圆锥曲线定点定值问题

线的定值定点问题
沙县一中 陈丽娟 2018.4.23
命题规律：
圆锥曲线中的定值与定点问题是 高考常考问题，往往作为试卷的 压轴题之一，试题难度较大.本考 点主要考查化归和数形结合的思 想，常常与向量、平面几何结合， 对考生的代数恒等变形能力、计 算能力有较高的要求。
问题一 定值问题
[例 1]
如图，设椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)离心率 e＝
源自文库
由yx＝2＝k4xy－，4，
A
消 y，整理得 x2－4kx＋16＝0，
Y C
则 Δ＝16k2－64＞0，即|k|＞2.
B
O
X
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(－x1，y1)．
E
x1＋x2＝4k，x1x2＝16.
思路一：写出直线BC方程，证明其过定点
直线∴yB＝Cxy为22－ ＋yyx－11(yx2－＝xxy222)－＋＋yxy121(x－x2)，
又思由 a路2 一 b：2 设c出2 ，直解线得 aAB2的,b方 1程，，
所以椭圆 C 的方求程出为点x42 O y到2 直1.线AB的距离
返回
（2）当直线 AB 的斜率不存在时，△ABC为等腰直角三角形，
不妨设直线 OA：y=x,
x2 将 y=x 代入 4
y2
1
，解得
x=
2 5
5,
2 所以点 O 到直线 AB 的距离为 d= 5
OA 2 • OB 2 OA 2 OB 2
，
1 d2
1 OA 2
1 OB 2
，
点A为射线OA与椭圆交点
解法二： （2）当直线 OA 的斜率不存在时，
OA • OB OA 2, OB 1, d
2
5
AB
5
同理，当直线OA的斜率为0时，d 2 5 5
规律小结
圆锥曲线中定值问题的常用解法
将该问题涉及的几何量转化为代数式或三 角问题，在求解推理过程中，将参数消去 ，定值显现。
3 2
，顶点
M，N 的距离为 5 ，O 为坐标原点。
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A,B 两点，
试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，若是请求出这个定值，若不
是请说明理由.
解：（1）由 e
3 2
得
c a
3 2。
由顶点 M,N 的距离为 5 ，得 a2 b2 5 ；
MP ·MQ ＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.Ⓑ
① 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
由x22＋y2＝1， 得 x2＋2k2(x－1)2－2＝0， y＝kx－1，
即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以
问题二 定点问题
[例 2] 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x，y)，M(x，－4)， 以线段 PM 为直径的圆经过原点 O. (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程； (2)过点 E(0，－4)的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A，B，点 A 关 于 y 轴的对称点为 C，求证：直线 BC 过定点，并求定点坐标．
M54，0，此时
uuur MP
uuur ·MQ
＝－176.…………………Ⓒ
②当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝1，则
x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－12，由
m＝54，得
uuur MP
uuur ·MQ
＝－176.
综上，符合条件的点 M 存在，且坐标为54，0. …………………………………………………………Ⓓ
, x1x2
4m2 4 , 1 4k 2
返回
(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A,B 两
点，试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，若是请求出这个定值，
若不是请说明理由.
思路二：转化为求直角三角形斜边上的高
OA • OB 分析： d AB ，
d2
OA 2 • OB 2 AB 2
uuur uuur 使 MP ·MQ 为定值？若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不 存在，请说明理由．
解：假设存在符合条件的点 M(m,0)，
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，…………………………………Ⓐ
uuur
uuur
则 MP ＝(x1－m，y1)， MQ ＝(x2－m，y2)，
uuur uuur
R
B
EO
X
思路二：转化为证明直线BC与y轴交点为定点
规律小结
圆锥曲线中定点问题的两种常用 解法
(1)分离参数法：在含有参数的曲线方程里 ， 把参数从含有参数的项里分离出来 ，并令其系数为零，可以求出定点坐标。
解题技巧
整体把握思路，细节谋求方法
定点和定值问题的综合运用
例 3 已知椭圆 E 的方程为x22＋y2＝1，过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P，Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M，
[模型归纳] 参数法求圆锥曲线定点问题的模型示意图如下：
总结归纳如下 策略一：设定参数，利用题目 条件消掉参数。
策略二：通过观察题目中代数 式的结构特征。
策略三：先猜想再证明。
A
＝4xx221－＋xx212(x－x2)＋14x22
＝x2－4 x1x－x22－4x1x2＋14x22
＝x2－4 x1x＋x14x2.
即 y＝x2－4 x1x＋4，
所以，直线 BC 恒过定点(0,4)．
Y
B O E
C X
思考：能否找到定点所在位置？
由对称性可知，若直线 BC 恒过定点， Y
A
C
则定点在 y 轴上。
解：(1)由题意可得 OP⊥OM， uuur uuur
所以OP·OM ＝0，即 x2－4y＝0， 所以动点 P 的轨迹 W 的方程为 x2＝4y.
(2)过点 E(0，－4)的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A，B，点 A 关
于 y 轴的对称点为 C，求证：直线 BC 过定点，并求定点坐标．
解 (2)依题直线 l 的斜率存在．设其方程为 y＝kx－4，
5,
返回
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，
y kx m,
联立方程组
x
2
4y2
4，
消去 y 得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m2 4 0
由△>0 得 m2 4k 2 1
设 Ax1, y1 , Bx2 , y2 ,
x1
x2
8km 1 4k 2