一元函数积分知识点完整版

一元函数积分相关问题

前言：

考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。

一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质

讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1：

若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。

二．考查定积分的概念和基本性质

讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。

定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性

3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值

4、比较定理（及其三个推论）

5、积分中值定理

6、连续非负函数的积分性质

7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有

⎰

=d

c

dx x f 0)(，则当

],[b a x ∈时，0)(≡x f

问题2：

设⎰

=

2

)sin(sin π

dx x M ，⎰=20

)cos(cos π

dx x N ，则有（）

（A ）N M <<1 （B ）1<

三．考查一元函数积分的基本定理

讲解：需要掌握变限定积分函数的连续性与可导性、原函数存在定理、不定积分与变限积分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为：

设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ϕ和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时，

b x x a ≤≤)(),(ψϕ，则⎰

=)

()

()(x x dt t f y ϕψ在],[βα上可以对x 求导，且

)('))(()('))((x x f x x f dx

dy

ψψϕϕ-= 牛顿—莱布尼兹定理为：

设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则

)()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

问题3： 已知

⎰

+=)

1ln(2)(x x

t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x

四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质

讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4：

设)(x f 在]1,0[上连续，

A dx x f =⎰

2

)cos (π

，则==⎰π

20)cos (dx x f I _______。

五．利用定积分的定义求某些数列极限

讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。

常见的情形有：

∑⎰

=∞

→--+

=n

i n b

a n a

b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑⎰

=∞

→---+

=n

i n b

a

n

a

b n a b i a f dx x f 1

)))(1((lim )(

问题5：

求∑

=∞

→+=

n

i n i

n n i

n w 1

2tan

lim

六．考察基本积分表

讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。

七．考察分项积分方法

讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。 问题6：

求下列不定积分：

dx x x ⎰++2cos 1cos 12

八．考察定积分的分段积分方法

讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。 问题7：

计算以下定积分：

{}⎰-

+22

cos ,5.0min )1(π

π

dx x x

九．考察不定积分的分段积分方法

讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。 问题8：

设函数⎩

⎨⎧≤<-≤≤=21,21

0,)(2x x x x x f ，求dx x f ⎰)()20(≤≤x

十．考察不定积分的凑微分方法（第一换元法）

讲解：凑微分方法的具体过程为如下： 设

C u F du u f +=⎰)()(，且函数)(x ϕ可导，则

C x F x d x f dx x x f +==⎰⎰))(())(())(()('))((ϕϕϕϕϕ。

若

⎰dx x x f )('))((ϕϕ不好求，而⎰du u f )(好求，则可以采用这种方法。

需要注意的是通常碰到的问题是求

⎰dx x )(ψ，

其中)(x ψ并未表达为)('))((x x f ϕϕ的形式，这时我们需要根据)(x ψ的特点选择适合的)(x ϕ。 问题9：

求下列不定积分：

⎰xdx sec

十一．考察不定积分与定积分的第二换元法

讲解：需要掌握不定积分与定积分第二换元法的定理，掌握常见的变量替代。 和第一换元法相反，若

⎰du u f )(不好求，而⎰dx x x f )('))((ϕϕ好求，则可以采用这种方法，

关键是如何选择变量替换。这些我在后面介绍。

十二．常用变量替换一：三角函数替换

讲解：三角函数替换法常用于被积函数中含有二次根式，一般的二次根式C Bx Ax ++2可

先采用配方法化成标准形式： 1.若0>A

则其可化成A B AC A B x A 44222

-+

⎪⎭⎫ ⎝⎛

+，令A

B

x A u 2+

= 当042

>-B AC ，令A

B A

C a 442

2

-=，则

C Bx Ax ++2可化成22a u +，此时令

t a u tan =（2

2

π

π

<

<-

t ）