投资者的效用函数
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随机变量 X
确定性量 y
E[U (X)]U (y) 1
称变量 X 为等价变量。 也称变量 y 为 X 的确定性等价量。
１．风险厌恶型投资者的效用函数
风险厌恶意味着投资者将拒绝一个等价变量。
表３-２ 一个等价变量
√
如果以U(W)表示效用函数，U″(W) 表示效用函数的二阶 导数，风险厌恶意味着 U″(W) < 0 。
投资者 财富增加
风险投资 比例增加？
不变
固定相对风险厌恶
减少
递增相对风险厌恶
二次型效用函数对应的厌恶度
在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对风险厌恶度 的函数式及它们的一阶导数将为：
二次型效用函数与均值—方差模型的关系
二次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。 二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。
上式对财富 W 的一阶导数是R′(W)。 表３５ 随财富变化的相对风险厌恶
三、效用函数与资产组合选择
一般认为，大多数投资者是属递增绝对风险厌恶的。 因此，最常见的投资者的效用函数应是二次型的，即：
它的一阶和二阶导数为：
对W 的限制：
（四）投资者风险态度与相对风险厌恶度
投资者相对风险厌的恶度
增加
递减相对风险厌恶
风险偏好类型总结
表３-３ 投资者风险态度与效用函数
（三）投资者风险态度与绝对风险厌恶度
投资者的绝对风险厌恶程度
增加
递减绝对风险厌恶
投资者 财富增加
风险投资 增加？
不变
固定绝对风险厌恶
减少
递增绝对风险厌恶
绝对风险Hale Waihona Puke Baidu恶程度的度量
（３-４） 表３４ 绝对风险厌恶相对于财富的变化
相对风险厌恶程度的度量
P 2 ( w ) w 21 2 2 w ( 1 w )1 2 ( 1 w ) 22 2
P 2(1) 1 12 1 0 .02 6 2 1 ( 1 1 1) 1 0 .5 (0 .0) 6 0 .03
(1 1)21 0 .023
0.4 0 3.5 106 9. 0 8 09 .3276
如果投资的收益率服从正态分布 （即满足马科维茨均值—方差分析假设条件），
同时投资者效用函数为二次型， 那么不论投资者的风险偏好程度如何， 他们在资产组合的有效边界（有效集）中
总能确定一个最优资产组合。
第二节 效用无差异曲线与最 优资产组合
一、资产组合效用函数的类型 二、期望效用无差异曲线 三、最优资产组合的选择
２．风险中性型投资者的效用函数
风险中性是指投资者不在意一个等价变量，或者说一 个等价变量不影响投资者的决策。
表３-２ 一个等价变量
√
√
对风险中性的投资者而言，其效用函数的二阶导数为０
３．风险偏好型投资者的效用函数
风险偏好是指投资者愿意选择一个等价变量。
√
表３-２ 一个等价变量
效用函数的二阶导数为正
效用最大化准则 投资者会选择组合Ｂ，而放弃组合Ａ。
二、效用函数的性质
（一）效用函数的一阶导数为正
随着财富增加，效用也将增加。 非饱和性：
U(X)U(X1)
效用 U
0
100
100000 100100
U(X)0
财富 W
二、效用函数的性质
（二）效用函数随投资者风险偏好而变化 等价变量：
表３-２ 一个等价变量
投资者的效用函 数
含做空的资产组合之例
假设投资者有100元，他卖空价值 900元的证券 A， 购买价值1000元的证券B，如何表示此资产组合？
解 w B ： 1 10 0 1,0 0 w 0 A 0 1 w B 1 1 0 9 .
含做空的资产组合练习题（42页）
• 假设投资者拥有１００元可以投资于证券Ａ和证券Ｂ。 • 投资者可以将资金全部投资于证券Ａ，获得１４元的收益，即１４％
的收益率。 • 另一方面，投资者也可以卖空价值１０００元的证券Ｂ，购买价值１
１００元的证券Ａ，则资产组合的期望收益为１５４元， • 而借入证券Ｂ的成本为８０元， • 因此，最初１００元的投资，可以获得７４元（１５４－８０）的收
益，即期望收益率为７４％。 • 期望收益率从１４％增加到７４％，但是标准差也从６％增加到５
1 ,2 0 .5 , 1 ,3 0 .3 , 2 ,3 0 .2 . RF 0.4
二、解方程：
三、代入公式：
第三章 投资者风险偏好 与最优资产组合
第一节 投资者的效用函数
第一节 投资者的效用函数
一、效用
例1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100 元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作。
（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是不喜欢的，他仍会去干；
（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。
效用 U
0
100
100000 100100
财富 W
一、投资者的效用
E [W ]p 1W 1p2W 2 E [ U P ( W ) ] p 1 U P ( W 1 ) p 2 U P ( W 2 )
公司之间的相关系数为0.3，Ｓ公司和Ｕ公司之间的相关系数为 0.2。 • 最后假设无风险借贷利率为 4％。 • 假设允许卖空且可以无风险借贷。 • 求切点资产组合 G与有效边界。
解题过程
一、条件重述 E(R1) 10%, 1 7%; E(R2) 8%, 2 6%; E(R3) 18%, 3 13%.
７．２％， • 试写出计算过程。
含做空的资产组合练习题（42页）
解 w A ： 1 11 0 1 0 ,0 w 1 B 0 1 w A 1 1 1 1.0
E [R p ( w ) ] w [R A E ] ( 1 w )E [R B ]
E [R p (1) 1 ]1 1 1% 4 (1 1) 1 8 % 0.74,
p 0.32706.572547.24%
一、允许卖空且可以无风险借贷
最大化目标函数为：
max
E(RP)RF
P
约束条件为：
E(RP)RFE(RA)ARFP
n
X i 1,
i 1
练习题
• 考虑三种证券： • Ｃ公司的股票，期望收益率为10%，收益率的标准差为7%； • Ｓ公司的股票，平均收益率为8％，收益率的标准差为6％； • Ｕ公司的股票，平均收益率为18％，收益率的标准差为13％。 • 此外，假设Ｃ公司和Ｓ公司之间的相关系数为0.5，Ｃ公司和Ｕ
确定性量 y
E[U (X)]U (y) 1
称变量 X 为等价变量。 也称变量 y 为 X 的确定性等价量。
１．风险厌恶型投资者的效用函数
风险厌恶意味着投资者将拒绝一个等价变量。
表３-２ 一个等价变量
√
如果以U(W)表示效用函数，U″(W) 表示效用函数的二阶 导数，风险厌恶意味着 U″(W) < 0 。
投资者 财富增加
风险投资 比例增加？
不变
固定相对风险厌恶
减少
递增相对风险厌恶
二次型效用函数对应的厌恶度
在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对风险厌恶度 的函数式及它们的一阶导数将为：
二次型效用函数与均值—方差模型的关系
二次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。 二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。
上式对财富 W 的一阶导数是R′(W)。 表３５ 随财富变化的相对风险厌恶
三、效用函数与资产组合选择
一般认为，大多数投资者是属递增绝对风险厌恶的。 因此，最常见的投资者的效用函数应是二次型的，即：
它的一阶和二阶导数为：
对W 的限制：
（四）投资者风险态度与相对风险厌恶度
投资者相对风险厌的恶度
增加
递减相对风险厌恶
风险偏好类型总结
表３-３ 投资者风险态度与效用函数
（三）投资者风险态度与绝对风险厌恶度
投资者的绝对风险厌恶程度
增加
递减绝对风险厌恶
投资者 财富增加
风险投资 增加？
不变
固定绝对风险厌恶
减少
递增绝对风险厌恶
绝对风险Hale Waihona Puke Baidu恶程度的度量
（３-４） 表３４ 绝对风险厌恶相对于财富的变化
相对风险厌恶程度的度量
P 2 ( w ) w 21 2 2 w ( 1 w )1 2 ( 1 w ) 22 2
P 2(1) 1 12 1 0 .02 6 2 1 ( 1 1 1) 1 0 .5 (0 .0) 6 0 .03
(1 1)21 0 .023
0.4 0 3.5 106 9. 0 8 09 .3276
如果投资的收益率服从正态分布 （即满足马科维茨均值—方差分析假设条件），
同时投资者效用函数为二次型， 那么不论投资者的风险偏好程度如何， 他们在资产组合的有效边界（有效集）中
总能确定一个最优资产组合。
第二节 效用无差异曲线与最 优资产组合
一、资产组合效用函数的类型 二、期望效用无差异曲线 三、最优资产组合的选择
２．风险中性型投资者的效用函数
风险中性是指投资者不在意一个等价变量，或者说一 个等价变量不影响投资者的决策。
表３-２ 一个等价变量
√
√
对风险中性的投资者而言，其效用函数的二阶导数为０
３．风险偏好型投资者的效用函数
风险偏好是指投资者愿意选择一个等价变量。
√
表３-２ 一个等价变量
效用函数的二阶导数为正
效用最大化准则 投资者会选择组合Ｂ，而放弃组合Ａ。
二、效用函数的性质
（一）效用函数的一阶导数为正
随着财富增加，效用也将增加。 非饱和性：
U(X)U(X1)
效用 U
0
100
100000 100100
U(X)0
财富 W
二、效用函数的性质
（二）效用函数随投资者风险偏好而变化 等价变量：
表３-２ 一个等价变量
投资者的效用函 数
含做空的资产组合之例
假设投资者有100元，他卖空价值 900元的证券 A， 购买价值1000元的证券B，如何表示此资产组合？
解 w B ： 1 10 0 1,0 0 w 0 A 0 1 w B 1 1 0 9 .
含做空的资产组合练习题（42页）
• 假设投资者拥有１００元可以投资于证券Ａ和证券Ｂ。 • 投资者可以将资金全部投资于证券Ａ，获得１４元的收益，即１４％
的收益率。 • 另一方面，投资者也可以卖空价值１０００元的证券Ｂ，购买价值１
１００元的证券Ａ，则资产组合的期望收益为１５４元， • 而借入证券Ｂ的成本为８０元， • 因此，最初１００元的投资，可以获得７４元（１５４－８０）的收
益，即期望收益率为７４％。 • 期望收益率从１４％增加到７４％，但是标准差也从６％增加到５
1 ,2 0 .5 , 1 ,3 0 .3 , 2 ,3 0 .2 . RF 0.4
二、解方程：
三、代入公式：
第三章 投资者风险偏好 与最优资产组合
第一节 投资者的效用函数
第一节 投资者的效用函数
一、效用
例1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100 元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作。
（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是不喜欢的，他仍会去干；
（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。
效用 U
0
100
100000 100100
财富 W
一、投资者的效用
E [W ]p 1W 1p2W 2 E [ U P ( W ) ] p 1 U P ( W 1 ) p 2 U P ( W 2 )
公司之间的相关系数为0.3，Ｓ公司和Ｕ公司之间的相关系数为 0.2。 • 最后假设无风险借贷利率为 4％。 • 假设允许卖空且可以无风险借贷。 • 求切点资产组合 G与有效边界。
解题过程
一、条件重述 E(R1) 10%, 1 7%; E(R2) 8%, 2 6%; E(R3) 18%, 3 13%.
７．２％， • 试写出计算过程。
含做空的资产组合练习题（42页）
解 w A ： 1 11 0 1 0 ,0 w 1 B 0 1 w A 1 1 1 1.0
E [R p ( w ) ] w [R A E ] ( 1 w )E [R B ]
E [R p (1) 1 ]1 1 1% 4 (1 1) 1 8 % 0.74,
p 0.32706.572547.24%
一、允许卖空且可以无风险借贷
最大化目标函数为：
max
E(RP)RF
P
约束条件为：
E(RP)RFE(RA)ARFP
n
X i 1,
i 1
练习题
• 考虑三种证券： • Ｃ公司的股票，期望收益率为10%，收益率的标准差为7%； • Ｓ公司的股票，平均收益率为8％，收益率的标准差为6％； • Ｕ公司的股票，平均收益率为18％，收益率的标准差为13％。 • 此外，假设Ｃ公司和Ｓ公司之间的相关系数为0.5，Ｃ公司和Ｕ