高中数学竞赛赛题精选(带)
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。
以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。
1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。
解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。
由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。
2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。
解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。
sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。
3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。
给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。
解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。
当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。
4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。
解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。
5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。
7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。
8. 一个正六边形的内角为______度。
9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。
10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。
12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。
13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。
14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。
四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。
答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。
当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。
答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。
计算 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 0 \)，\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \)，\( f(3) = 6 \)。
因此，最大值为 6，最小值为 0。
2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。
答案：使用洛必达法则，首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \)，再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。
当 \( x \to 0 \) 时，极限为 \( \frac{1}{2} \)。
3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。
答案：利用调和级数的性质，将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。
通过放缩和积分估计，可以证明该不等式成立。
4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \)，且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \)，求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。
答案：利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)，通过平方和展开，可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。
高中的数学竞赛试题及答案
高中的数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.333...（无限循环）D. 1/32. 如果函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x = 2时取得最小值，那么f(2)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 已知等差数列的前三项分别为3, 8, 13，求第10项的值。
A. 43B. 48C. 53D. 584. 若sinx = 1/2，求cosx的值（假设x在第一象限）。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题4分，共12分）5. 计算(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) / (x - 1)的商式和余数。
商式为：________余数为：______6. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。
共轭复数为：______7. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。
边长为：______三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
9. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其导数g'(x)，并找出g(x)的极值点。
10. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| > 4。
四、证明题（每题10分，共10分）11. 证明：对于任意实数a和b，(a^2 + b^2)(1/a^2 + 1/b^2) ≥ 2。
五、附加题（每题15分，共15分）12. 一个圆的半径为r，圆内接正n边形的边长为s。
证明：s =2r*sin(π/n)。
高中数学竞赛试题答案一、选择题1. A（π是无理数）2. B（f(2) = 4 - 10 + 3 = -3，但题目要求最小值，故应为B）3. C（公差d = 13 - 8 = 5，第10项a_10 = 3 + 9*5 = 53）4. A（根据勾股定理，cosx = √3/2）二、填空题5. 商式为：2x^2 - x - 5，余数为：-36. 共轭复数为：3 - 4i7. 边长为：10三、解答题8. 证明略。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
2024年上海高三数学竞赛试题及答案
2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。
的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。
— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。
曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。
下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。
请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。
答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。
2024年浙江省宁波市高中数学竞赛试题(含答案)
2024年宁波市高中数学竞赛试题一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两圆C 1，C 2，则“C 1，C 2有且仅有三条公切线”是“C 1，C 2相切”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.若α∈{12,1,2}，则函数f(x)=x a ln(x 2+1)的图象不可能是( )A. B.C. D.3.已知对任意平面向量AB =(x,y)，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP =(x cos θ−y sin θ,x sin θ+y cos θ)，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知圆锥曲线Γ:7x 2+2xy +7y 2=24经过旋转后其方程可以变为标准方程，则此曲线的离心率为( )A. 12B.32C. 1D.24.已知△ABC 的内心为I ，垂心为H ，∠B =π4，若IH//BC ，则∠C 的大小落在区间( )A. (0,π6)B. (π6,π4)C. (π4,π3)D. (π3,π2)二、多选题：本题共3小题，共24分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5.设a ，b ，c 是互不相等的正数，若关于x 的不等式a x −b x +c x >0成立.当且仅当x ∈(−∞,1)，则( )A. a+c<2bB. 1a +1c>2bC. e a+e c>2e bD. ln a+ln c<2ln b6.数列{a n}是等差数列，周期数列{b n}满足b n=cos(a n).若集合X={x|x=b n,n∈N∗}，中恰有三个元素，则数列{b n}的周期T的取值可能是( )A. 4B. 5C. 6D. 77.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点M是线段A1D1上的动点，点N在侧面BCC1B1(包含边界)上且满足B1N⋅C1N=0，下列结论正确的是( )A. 对任意的点M，总存在点N使得MN⊥ACB. 三棱锥M−BCN外接球的球心可以是线段BM的中点C. 三棱锥M−BCN外接球半径的最小值为928D. 二面角M−AC−N的正切的最大值为722三、填空题：本题共6小题，每小题8分，共48分。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
2023全国高中数学联合竞赛加试卷及参考答案
2023年全国高中数学联合竞赛加试卷习题及参考答案一．（本题满分40分）如图，ABC 的外心为O ，在边AB 上取一点D ，延长OD 至点E ，使得,,,A O B E 四点共圆．若2,3,4,5OD AD BD CD ，证明：ABE 与CDE 的周长相等．证明：由,,,A O B E 共圆得AD BD OD DE ，又2,3,4OD AD BD ，所以6DE ． ……………10分由OA OB 得OAD OEA ，故OAD OEA ∽，故OA OE AEOD OA AD． 所以22(26)16OA OD OE ，得4OA ．进而26OEAE AD AD OA．同理可得OBD OEB ∽ ，28BE BD ． ……………20分 由于22OC OA OD OE ，故OCD OEC ∽． ……………30分因此EC OC CD OD． 由2,8OD OE OD DE 知4OC ，又5CD ，故210EC CD ． 计算得76821AB AE BE ，561021CD DE EC ，即ABE 与CDE 的周长相等． ……………40分二．（本题满分40分）设,m n 是给定的整数，3m n ≥≥.求具有下述性质的最小正整数k ：若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在m 个红色的数12,,,m x x x （允许相同），满足121m m x x x x -+++< ，或者存在n 个蓝色的数12,,,n y y y （允许相同），满足121n n y y y y -+++< ．C E O A BD C EO A B D解：答案是1mn n -+．若k mn n =-，将1,2,,1n - 染为蓝色，,1,,n n mn n +- 染为红色．则对任意m 个红色的数12,,,m x x x ，有121(1)m m x x x n m x -+++≥-≥ ，对任意n 个蓝色的数12,,,n y y y ，有1211n n y y y n y -+++≥-≥ ，上述例子不满足要求．对k mn n <-，可在上述例子中删去大于k 的数，则得到不符合要求的例子．因此所求1k mn n ≥-+． ………………10分下面证明1k mn n =-+具有题述性质．假设可将1,2,,1mn n -+ 中的每个数染为红色或蓝色，使得结论不成立． 情形一：若1是红色的数，则红色的数均不超过1m -，否则可取一个红色的数m x m ≥，再取1211m x x x -==== ，则11m m x x x -++< ，与假设矛盾． ………………20分故,1,,1m m mn n +-+ 均为蓝色的数，此时取121,1n n y y y m y mn n -=====-+ ，有121(1)11n n y y y m n mn m mn n y -+++=-<-+≤-+= ，（*） 与假设矛盾． ………………30分情形二：若1是蓝色的数，则同情形一可知蓝色的数均不超过1n -，故,1,,1n n mn n +-+ 均是红色的数．此时取121,1m m x x x n x mn n -=====-+ ，与（*）类似，可得矛盾．故1k mn n =-+时结论成立．综上，所求最小的正整数1k mn n =-+． ………………40分三．（本题满分50分）是否存在2023个实数122023,,,(0,1]a a a ，使得20236120231110i j i j k ka a a证明你的结论．解：记20231202311i j i j k kS a a a． 假设存在122023,,,(0,1]a a a ，使得610S ． 不妨设12202301a a a ，则将12023i j i j a a去掉绝对值后，k a 的系数为22024k ，从而202311(22024)k k kS k a a． ……………10分 当11011k 时，由基本不等式知 11(22024)(20242)220242k k kkk a k a k a a． ……………20分当10122023k 时，由于1()(22024)k f x k x x在(0,1]上单调增，故1(22024)(1)22025k k kk a f k a． 从而1011202311012220242(22025)k k S k k1011110101012202422k k k． ……………30分注意到202422(20242)2202444k k k k ，故61010101210114410S ，这意味者不存在122023,,,a a a 满足条件． ……………50分四．（本题满分50分）设正整数,,,a b c d 同时满足： (1) 2023a b c d +++= ； (2) ab ac ad bc bd cd +++++ 是2023的倍数； (3) abc bcd cda dab +++是2023的倍数． 证明：abcd 是2023的倍数． 证明：易知22023717=⨯． 首先，由(1)，(3)知2()()()()() a b a c a d a a b c d abc bcd cda dab +++=+++++++是2023的倍数，故,,a b a c a d +++中至少有一个是 7的倍数． ……………10分由对称性，不妨设a b +是7的倍数，则) 2023( c d a b +=-+也是7的倍数，()()ac ad bc bd a b c d +++=++也是7的倍数，故结合(2)知ab cd +是7的倍数，因此22) (()()a c a a b c c d ab cd +=+++-+也是 7的倍数．又平方数除以 7的余数只能是0,1,2,4，因此22,a c 只能同时是 7的倍数， 这表明,,,a b c d 都是 7的倍数． ………………20分同上面分析可知：) ()()( a b a c a d +++是217的倍数，故或者其中有一个因子是217的倍数，或者其中有两个因子是 17的倍数．如果有一个因子是217的倍数，不妨设a b +是217的倍数，结合 ,a b 都是7的倍数知，a b +是 22023717=⨯的倍数，但这与2023a b c d +++=及,,,a b c d 是正整数相矛盾！ ………………30分因此,,a b a c a d +++中至少有两个是17的倍数．不妨设,a b a c ++都是17的倍数，那么b d +也是17的倍数，由2()()(2)()ab ac ad bc bd cd a b d b d c a a b a a c a +++++=+++++++-知，22a 是17的倍数，故a 是17的倍数．因此,,,a b c d 都是17的倍数，这就说明了abcd 是44717⨯的倍数，也就是2023的倍数．………………50分。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
数学竞赛试题及答案高中
数学竞赛试题及答案高中一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 3x^2 - 6x + 5，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，求数列{an}的前n项和Sn。
A. Sn = 2^(n+1) - 2B. Sn = 2^(n+1) - 1C. Sn = 2^(n+1) - 2^nD. Sn = 2^(n+1) - 2^(n-1)答案：B3. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的数量积。
A. 2B. -2C. 4D. -4答案：B4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 3x + 2C. 3x^2 - 6xD. x^2 - 3x答案：A5. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，求双曲线的离心率e。
A. e = √(1 + b^2/a^2)B. e = √(1 - b^2/a^2)C. e = √(a^2 + b^2)D. e = √(a^2 - b^2)答案：A6. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. 1C. 0D. -1答案：A7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求数列{an}的第10项a10。
B. 20C. 21D. 22答案：A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 1)，求向量a与向量b的夹角θ。
A. π/3B. π/4D. 2π/3答案：D10. 已知函数f(x) = e^x - e^(-x)，求f'(x)。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x1和x2，则x1 + x2的值为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，a3 = 8，则该数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的模|z|的取值范围为：A. [1, 3]B. [0, 3]C. [1, 5]D. [0, 5]4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 25. 若a，b，c是等比数列，且a + b + c = 14，b^2 = ac，则a + c 的值为：A. 4B. 8C. 10D. 126. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求角C的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，则判别式Δ的取值范围为：A. Δ > 0B. Δ = 0C. Δ < 0D. Δ ≥ 08. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a + b的坐标为：A. (4, 6)B. (-2, -2)C. (2, 6)D. (4, -2)9. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 010. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0，b > 0），且双曲线C的一条渐近线方程为y = 2x，则a/b的值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、填空题（每题6分，共30分）11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 3^n - 1，求a5的值为________。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。
答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。
答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。
解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0，可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 如果函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，那么a5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 函数y=sin(x)的周期为：A. 2πB. πC. 4πD. 1答案：A4. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足A+B=2C，那么角C的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 已知复数z=1+i，那么|z|的值为：B. 2C. √3D. 3答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[1,2]上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：C7. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，那么b的值为：A. √3C. √5D. 2答案：A8. 已知椭圆C：x^2/4+y^2/3=1，那么椭圆C的离心率为：A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 2/3答案：C9. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，则向量a+2b的坐标为：A. (4, -1)B. (4, 1)C. (2, -1)D. (2, 1)答案：A10. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-3x+2=0}，则A∩B 的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x+5，求f'(x)的值为：______。
答案：3x^2+6x-912. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，那么b4的值为：______。
答案：5413. 已知直线l的方程为y=2x+1，求直线l与x轴的交点坐标为：（______，______）。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。
AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。
求BMN ∆外心O 的轨迹。
(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。
(12分)三、 试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。
(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。
(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。
试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。
(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。
试题（二） 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。
(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。
求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。
(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。
(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。
(5分)试题（一）解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。
因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。
因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>a Ｃ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--= C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12解：由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ． 9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4]解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在∆ABC 的内部，且有+2+3=，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设∆AOC=S ，则∆OC 1D=3S ，∆OB 1D=∆OB 1C 1=3S ，∆AOB=∆OBD=1.5S ．∆OBC=0.5S ，⇒∆ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53B ．253C ．63D ．263解：AB ⊥OB ，⇒PB ⊥AB ，⇒AB ⊥面POB ，⇒面PAB ⊥面POB ． OH ⊥PB ，⇒OH ⊥面PAB ，⇒OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，⇒PC ⊥面OCH ．⇒PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而∆OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263． 又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ， 而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB 2(PO 2=PH ·PB )． 记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，则V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，V B －PCO =124R 3sin2α．PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．⇒V O －PHC =sin2α3+cos2α⨯112R 3．1A BPOH C∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cos α=33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ． 解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ． 19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅o o o o 的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅o o o o =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ．解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2.21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈u u u r u u u r且1AP AB ⋅=u u u r u u u r．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。