电子氢原子与氦原子的基本原理

n 1, 0 1s 态
n 2, 0 2s 态
n 2, 1 2 p 态
4
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（1）球谐函数
Y ( , ) ( )( )
A• B
是变量分离后波函数的角度部分，称为角函 数，也称球谐函数。
方程的解
d 2
d 2
m2
0
此为二阶常系数齐次线性方程，有两个复数形式的独立特解
m Aeim
m m A可由归一化条件得出
：
2 0
m
m
d
A2
2 eim eim d
0
m
1 eim
2
1 cos m 2
i sin m 2ຫໍສະໝຸດ m 1 eim 2
1 cos m 2
i sin m 2
px
1 2
(Y11
Y11 )
3 sin cos 4
py
1 2
(Y11
Y11 )
3 sin sin 4
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（3）几何性质
按光谱学记号 0 , 1, 2 , 3 , 4,
记为 s p d f g
h
8
2 2
2
Ze
4
2
0r
E
注意：上式与课本（2-2）比多了一常数，这是采用不同单位 制所致！教材是才用cgs单位制，无此常数。建议熟悉国际单 位制的同学采用上式。 迅达商务资料网
*直角坐标到极坐标的变换
z
x=rsincos (1)
r2=x2+y2+z2
(4)
y=rsinsin (2)
cos=z/(x2+y2+z2)1/2 (5)
§2.4 多电子原子（重点） 2.4.1 组态
2.4.2 Slater原子轨道
2.4.3 态的描述 2.4.4 谱项及其能量 2.4.5 支谱项 2.4.6 np2谱项
本章目录
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2.1.1 波动方程
§2.1 氢原子
折合质量：绕通过质心与核和电子连线垂直的轴转动的转动惯量与一质
量等于折合质量，离转轴距离为r的质点的转动惯量相同：
A2
2 0
1
A 1
2
m
1 eim
2
m应是的单值函数，变化一周， m应保持不变，即， m()= m(2)
eim=eim（2）= eimeim2 即 eim2=cosm2isinm2=1,
m的取值必须为m=0,
1,
2, … 迅达商务资料网
m
1 eim
2
( )方程即A的解
解方程可得：l=0,1,2….; m=0,1, 2 ,3…. l
d 2 m2
d 2
1 R
d dr
r 2
dR dr
8 2r
h2
2
(E V)
m2
sin2
1
sin
d
d
sin
d
d
设两边等于l(l+1)，则得
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
l(l 1)
r迅12达dd商r 务 r资2料dd网Rr
8 2
h2
(E
V
)R
l(l
1)
R r2
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§2.1 氢原子 2.1.1 波动方程 2.1.2 角函数 2.1.3 角动量 2.1.4 径向函数 2.1.5 能级和波函数 §2.2 氦原子
2.2.1 原子单位（重点）
2.2.2 轨道近似法 2.2.3 屏蔽效应 2.2.4 排斥势 §2.3 Pauli原理 2.3.1 自旋 2.3.2 Pauli不相容原理 2.3.3 Hund规则
R
sin2
R
r
r 2
R r
sin
sin
1
2
2
8 2
h2
(E
V )r 2 sin2
0
整理，得 1
2
2
sin2
R
r
r 2
R r
sin
sin
8 2
h2
r 2 sin2 (E V )
此式左边不含r,，右边不含，要使两边相等，须等于同一常数，设为-m2，则得
L=0, m=0,
0,0
2 2
L=1, m=0
1,0
6 2
cos
m= 1 L=2, m=0
m= 1
1,1
3 2
sin
2,0
10 4
(3
cos2
1)
m= 2
2,1
15 2
sin
cos
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15 4
sin 2
（2）原子轨道角函数
复数形式的函数是角动量z轴分量算符的本征函数，但复 数不便于作图，不能用图形了解原子轨道或电子云的分布， 需通过线性组合变为实函数解：
e
r
mN
me
r
r1
r2
r
(x,y,z)
+Ze
(X,Y,Z)
对于H原子，M＝1836.1m，＝1836.1m/1837.1＝0.99946m，折合质量与 电子质量相差无几，说明质心与核间的距离很小，可粗略地认为核不动，电子绕 核运动，把核放在原点上，即可得出H原子和类氢离子的Schrödinger方程：
第二章 原子
• 原子：由一个核和若干个电子组成的体系。
• 化学：研究原子之间化合与分解的科学。
• Balmer早在1885年准确地将氢原子光谱中可见光谱区
的频率公式总结为 ~
E2 E1 hc
me4
8 02 h3c
1 n12
1 n22
Ry
1 n12
1 n22
• Rutherford在1909~1911年间，发现了电子，提出行星
绕太阳原子模型。
• Bohr氢原子结构模型：1913年，Bohr综合了Planck的 量子论、Einstein的光子说和Rutherford的原子模型， 提出原子结构模型。
电子绕核运动的半径: r＝n2h20/me2 , n＝1时，r＝52.92pm≡a0
Schrödinger在1926年迅推达商导务资了料网氢原子的波函数和能级
2
1 r2
r
r 2
r
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2
2
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●变换为极坐标后的Schrödinger方程为：
1 r2
r
r 2
r
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
8 2
h2
E
V
0
变数分离法
令 (r, ,) R(r)( )(), 代入上式并乘以 r2 sin2
e
z=rcos (3)
tg=y/x
(6)
r
x
r x
r
x
x
sin cos cos cos sin
x
r
r r sin
z
0
y
x
y
类似地： y
r y
r
y
y
x
sin sin cos sin cos
y
r
r r sin
cos sin
z
r r
2.1.2 角函数
2 d 1; sind 1; RRr 2dr 1
0
0
0
2 Y Y sindd 1; 2 r2 sindrdd 1
00
0 00
Y0,0 s
1
4
Y1,0 pz
3 cos 4
py
3 sin sin 4
Y 1,1
px
3 sin cos