ=B S ⋅⎰⎰r r 0

d 2b a I l r r μπ=⎰b 0d 2a Il r r μπ=⎰0ln 2Il b a

μπ=

20-7．无限长同轴电缆的横截面如图所示，内导线半径为a ，载正向电流I ，圆筒形外导线的内外半径分别为b 和c ，载反向电流I ，两导线内电流都均匀分布，求磁感应强度的分布．

解 考虑毕-萨定律，又因同轴电缆无限长，电流分布具有轴对称性，所以磁感应线在与电缆轴线垂直的平面内，为以轴线为圆心的同心圆；B r

沿圆周切向，在到轴线距离r 相同

处B r

的大小相等，()B B r =．沿磁感应线建立安培环路L （轴线为圆心、半径为r 的圆），

沿磁感应线方向积分．

在r c >区域，由安培环路定理

110d 2()0L

B l rB I I πμ⋅==-=⎰r

r Ñ

可得10B =．在c r b >>区域，由安培环路定理

2222

22002222d 2()L r b c r B l rB I I I c b c b πππμμππ--⋅==-=--⎰r r Ñ 可得22

0222

2I c r B r c b

μπ-=-．在b r a >>区域，由安培环路定理 330d 2L

B l rB I πμ⋅==⎰r r Ñ

可得032I

B r

μπ=

．在a r >区域，由安培环路定理 22

440022d 2L r r B l rB I I a a ππμμπ⋅===⎰r r Ñ

可得042

2Ir

B a

μπ=

．

20-8．如图所示，厚度为2d 的无限大导体平板，电流密度J 沿z 方向均匀流过导体板，求空间磁感应强度的分布．

解 此无限大导体板可视为无限多个无限薄的无限大平板的叠加，参见习题20-4，可