一元函数积分知识点完整版
一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
一元函数积分学总结
一元函数积分学总结引言积分是微积分学中的重要概念之一，它与微分一样具有重要的应用价值。
一元函数积分学是微积分学的核心内容之一，其研究对象是一元函数的积分与求解。
本文将总结一元函数积分学的基本概念、性质、计算方法以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用一元函数的积分学知识。
一元函数积分的基本概念一元函数积分的基本概念包括不定积分和定积分。
不定积分是指对一元函数进行积分，得到的结果是一个与变量x相关的函数表达式。
定积分是指对一元函数在一个区间内进行积分，得到的结果是一个数值。
不定积分的性质不定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以利用不定积分的基本公式进行积分运算。
此外，不定积分还具有相应的积分表，包括多种函数的不定积分表和常见函数的不定积分表。
定积分的性质定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以通过分割区间，将定积分转化为多个小区间上的定积分，从而进行计算。
定积分还具有保号性、中值定理等重要性质，这些性质在实际应用中起到了重要的作用。
一元函数积分的计算方法一元函数积分的计算方法主要包括换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等。
这些方法可以根据具体的积分问题选择合适的方法进行计算，从而简化计算过程。
换元积分法换元积分法是一种通过引入新的变量来进行积分的方法。
通过选择合适的换元公式，可以将原积分化简为简单的标准积分形式，从而进行计算。
分部积分法分部积分法是一种通过对被积函数进行分部积分来进行积分的方法。
通过选择合适的分配律，可以将原积分转化为两个函数的乘积的积分形式，从而进行计算。
有理函数积分法有理函数积分法是一种通过将有理函数进行部分分式分解来进行积分的方法。
通过分解成简单的分式形式，可以利用不定积分的基本公式进行计算。
有理函数积分法适用于有理函数的积分，可以将复杂的积分问题化简为简单的有理函数积分。
一元函数积分的应用一元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
第三章一元函数积分学
不定积分的定义：
定义3-2 在区间I 内，函数 f ( x)的原函数
的全体 F(x)+C，称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
性质3-1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx;
证
f (x)dx g(x)dx
f (x)dx g(x)dx f ( x) g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
性质3-2 kf (x)dx k f (x)dx.
（k 是常数，k 0)
y
斜率都为
f (x)
o
x
F x C.
x
3.1.2 基本积分公式
实例
x 1
x
xdx x1 C . ( 1)
1
1
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
性质
1
d dx
f
( x)dx
f (x),
d f (x)dx
f (x)dx,
2 F(x)dx F(x) C, dF ( x) F ( x) C.
第3章 一元函数积分学
3.1 不定积分 3.2 定积分 3.3 广义积分 3.4 定积分的应用
d y f '(x)d x
3.1 不定积分
问题的提出
我们知道
x1
1
反之， x ?
x
x
x1
1
本章所讲的内容就是导数的逆运算
3.1 不定积分
3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 基本积分公式 3.1.3 不定积分的性质 3.1.4 换元积分法
一元函数的积分复习
一元函数积分复习提要（声明：该提要和期末考题无关）一、必须记住的公式, ;ln ,1 1C e dO e C a a dO a C u O dO O O O OO u u+=+=++=⎰⎰⎰+ C O dO O C O dO O C O dO O +=+=+-=⎰⎰⎰tan sec ,sin cos ,cos sin 2C O dO O C O dO O C O dO O O +=-+=++=⎰⎰⎰arcsin 11 ,arctan 11 ,sec sec tan 22,tan sec ln sec ,cos ln tan C O O dO O C O dO O ++=+-=⎰⎰注：O 里可以填各种函数二、两种方法：1、换元法（包含凑微分法）2、分部积分法凑微分的常用类型： 1 1 (2); 2 (1):exp ,1 121+==+=++n x d dx x x d xdx u O d dO O n n u u2、x x O O OOde x d e de dO e a a d dO a 222(1):exp , ;ln === 3、x d x d xdx O d dO O d OdO cos )cos (sin )1(:exp ,sin cosO ),cos (sin -=-==-= 4、x d xdx O d OdO O O d OdO tan sec :exp ;sec tan sec ,tan sec 22===5、x d dx x O d dO OO d dO tan 11)1(:exp arcsin 11 ,arctan O 11 222=+=-=+ 方法一：换元法：⎰⎰'==dx x x f du u f x u )())(()()(ϕϕϕ注：当)(u f 关于u 的原函数不容易找，可通过求)())((x x f ϕϕ'关于x 的原函数实现求解，另一方面，如果)())((x x f ϕϕ'关于x 的原函数不容易找，也可以通过凑微分)()(x d dx x ϕϕ='，化为求)(u f 关于u 的原函数，实现求解。
第五章一元函数积分学
解
(1)
1 dx x 1 dx 1 x 1 1 c 2 x c; 2 2 x 1 1 2
(2e) x 2 x e x c. x x x (2) 2 e dx (2e) dx c ln(2e) 1 ln 2
例4 求 (2e x -3sinx 1)dx.
例9 已知物体以速度v 2t 2 1m / s作直线运动,当t 1s时, 物体 经过的路径为3m, 求物体的运动规律.
解
设所求的运动规律为s s (t ),因为s '(t ) v 2t 2 1.
s(t ) (2t 2 1)dt 2 t 2 t c 3 将题设条件t 1时s 3, 代入上式, 得3 2 1 c. 3 由此得 c4 3 所以
因此所求的物体运动规律为 s(t ) 2 t 3 t 4 3 3
思考题
1.一个函数的原函数是否一定存在? 2.初等函数的原函数是否仍是初等函数?举例说明. 3.不定积分与原函数的关系是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题
1.请写出cosx的全体原函数.
2.若F x 3 , F 1 , 求F x . 2 1 x2 1
因为[F (x) c]' F '( x) f ( x),所以F ( x) c是f (x)的原函数;反 证 之,若G( x)为f ( x)在该区间内的一原函数,则G '( x) f ( x),又因为 F '(x) f (x),所以,[G( x) F ( x)]' 0,对于该区间内的一切x成立由 . 前一章所学知识知道,G(x) F (x)等于常数c,因此G(x) F (x) c.
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（3）
（4）
其中 可令 ， ，则 ，再利用分部积分法得到递推公式求解。
问题15：
按照自己喜好填写 的值，再按照上面方法求积分。
十五．考察三角有理式的积分
讲解：所谓三角有理式是指以 与 为变量的有理函数，即为 。此时总可以采用万能代换 使被积函数有理化，即
问题16：
求下列不定积分：
十六．利用定积分的几何意义求定积分的值
讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。
常见的情形有：
问题5：
求
三．考察基本积分表
讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。
四．考察分项积分方法
讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。
问题6：
2.若
则其可化成 ，令
显然此时 （否则被积函数无意义），令 ，则 可化成 ，此时令 （ ）
问题10：
求下列不定积分：
十．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）
讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有 ， 的根式。
对于第一个可令 ，则 ；
对于第二个可令 ，则 ，再转化为有理函数积分。
如果被积函数中同时含有 ， ，… ，其中 ， ， 是分数，则令 ，其中 是 ， ， 分母的最小公倍数。
（2） （ ）
（3）
二十四．考察常用的定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点二十（除了知识点九）。
问题25：
（1）
（2）
二十五．考察分段函数的积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点八，知识点十一。
问题26：
设函数 在 内满足 ，且 ，求
D第三章一元函数积分学
(1)1 dx arcxsC in arcxc C o； s 1x2
( 1)2 d x arc x tC a n ac rc o x tC ； 1 x 2
(1)3 sh xdxcx hC；
(1)4 cx h dxsx hC.
例 3 求不定积分
1
a
例 1 求 si n3x(2)dx.
解 对照基本积分表，上式与si表 x ndx相 中， 似
如果把 dx 写成了 d(3x + 2)， 那么就可用定理 1 及
sin xdxcox sC, 为此将 dx 写成 dx1d(3x2), 3
代入式中， 那么
sin3(x2)dx 1 sin3x(2)d(x32). 3
令 3x + 2 = u 则
1
3
sinudu 1cosuC1co3sx(2)C.
six n dxcox sC;
(3)因(为 arc x)ta 1 1 n x2或(arccox)t11x2,
所以得
d xarc x tC a n ar cc o x tC ; 1x2
(4)因(为 ex)ex, 所以得
exdxexC.
例2
求不定积分
1 x
dx.
解 被积函 1的 数定义x域 0.为 x
当 x > 0 时，因为(lnx)1, 所以 x
1dxlnxC; x
当 x < 0 时，因l为 n x ()1(1)1,
x x
所以
1dxln( x)C. x
合并以上两种情况，当 x 0 时，得
1dxln| x|C. x
(1)积分曲线族中任意一条曲线， 可由其中某一 条(例如，曲线 y = F(x) ) 沿 y 轴平行移动|C|单位而 得到. 当 C > 0 时，向上移动；当 C < 0 时，向下移动；
第四章一元函数积分知识点梳理
一元函数积分学（1）（第十一周周三）题型•定积分概念（定积分求极限）•定积分性质及其应用（比较定积分大小，估计积分值）•变限定积分函数求导•变限积分函数极限•定积分表示变量的极限•分段求定积分•求解含定积分符号的函数方程•定积分等式与定积分不等式证明3定积分定义求极限其中极限与分点x i 的取法及x i 的取法无关.当函数f (x )在[a , b ]上连续时, 有可用于求某些通项为和式数列的极限，根据积分合式确定被积函数和积分区间→==∑⎰01()d lim ()n b i i a i f x x f x λx ()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→+∞++++++11011211cos 1cos 1cos 1cos 1lim 1cos 1cos(n i n n i n i n n nn n n i x dx n nππππππ=→∞=++++++=++=+∑∑⎰()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n求极限).21(lim 22222nn n n n n n n ++++++∞→ 原式n n 1lim ∞→=∑=+n i ni 12)(11x x d 11102⎰+=4π=()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：11sin k n n k k n π=<<+∑已知11012lim sin sin d ,n n k k x x n n πππ→∞=⋅==∑⎰利用夹逼准则可知2.I π=∑=⋅+n k nn k n n 11sin 1π∑=⋅nk n n k 11sin π11lim =+∞→n n n 求()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n关于定积分重要性质保号性：()0,f x ≥则有()d 0.ba f x x ≥⎰若f (x )在[a ,b ]上连续, ()0,f x ≥且()0,[,]f x x a b ≡∈/则()d 0.b a f x x >⎰若f (x )在[a , b ]上连续, ≥()0,f x =⎰()d 0,b a f x x 且则()0.f x ≡积分中值定理：若f (x )在[a , b ]上连续, 则至少存在一点(,),a b x ∈使得()d ()().ba f x xb a f x =-⎰第一积分中值定理：若函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, g (x )在[a , b ]上不变号,则在(a , b )内至少存在一点x , 使=⎰⎰()()d ()()d .b b a af xg x x f g x x x 估值定理：若f (x )在[a , b ]上连续，≤≤(),m f x M -≤≤-⎰()()d ()b am b a f x x M b a令,)(x e x f x-=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x e x dx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-20.20dx x ⎰-<比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-20的大小.比较定积分大小（积分区间相同，比较函数大小）比较定积分大小（积分区间不同）2222202220cos cos x x x x e dx e dx e xdx e xdx ππππππ---->>⎰⎰⎰⎰22222()2()200cos cos ()cos x u x u x e xdx e u dx e xdx ππππππππ--+-+=-=+=⎰⎰⎰设函数f (x )在[0, 1]上连续, 且单调减少, 试证对任意(0,1),a ∈有≥⎰⎰100()d ()d .a f x x a f x x 证明1：-⎰⎰100()d ()d a f x x a f x x =-⎰⎰00()d ()d a a f x x a f x x -⎰1()d aa f x x=-⎰0(1)()d a a f x x -⎰1()d aa f x x (0,),a α∈(1)()a af α=-(1)()a af β--(,1)a β∈()(1)()()a a f f αβ=--0.≥1100011000()()()01,01()()()()()aa f x dx x at a f at dt a f ax dx a x ax x f ax f x a f x dx a f ax dx f x dx ⇒=⇒=<<<<⇒<⇒≥≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明2：12222200sin cos d d .11x x x x x x ππ<++⎰⎰-+⎰220cos sin d 1x x x x π-=+⎰420cos sin d 1x x x x π-++⎰224cos sin d 1x x x x ππ=-+-++⎰⎰42220411(cos sin )d (cos sin )d 11x x x x x x πππx η0=--≥++2211(21)()011x η,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx xdx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x 估计积分dx x ⎰π+03sin 31的值. 估计积分值大小证明证:令则令得故变限积分求导2(1)2()sin ,(2)x x x f t dt t f π+==⎰22((1))(23)2(2)cos f x x x x f x xππ++-=15(2)2(2)(2)3x f f f ππ=⇒-=-⇒=-()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰sin '0()(sin )(),()xF x x t f t dt F x =-⎰求sin 'sin sin 00sin 0()(sin ()())(sin ())()cos ()x x x xd F x xf t tf t dt dx d d x f t tf t dt dx dx x f t dt=-=-=⎰⎰⎰⎰20cos()x d x t dt dx -=⎰2211211x x d x dt dx x t x x -+=++++⎰1x t u+=解：提示：2解：先求定积分，再求导4030sin lim xdt t x x ⎰→求极限00解：此极限为型414sin lim 330==→x x x 原式变限积分函数极限（洛必达，积分中值，等价无穷小）200cos lim x x t dt x →⎰0|sin |limx x t dt x →+∞⎰(1)00|sin ||sin |sin 2,(1)k kt dt t dt tdt x n n x n ππππππ+===∀∃≤<+⎰⎰⎰(1)000(1)0000|sin ||sin |sin |sin |2,sin 2(1)|sin |22(1)(1)|sin |2lim n x n n n x x x t dt t dt tdt t dt n tdt n t dt n n n x n t dt x πππππππ++→+∞≤<==++≤<+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰周期性.lim 222dx e x n n x n ⎰+-∞→计算)2(lim lim 22222n n e dx e x n n x n -+=-∞→+-∞→⎰x x x 22lim 2x x x e ∞→=.0=定积分表示变量的极限.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 证明,10n nx xx ≤+≤ dx x dx x x n n ⎰⎰≤+≤∴101010,11+=n ,011lim =+∞→n n 且.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 由夹逼准则可知注意:x x +=+∞→∞→⎰1lim 1lim 10nn n n dx x x (01)x ≤≤.0=错误，可用第一积分中值定理=⎰⎰()()d ()()d .bba a f x g x x f g x x x分段求定积分（含有max,min,取整符号，绝对值，被积函数含参变量）10()|()|F x t t x dt =-⎰101010()()3211()()23x x F x t t x dt x x F x t t x dt ≤⇒=-=-≥⇒=--=-⎰⎰10201()()()11323x x x F x t t x dt t t x dt x x <<⇒=--+-=-+⎰⎰=+⎰21()()1()()设连续，，求f x f x x f x dx f x 求解含定积分符号的函数方程212211()()1()(1)3122()12a f x dx f x ax f x dx ax dx a a a f x x=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=-⇒=-⎰⎰⎰令已知函数f (x )满足方程=-⎰120()3()d ,f x x f x x 试求f (x ).解令=⎰120()d ,f x x a 则()f x =-3.x a ⎰120()d f x x a =()=-⎰1203d x a x ()=+-⎰122096d x a ax x =-+233,a a ⇒-+=2430,a a 3a ⇒=或=1,a 故=-()33f x x 或=-()31f x x定积分等式与定积分不等式证明(1) 变上限积分;(2) 积分中值定理;(3) 微分中值定理;(4) 常用不等式（柯西-施瓦茨不等式）;(5) 利用Taylor公式;(6) 利用闭区间上连续函数性质.1证明恒等式证:令则因此,)0()(2π<<=x C x f 又4π=故所证等式成立.试证使分析:要证即⎰xaxxg d)(⎰-x a xxf d)(故作辅助函数至少存在一点证明: 令⎰⎰⎰⎰-=ba x ab a x a x x g x x f x x f x x g x F d )(d )(d )(d )()(在上连续,在至少使即0d )()(d )()(=-⎰⎰b a ba x x g f x x f g x x 因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点7设解法1:设且试证:t t f x F x a d )()(⎰=⎰x a t f t )(d 则=')(x F )(2a x --⎰⎢⎣⎡=x a )(t f )(t f t d 2⎥⎦⎤-t t f x f t f x f x a d )()()]()([2⎰-=故F (x ) 单调不减,即②成立.②⎰x a t t f d )(⎰x at f t )(d 2)(a x --8设函数f (x )在[0, 1]上是非负、单调减的连续函数,且0 < a < b < 1, 求证≥⎰⎰0()d ()d .a b a a f x x f x x b ⎰0()d af x x ⎰()d ba f x x 1()f a x =2()()fb a x =-1(0,)a x ∈2(,)ab x ∈(),f a a ≥()()f a b a ≤-(),bf a ≤⎰0()d af x x ()f a a ≥≥⎰()d .ba a f x xb 证明由积分中值定理, 得设f 在[0, π]上连续, 在(0, π)内内可导, 且==⎰⎰00()cos d ()sin d 0,f x x x f x x x ππ证明: 存在(0,),x π∈使得()0.f x '=证明因为在(0, π)内, sin x 0,>又=⎰0()sin d 0,f x x x π故f (x )在(0, π)内必有零点α .若在(0, π)内, f (x )恒正, 则>⎰0()sin d 0;f x x x π若在(0, π)内, f (x )恒负, 则<⎰0()sin d 0;f x x x π零点不唯一：若(0,)απ∈是f (x )的唯一零点, 则,(0,),x x απ≠∈f (x )在x = α的两侧异号. 于是sin()()x f x α-必恒正或恒负，从而-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα39-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα-⎰0sin()()d x f x x πα0()(sin cos f x x πα=⎰-cos sin )d x xα=⎰0cos ()sin d f x x x πα-⎰0sin ()cos d f x x x πα0=与上式矛盾.故f (x )在(0, π)内零点不惟一,Rolle 定理：在(0,),x π∈使得()0.f x '='11,[]()[](){(1)(2)...([])}aa x f x dx a f a f f f a >=-+++⎰证明：1'201[0,1],()()0,()()3x f x f x f x dx f ∈<≤⎰二阶可导，证明：222()[,]()cos ()sin [()]b b b a a a f x a b f x kxdx f x kxdx f x dx ∀+≤⎰⎰⎰在连续且非负,证明：k,满足：[][]sin 2'0()(),()xF x f tx dt F x =⎰222sin 2011()()x x u tx dt du xF x f u du x =⇒==⎰提示：考虑X=0？).2212(lim 12121n n n n n n n n n ++++++∞→()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰=-⎰()d ()().b af x x b a f x =⎰⎰()()d ()()d .bb aa f x g x x f g x x x 222[()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰变限积分求导公式：积分中值定理：第一积分中值定理：柯西施瓦茨积分不等式：<<a b x。
第三章一元函数积分学
∴
原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则 u a , 于是
d u ln u u2 a2
u 2 a2 C1
3.2.1 换元积分法
一、第一类换元积分法（凑微分法）
有一些不定积分, 将积分变量进行一 定的变换后, 积分表达式由于引进中间变 量而变为新的形式, 而新的积分表达式和 新的积分变量可直接由基本积分公式求 出不定积分来.
例如
想到基本积分公式
若令u＝４x, 把４x看成一个整体（新的积分变 量）, 这个积分可利用基本积分公式算出来
除法呢?
不 对, 例 如 f(x) g(x) x
３.２ 不定积分的计算
利用基本积分公式及不定积分的性质 直接计算不定积分, 有时很困难, 因此, 需要引进一些方法和技巧。下面介绍不 定积分的两大积分方法:
换元积分法与分部积分法
３.２ 不定积分的计算 3.2.1 换元积分法 3.2.2 分部积分法 3.2.3* 有理函数积分简介 3.2.4* 积分表的使用
定义2: 若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的所有原函数 F(x)＋ C 称为f(x)的 不定积分（indefinite integral）,记为
∫ f（x）dx ＝ F（x） ＋ C
其中∫ 称为积分号， x 称为积分变量 f(x)称为被积函数， C 称为积分常数 f(x)dx 称为被积表达式
2
2
x2 1 x2
dx
1 x2 arctan x 1
一元函数微积分学内容提要
第四部分 一元函数微积分第11章 函数极限与连续[内容提要]一、函数：(138-141页）1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。
2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ϕ=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。
3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性.二、极限：1、极限的概念：(141-142页)定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{}n x 发散。
定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,)U x δo内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0。
左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A -→-==。
右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A +→+==。
一元函数微分积分总结
分离常数得既约真分式与多项式 Q(x)因式分解化为部分分式和
——待定系数后比较系数（还可以结合赋值，求导数，取极限等）
——化为
I
k
=∫
dx
( x − a)
k
类与 J k = ∫
Bx + C
( x 2 +bx + c)
k
dx 类
（2）三角有理式
㈠万能代换（通解） ㈡特殊代换 R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx） R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx) R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx) （3）可有理化的无理式 ㈠三角换元 ㈡代数换元
I m = ∫ 0 (sin x) dx = ∫ 0 2 (cos x) m dx
2 m
π
π
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5.广义积分—极限观点 ①无穷积分
∫
+∞ a
f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
b → +∞ b a
②瑕积分
∫ b f ( x)dx = lim ∫ b +ε f ( x)dx a a
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一元函数微分与积分总结
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一、求不定积分
1. 积分基本公式 ① ∫ kdx ② ③
一元函数积分学精讲
一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。
一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。
通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。
本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。
一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的本质是求函数的一个原函数。
具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。
2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。
幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。
二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。
定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。
2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。
3.一元函数积分
（1）曲线 y 1 , y x, x 2 所围成的图形面积为S，
x
则S=（ B
）
A
2 1 (
x)dx
1x
C 2 (2
1 )dx
2
(2 x)dx
（4）设
f
(x)
1 2
x2
当 x 1时，求
当x 1时，
2 0
f
( x)dx
三、一元函数积分学
考点7、直接求定积分
x 1
（4）设
f
(x)
1 2
x2
当 x 1时，求
当x 1时，
2 0
f
( x)dx
2 f (x)dx
1
(x 1)dx
2 1x2dx
0
0
12
( x2 x) 1 1 1 x3 2 1 1 1 [8 1] 8
1 t
2
t2 1dt 1 t
2
1 1
t
dt
t2
2t
2 ln
1 t
c
回代
x 2 x 2 ln 1 x c
三、一元函数积分学
考点4、第二类换元
（2）
1
ò (x + 2)
dx x +3
三、一元函数积分学
考点4、第二类换元
（2）
1
ò (x + 2)
dx x +3
三、一元函数积分学
6. 分部积分法：两个不同的函数相乘
d (1
x2 )
ln(1
x2 )
1 0
ln
2.
三、一元函数积分学
考点7、直接求定积分 （1）
（2）
三、一元函数积分学
一元积分总结
不定积分一、 不定积分性质与概念1 原函数定义：如果在区间I 上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即对任一x ∈I 都有 F ’(x ）=f(x)或者dF(x)=f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)在区间I 上的原函数连续函数一定有原函数（连续则可导，可导即有原函数）2 积分定义：在区间I 上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(若F(x)为f(x)的一个原函数，则⎰+=C x F dx x f )()( C 为常数 （切记 不要忘记常数C ） 3 原函数与不定积分的关系：互为逆运算例⎰dx x 2 由于2'3)3(x x =，所以233x x 是的一个原函数，因此C x dx x +=⎰332 基本积分表(一定要记熟)⎰+=C kx kxdxC x dx x ++=+⎰11αααC x dx x +=⎰||ln 1⎰+=C a a dx a xxln （a>0 ,a ≠1） ⎰+=C e dx e x x⎰+=C x xdx sin cos⎰+-=C x xdx cos sinC x xdx +=⎰tan sec 2⎰+-=C x dx x cot csc 2 ⎰+=C x xdx x sec tan sec⎰+-=C x xdx x csc cot csc⎰+=-C x dx x arcsin 112C x dx x +=+⎰arctan 112⎰+=C chx shxdx⎰+=C shx chxdx4 不定积分的性质性质1 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()(性质2设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（两条性质记住，你在做题的时候对于性质掌握不好，做题的时候不要忘记性质有时候可简化计算）例⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=-=-C x x dx x dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23272525223107255)5()5( 二、 不定积分计算1换元积分法（第一类换元和第二类换元）2分部积分法（记住基本类型，做题时看属于哪类，套用方法）第一类换元对于第一类换元法，总结可归纳为将dx 凑成被积函数的变量，再套用基本公式 例Cx x xd xdx+==⎰⎰2sin 22cos 2cos 2分析：被积函数是个多项式2cos2x ，变量是2x ，想办法把dx 变成d2x ，而d2x=2dxC x x d xdxx ++=++=+⎰⎰|23|ln 21)23(23121231 分析：有公式C x dx x +=⎰||ln 1，所以可以把3+2x 看成一个整体，dx 变成d(3+2x)，但d(3+2x)= 2dx ，所以原式前要加21()C x x x C u u du u du u du u du u u u uu u du u u duu d dx u x x u dxx x ++-+++=+-+=+-=+-=+-=-==-=-=+=+--------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰221321321323232)2(224|2|ln 2u ln 44)44(442)2(,222）（原式则令分析：被积函数出现两个变量，考虑换元，一般带根号的，带多项式几次幂的会考虑换元的问题，换元以后问题会变得简单Ce dx e dx xe x x x +==⎰⎰22222分析：被积函数22x xe ,由2x 和2x e 组成，观察得到dx 2=2xdx ，所以可以将2x 拿到d 后面，令x 2=u ，C e du e u u +=⎰最后把x 2代入得到C x C x x d x dx x x +--=++--=---=-+⎰⎰2321212222)1(31121)1(21)1(1211分析：被积函数中有x ，而考虑到dx 2=2xdx ，进一步可得d （1-x 2）=-2xdx ，积分符号前提取出-21，便可利用基本公式求解（还有些三角，反三角的不定积分求解的问题PPT 上有，可以看看。
一元函数积分
三、一元函数积分学（一）不定积分1. 知识范围原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式第一换元法（即凑微分法）第二换元法分部积分法简单有理函数、简单无理函数及三角函数有理式的积分2.考核要求 (1) 理解原函数与不定积分的概念。
(2) 理解不定积分的基本性质。
(3) 掌握不定积分的基本公式。
(4) 掌握不定积分的第一换元法、第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）和分部积分法。
(5) 会求简单有理函数的不定积分（分解定理不做要求），会求简单无理函数及三角函数有理式的积分。
真题讲解1、（20**、数一、5） 已知⎰=+xdx C x f sin )(，则='）（2πf （ ） A 0B 1C x sinD x cos2、（20**、数一、17） 计算dx xx x ⎰-2arcsin3、（20**、数二、4 ） 已知⎰=+xdx C x f sin )(，则=')4(πf （ ）A 0B x sinC 22D x cos 4、（20**、数二、14）⎰=dx x x 3sin 12__________________5、（20**、数二、18） 求不定积分⎰+922x xdx6、（20**、数三、18）求不定积分⎰-dx e xe xx 1。
7、（20**、数一、16） 计算不定积分dx e x x x⎰+)(cos 28、（20**、数二、16） 求不定积分⎰--dx xx 24119、（20**、数三、6） 若12+x 是)(x f 的一个原函数，则)(x f =（ ）A C x +33B 12+xCD 210、（20**、数三、16） 求不定积分⎰dx x arctan11、（20**、数一、5） 下列各式中，正确的是（ ） A⎰+=c xdx x 21 B ⎰+=c x xdx 2sec tanC ⎰+=c x xdx cos sin D⎰+=-c x dx xarcsin 11212、（20**、数一、16） 已知函数)(x f 的一个原函数为x x x sin cos +，求积分dx x f x f x ⎰'+)()]([13、（20**、数二、6 ） 设函数(),xe xf -= 则()⎰='dx xx f ln （ ） A C x +-1 B C Inx +- C C x+1D C Inx + 14、（20**、数二、16） 求不定积分dx e x x x ⎰-)(cos 2215、（20**、数三、17） 已知⎰''dx x f x x f xe x)()(的一个原函数，求是16、（20**、数一、5 ） 已知)(x f 的一个原函数为xxsin ，则⎰'dx x f x )(=（ ） A x x x sin 2cos - B x x sin + c C x x x sin cos 2- D xxx sin 2cos -+c17、（20**、数三、6 ） 不定积分⎰=xdx x cos sin （ ）A c x +2cos 2B c x +2sin 2C 2sin 2xD 2cos 2x18、（20**、数三、19 ）求不定积分⎰++dx x 311。
一元函数的积分
一元函数的积分在微积分学中，积分是一个重要的概念，也是微积分的一个基本操作。
根据函数的定义域和性质的不同，积分可以分为定积分和不定积分，本文将着重讨论一元函数的积分。
一、定积分定积分是指确定函数在一定区间上的积分值，其符号表示为∫f(x)dx，其中 f(x) 是被积函数，dx 表示自变量的增量。
定积分的计算需要确定积分区间，并采用不同的方法进行求解。
1. Riemann积分Riemann积分是最基本的定积分方法之一。
它将区间划分成若干小区间，然后在每个小区间内选择代表值，利用这些代表值来逼近积分。
通过将小区间的长度无限逼近于零，在取极限的过程中求得定积分的值。
Riemann积分的计算方法可以采用上确界和下确界的方式，也可以使用定积分的定义进行求解。
在实际应用中，常常结合积分表和基本的积分技巧来求解定积分。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性、积分下界和上界的比较、定积分的换元法和分部积分法等。
这些性质为定积分的计算提供了便利，也为求解各种实际问题提供了数学工具。
二、不定积分不定积分是指函数的原函数的一般形式。
其符号表示为∫f(x)dx =F(x) + C，其中 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分可以理解为出现在求导运算的逆运算，即求解函数的原函数。
由定义可知，不定积分的结果还是一个函数，它与原函数相差一个任意常数。
因此，不定积分的结果通常给出一个含有 " + C " 的表达式。
对于一元函数的不定积分，可以使用一些基本的积分公式和性质来求解。
常见的不定积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等，通过将复杂的函数化简为基本的积分形式，再利用基本积分法求解，可以得到结果。
三、应用举例1. 面积计算定积分可以应用于求解曲线所围的面积。
以抛物线 y = ax^2 + bx + c 为例，要求其在区间 [x1, x2] 上所围面积，可以通过求解∫(x1, x2) (ax^2 + bx + c)dx 来得到。
特岗教师招聘资料2一元函数积分学
特岗教师招聘资料2一元函数积分学一元函数积分学是高等数学中的一个重要内容，它主要研究一元函数的积分与微分的关系。
在特岗教师招聘考试中，一元函数积分学也是一个常考的知识点，下面是关于一元函数积分学的一些资料，供考生参考。
一、函数的积分定义和基本性质1.定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，则存在一个数I，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，对于区间[a,b]的任意一个分法P，只要他的分割细细到使得每个小区间的长度都小于δ时，就满足∣∣∣S(f,P)−I∣∣∣<ε。
2. 不定积分的定义：设函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F′(x)=f(x)，则称F(x)为方程f(x)dx的一个不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)。
3. 定积分与不定积分的关系：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分等于f(x)的一个原函数在区间[a,b]上的增量，即∫abf(x)dx=F(b)−F(a)。
4. 基本性质：（1）线性性质：∫[a,b](αf(x)+βg(x))dx=α∫[a,b]f(x)dx+β∫[a,b]g(x)dx，其中α，β为常数。
（2）换元积分法：设F′(x)=f(u(x))u′(x)，则∫f(u)u′(x)dx=∫f(u)du，其中u=u(x)。
（3）分部积分法：设f(x)g′(x)+g(x)f′(x)，则∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫g(x)f′(x)dx，即∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx。
二、常见的一元函数积分公式1. 幂函数积分：∫xndx=(n+1)xn+1+C，其中n≠−12. 指数函数积分：∫exdx=ex+C。
3. 对数函数积分：∫1xdx=ln，x，+C。
4. 三角函数积分：（1）∫sinxdx=−cosx+C，∫cosxdx=sinx+C。
（2）∫sec2xdx=tanx+C，∫csc2xdx=−cotx+C。
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一元函数积分相关问题前言：考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。
这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。
一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。
问题1：若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。
二．考查定积分的概念和基本性质讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。
定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值4、比较定理（及其三个推论）5、积分中值定理6、连续非负函数的积分性质7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有⎰=dcdx x f 0)(，则当],[b a x ∈时，0)(≡x f问题2：设⎰=2)sin(sin πdx x M ，⎰=20)cos(cos πdx x N ，则有（）（A ）N M <<1 （B ）1<<N M （C ）1<<M N （D ）N M <<1三．考查一元函数积分的基本定理讲解：需要掌握变限定积分函数的连续性与可导性、原函数存在定理、不定积分与变限积分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。
其中变限积分的求导方法为：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ϕ和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时，b x x a ≤≤)(),(ψϕ，则⎰=)()()(x x dt t f y ϕψ在],[βα上可以对x 求导，且)('))(()('))((x x f x x f dxdyψψϕϕ-= 牛顿—莱布尼兹定理为：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰问题3： 已知⎰+=)1ln(2)(x xt dt e t x f ，求)('x f )0(≥x四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。
问题4：设)(x f 在]1,0[上连续，A dx x f =⎰2)cos (π，则==⎰π20)cos (dx x f I _______。
五．利用定积分的定义求某些数列极限讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。
关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。
常见的情形有：∑⎰=∞→--+=ni n ba n ab n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑⎰=∞→---+=ni n banab n a b i a f dx x f 1)))(1((lim )(问题5：求∑=∞→+=ni n in n in w 12tanlim六．考察基本积分表讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。
七．考察分项积分方法讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。
问题6：求下列不定积分：dx x x ⎰++2cos 1cos 12八．考察定积分的分段积分方法讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。
问题7：计算以下定积分：{}⎰-+22cos ,5.0min )1(ππdx x x九．考察不定积分的分段积分方法讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。
问题8：设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ，求dx x f ⎰)()20(≤≤x十．考察不定积分的凑微分方法（第一换元法）讲解：凑微分方法的具体过程为如下： 设C u F du u f +=⎰)()(，且函数)(x ϕ可导，则C x F x d x f dx x x f +==⎰⎰))(())(())(()('))((ϕϕϕϕϕ。
若⎰dx x x f )('))((ϕϕ不好求，而⎰du u f )(好求，则可以采用这种方法。
需要注意的是通常碰到的问题是求⎰dx x )(ψ，其中)(x ψ并未表达为)('))((x x f ϕϕ的形式，这时我们需要根据)(x ψ的特点选择适合的)(x ϕ。
问题9：求下列不定积分：⎰xdx sec十一．考察不定积分与定积分的第二换元法讲解：需要掌握不定积分与定积分第二换元法的定理，掌握常见的变量替代。
和第一换元法相反，若⎰du u f )(不好求，而⎰dx x x f )('))((ϕϕ好求，则可以采用这种方法，关键是如何选择变量替换。
这些我在后面介绍。
十二．常用变量替换一：三角函数替换讲解：三角函数替换法常用于被积函数中含有二次根式，一般的二次根式C Bx Ax ++2可先采用配方法化成标准形式： 1.若0>A则其可化成A B AC A B x A 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，令ABx A u 2+= 当042>-B AC ，令AB AC a 4422-=，则C Bx Ax ++2可化成22a u +，此时令t a u tan =（22ππ<<-t ）当042<-B AC ，令AACB a 4422-=，则C Bx Ax ++2可化成22a u -，此时令t a u sec =（π≤≤t 0且2π≠t ）2.若0<A则其可化成A B AC A B x A 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--，令A B x A u --+-=2 显然此时042<-B AC （否则被积函数无意义），令AB AC a 4422-=，则C Bx Ax ++2可化成22u a -，此时令t a u sin =（22ππ≤≤-t ）问题10： 求下列不定积分：dx x x ⎰-421十三．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有n b ax +，ndcx bax ++的根式。
对于第一个可令t b ax n=+，则abt x n -=；对于第二个可令t dcx bax n =++，则a ct dt b x nn--=，再转化为有理函数积分。
如果被积函数中同时含有α)(b ax +，β)(b ax +，…λ)(b ax +，其中α，β，λ是分数，则令t b ax m =+，其中m 是α，β，λ分母的最小公倍数。
问题11： 求下列不定积分：()⎰+xxdx31十四．常用变量替换三：指数函数替换讲解：当被积函数含有x e 或x a 时，可考虑采用这种替换方法（x e t =，xa t =） 问题12： 求下列不定积分：⎰-++11xxe e dx十五．常用变量替换四：倒替换讲解：当被积函数的分母最高次数高于分子的最高次数时，有时可以考虑倒替换（xt 1=） 问题13： 求下列定积分：⎰+--21312123x x x dx十六．考察不定积分和定积分的分部积分法讲解：需要掌握不定积分和定积分的分部积分法，并会用分部积分法推导递推公式 不定积分的分部积分法则为：假定)(x u u =与)(x v v =均具有连续的导函数，则⎰⎰-=dx vu uv dx uv ''（或写成⎰⎰-=vdu uv udv ）定积分的分部积分法则为： 若)('x u 与)('x v 在],[b a 上连续，则⎰⎰-=b ab aab dx vu uv dx uv ''（或写成⎰⎰-=bab aab vdu uv udv ）分部积分法的关键是恰当原则u 和'v ，选取的原则一般为：'v 容易积分，⎰vdu 比⎰udv 容积计算。
问题14：求⎰=20sin πxdx I nn 和⎰=20cos πxdx J n n （2,1,0=n ……）十七．考察有理函数的积分讲解：有理函数可以分解成多项式和真分式之和。
积分的关键是求真分式的积分。
设有真分式)()()(x Q x P x R =。
首先将)(x Q 因式分解，若分解后含有因子1)(1na x -，2)(2n a x -……i n i a x )(-，1)(112m q x p x ++，2)(222m q x p x ++……j mj j q x p x )(2++，（要求042<-q p ）(按照高等代数的知识，一定可以分解成不超过二次的因式) 则采用待定系数法将)(x R 分解为jj j ii m j j m j m j j j j j jj j j m m m m m m n n i i i ii n n n n q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B a x A a x A a x A a x A a x A a x A a x A a x A a x A )()()()()()()()()()()()(2,,222,2,22,2,222,2,222222,22,22221,21,2112,1,121122,12,11121,11,11,22,1,2,2222,221,21,1212,111,12221112211+++++++++++++++++++++++++++++++++++++-+-+-++-+-+-+-+-+-此时只含有四类积分：（D 为任意常数） （1）D a x A dx a x A+-=-⎰ln（2）D a x m Adx a x A m m+---=--⎰1))(1()(（1≠m ） （3）D pq Bp x p q Bp C q px x B dx q px x C Bx +----+++=+++⎰222242arctan 42ln 2 （4）dx q px x Bp C q px x m B dx q px x C Bx mm m⎰⎰++-+++--=+++-)(1)2())(1(2)(2122 其中⎰++m q px x dx )(2可令2px t +=，242p q a -=，则⎰⎰+=++m a t dt q px x dx m )()(222，再利用分部积分法得到递推公式求解。