高2021届高三上期入学考试数学试卷(理科)
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2 的是（ ）
A． a 0 B. 0 a 1 C． f ( x1 ) 5 D． f ( x2 ) 3
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的离心率为
2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三 人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊 三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的 一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的数学成绩 为125 分），物理成绩是多少？
n
n
(xi − x)( yi − y)
xi yi − nx y
附：回归方程 y = a + bx 中, b = i=1 n
(xi − x)2
=
i =1 n
xi 2
−
2
nx
，a = y − bx
i =1
i =1
第 3 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
18．已知三次函数 f (x) = x3 + ax2 + 4x +1 ( a 为常数). （1）当 a = 1时，求函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程；
（2）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 在 x (0, +) 的单调性.
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 a = 2 3 ， b = 2 ， A = 60 ，则 B 为
（）
A．60° B．60°或 120° C．30°
D．30°或 150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, +) 单调递减的函数是（ ）
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考试
的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知， A 考生
A． 2x 3y 5z
B． 3y 2x 5z
C． 5z 2x 3y
D． 5z 3y 2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．11
B． 14 3
C． 28 3
D．16
12.已知 a 为常数，函数 f ( x) = 2ex − 1 ax2 − ax + 1+a 有两个极值点 x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确
MA
当= MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（ ）
A． P = N 1000
B． P = 4N C． P = M
1000
1000
D． P = 4M 1000
10. 已知 log2 x = log3 y = log5 z −1，则 2x,3y,5z 的大小关系为（ ）
x
（Ⅰ）当实数 a
=
1 3
时，求
f
( x) 在区间
e, e2
上的最值；
( ) （Ⅱ）设函数 g ( x) = ex + 1 − f ( x) 在区间 0, e−a 上存在极值，求证： a−1 + e−a a +1. x
22．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 C1 的极坐标方程
石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期入学考试
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
理科数学试卷
1.已知集合 A = ( x, y) x + y = 0, x, y R, B = (x, y) x − y+1 = 0, x, y R ，则集合 A B 的元素个数是
（）
A．0
B．1
A． y = 2x − 2−x B． y = x tan x
C． y = x − sin x
D． y = 1 − 2x x
第 1 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
8．抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面 交棱 AA1 于点 E ，交棱 CC1 于点 F ，则：①平面 分正方体所得两部分的体积相等；②四边形 BFD1E 一定是平行四边形；
③平面 与平面 DBB1 不可能垂直； ④四边形 BFD1E 的面积的最大值为 2 .
第 2 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
15．已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， f (x) 是 f (x) 的导函数， f (−1) = 0 ，当 x 0 时， xf (x) − 3 f (x) 0 ， 则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值集合是___________．
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
4．函数 f (x) = ln x − 2 +1的零点所在的大致区间是（ ） x
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e,3)
D． (3, +)
5．已知向量 a = ( m，1) ， b = (3，m − 2) ，则 m = 3 是 a // b 的（ ）
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z = 5i ， 则 z 的共轭复数为 （ ） 1+ 2i
A. 2 − i
B． 2 + i C. −2 − i D． −2 + i
3．石室中学为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学生中用 系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则以下 4 名学生中被抽到的 是（ ）
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA = FC ，且 DAB = DBF = 60 ． （1）求证： AC ⊥ 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
20．在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的离心率为
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， i = 1, 2,3, , 42 ， y 与 x 的相关系数 r = 0.82 ．
（Ⅰ）若不剔除 A, B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0 ．试判 断 r0 与 r 的大小关系（不必说理由）；
为
=
2sin
，曲线 C2
的参数方程为
x
y
= =
2 cos −2 + 2sin
(
为参数）．
（Ⅰ）写出 C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）过原点
O
的射线与
C1
的异于极点的交点为
A
，百度文库
xOA
= (0
) 3
，
B
为
C2
上的一点，且
AOB = ，求 AOB 面积的最大值． 3
第 4 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
3 ，短轴长为 2，直线 l 与椭圆 2
有且只有一个公共点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在以原点 O 为圆心的圆满足：此圆与直线 l 相交于 P ， Q 两点（两点均不在坐标轴上），且
OP ， OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数 f ( x) = a ln x + 1 −1，其中常数 a R ，自然常数 e 2.71828 .
由于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔 除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
42
xi
= 4620,
42
yi
= 3108,
42
xi yi
= 350350,
42
(
xi
−
x
)2
= 16940,
42
( yi
− y )2
= 5250, 其中 xi , yi 分别
A． a 0 B. 0 a 1 C． f ( x1 ) 5 D． f ( x2 ) 3
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的离心率为
2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三 人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊 三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的 一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的数学成绩 为125 分），物理成绩是多少？
n
n
(xi − x)( yi − y)
xi yi − nx y
附：回归方程 y = a + bx 中, b = i=1 n
(xi − x)2
=
i =1 n
xi 2
−
2
nx
，a = y − bx
i =1
i =1
第 3 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
18．已知三次函数 f (x) = x3 + ax2 + 4x +1 ( a 为常数). （1）当 a = 1时，求函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程；
（2）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 在 x (0, +) 的单调性.
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 a = 2 3 ， b = 2 ， A = 60 ，则 B 为
（）
A．60° B．60°或 120° C．30°
D．30°或 150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, +) 单调递减的函数是（ ）
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考试
的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知， A 考生
A． 2x 3y 5z
B． 3y 2x 5z
C． 5z 2x 3y
D． 5z 3y 2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．11
B． 14 3
C． 28 3
D．16
12.已知 a 为常数，函数 f ( x) = 2ex − 1 ax2 − ax + 1+a 有两个极值点 x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确
MA
当= MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（ ）
A． P = N 1000
B． P = 4N C． P = M
1000
1000
D． P = 4M 1000
10. 已知 log2 x = log3 y = log5 z −1，则 2x,3y,5z 的大小关系为（ ）
x
（Ⅰ）当实数 a
=
1 3
时，求
f
( x) 在区间
e, e2
上的最值；
( ) （Ⅱ）设函数 g ( x) = ex + 1 − f ( x) 在区间 0, e−a 上存在极值，求证： a−1 + e−a a +1. x
22．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 C1 的极坐标方程
石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期入学考试
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
理科数学试卷
1.已知集合 A = ( x, y) x + y = 0, x, y R, B = (x, y) x − y+1 = 0, x, y R ，则集合 A B 的元素个数是
（）
A．0
B．1
A． y = 2x − 2−x B． y = x tan x
C． y = x − sin x
D． y = 1 − 2x x
第 1 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
8．抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面 交棱 AA1 于点 E ，交棱 CC1 于点 F ，则：①平面 分正方体所得两部分的体积相等；②四边形 BFD1E 一定是平行四边形；
③平面 与平面 DBB1 不可能垂直； ④四边形 BFD1E 的面积的最大值为 2 .
第 2 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
15．已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， f (x) 是 f (x) 的导函数， f (−1) = 0 ，当 x 0 时， xf (x) − 3 f (x) 0 ， 则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值集合是___________．
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
4．函数 f (x) = ln x − 2 +1的零点所在的大致区间是（ ） x
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e,3)
D． (3, +)
5．已知向量 a = ( m，1) ， b = (3，m − 2) ，则 m = 3 是 a // b 的（ ）
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z = 5i ， 则 z 的共轭复数为 （ ） 1+ 2i
A. 2 − i
B． 2 + i C. −2 − i D． −2 + i
3．石室中学为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学生中用 系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则以下 4 名学生中被抽到的 是（ ）
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA = FC ，且 DAB = DBF = 60 ． （1）求证： AC ⊥ 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
20．在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的离心率为
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， i = 1, 2,3, , 42 ， y 与 x 的相关系数 r = 0.82 ．
（Ⅰ）若不剔除 A, B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0 ．试判 断 r0 与 r 的大小关系（不必说理由）；
为
=
2sin
，曲线 C2
的参数方程为
x
y
= =
2 cos −2 + 2sin
(
为参数）．
（Ⅰ）写出 C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）过原点
O
的射线与
C1
的异于极点的交点为
A
，百度文库
xOA
= (0
) 3
，
B
为
C2
上的一点，且
AOB = ，求 AOB 面积的最大值． 3
第 4 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
3 ，短轴长为 2，直线 l 与椭圆 2
有且只有一个公共点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在以原点 O 为圆心的圆满足：此圆与直线 l 相交于 P ， Q 两点（两点均不在坐标轴上），且
OP ， OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数 f ( x) = a ln x + 1 −1，其中常数 a R ，自然常数 e 2.71828 .
由于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔 除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
42
xi
= 4620,
42
yi
= 3108,
42
xi yi
= 350350,
42
(
xi
−
x
)2
= 16940,
42
( yi
− y )2
= 5250, 其中 xi , yi 分别