大学物理电介质课件讲义

i
( S内 ）
称为电位移矢量


则 D dS q0i
P ε0(εr 1)E
S
i
( S内）
对于各向同性线性电介质: D ε0 εr E ε E
介质方程
对高斯定理的几点说明：

D dS S
q0i内
i
在静电场中，通过任一闭合面的电位移通
量等于该面内所包围的自由电荷的代数和。

电位移矢量
①环路定理 E dl 0 仍然成立
②高斯定理
L E d S 1
S
ε0
1 i qi内 ε 0 ( i
q0i
qi )
i
qi P dS (ε 0 E P) d S q0i
i
( S内）
S
S
引入辅助矢量：D ε 0 E P
前
pi 极化后每个分子的电偶极矩 取宏观上无限小
电极化强度：电介质中某点附近 微观上无限大的 单位体积内分子电偶极矩的矢量和 体积元
定义
P

lim
V
0
pi V
V
后
电偶极子排列的有序程度 反映了介质被极化的程度
排列越有序 极化越强烈
均匀极化： 电介质内各
处P 都相同
单位：C/m2 —面电荷密度？
A
B
外力作的功全部储存在电容器中, 电容器储能:
W Q2 2C
1 CU 2 1 QU
2
2
忽略边缘效应，对平行板电容器有
电容器的
U Ed
C 0 r S
d
储能公式
W

1 2

0
r
E
2
Sd

1 2

0
r
E
2V
能量储存于场中
电场中单位体积内的电能为
wW V

1 2

0
r
E
0 0
解:均匀极化 表面出现束缚电荷
r

内部的场 由自由电荷 0
和束缚电荷
E0和E 叠加
共同产生
0
单独产生的场强为
E0

σ0 ε0
0 0
E0
单独产生的场强为 E σ
E
ε0
E

E0
E

σ0 ε0

σ (1)
dq nq分l dS cos
PdScos
P dS
E0
-+ l

dq P dS
S
n
·在电介质体内取任一封闭曲面S，
则净穿出整个封闭面的电荷为
dS
q内 -
+
P
q出 P dS
电介质体内
S

·留在封闭面内的电荷为 q内 q出 P dS
Q 4πε0εr1R02
ε0
εr1
1
因为均匀分布，
Q
σ0

Q 4πR02
所以
σ


εr1 1 εr1
σ0
q εr1 1Q εr1
同样方法可解其它介质表面处极化电荷(自解)
各向同性线性电介质均匀充满两个等势面间时
思路
E0

E

E0
r

P
0 r

1E
引言
电介质 (Dielectric)，就是绝缘体 ----无自由电荷，不导电。
本章讨论： 在电场作用下，电介质的电荷如何分布？ 电介质如何影响电场？电介质和电场的相互影响
如何计算有电介质存在时的电场分布？
12.1 电介质的极化（polarization）
1、电介质的分类： 无极分子和有极分子电介质
D
任意负电荷。电位移线起于正的自
由电荷而止于负的自由电荷。
5、在解场方面的应用
在具有某种对称性的情况下


可以首先由高斯定理解出 D，再求 E
思路
D E P q
例12.1 平行板电容器, 自由电荷面密度为0，
其间充满相对介电常数为r的均匀各向同性线
性电介质。求板内的场强。
带电的导体球 E 0(0 r R)
r
其场强分布为
E

Q 4πε0r 2
(r

R)
任取薄球壳 dWe wdV w4r 2dr
dr
w

1 2
ε0
E
2
We
dWe
R
1 2
ε0
(
Q 4πε0r
2
)2
4πr
2dr
Q 2 dr
Q2
8πε0
R r2
8πε0 R
Baidu Nhomakorabea

σ0 ε0εr 2
（2） U

E1d1

E2d2
σ0 ε0
( d1 εr1

d2 εr 2
)

Q0 ε0 S
( d1 εr1

d2 εr 2
)
C Q0 ε0εr1εr2 S U εr1d2 εr 2d1
或电容串联：
0
S1
1
1 1 1 d1 d2 C C1 C2 ε0εr1S ε0εr 2 S
·束缚电荷面密度（单位面积上的束缚电荷）
= dq /dS P dSnˆ / dS

nˆ P nˆ Pn
介质外法线方向单位矢量
n
·如图电介质
-q-
+ q
-
P+
-
+
-
+
5、电介质的极化规律 (电极化强度P～总场强E)
实验表明：各向同性线性电介质,有
P χe ε0E χe εr 1 介质的电极化率
方法二：由电容器的静电能计算
孤立带电球体的电容为 C 40R
We

1 2
Q2 C

Q2
8 0 R
方法三：根据电场能等于将各电荷元 dq 从无 限远移入过程中，外力克服电场力作功
dWe dq
We
Q
dW
q dq Q2
0 40R
8 0 R
例12.5 半径为R、相对介电常数为εr 的
静电平衡时，导体内部处处没有净电荷。
导体表面 E
0
2.电容的定义 电容器储能
三种常用电容器的电容 C Q
U
W 1 CU 2 1 Q2 1 QU
2
2C 2
3.有电介质时的高斯定理
D d S q0i
S
i
( S内）
各向同性线性电介质：


P 0(r 1)E
求：1) 场的分布; 2)各介质表面处的 极化电荷。
r2 0
R0 r1
R1
Q R2
解：1)场的分布
r<R0 E1 0
导体内部

D dS S
q0i内 D 4r 2 Q
i
D 0 r E
R0 r R1
r1
E2

Q 4πε0εr1r 2
rˆ
R1< r<R2
4、极化强度与极化电荷的关系
(1)体束缚电荷
dV
·考虑电介质体内面元dS处的极化
·以位移极化为例，设负电中心不动，
dS
n

EP
l 电介质体内
·在电场作用下，正电荷沿电场方向发生位移l ,
dV= ldS cos 内所有分子的正电荷中心将越过dS面。
·越过dS面元的总电荷（ n ：介质分子数体密度）
在电介质内任一闭合面S内的极化电荷 q与SP的关系

q P dS
S
可以证明：对均匀电介质，若电介质体内无自由电荷 ，则不管电场是否均匀，电介质体内都无束缚电荷。
(2)面束缚电荷
内
·若前述dS面元刚好在电介质表面上，

dq P dS

dS
Pn

P
l
即为电介质表面dS面积上的束缚电荷。
( pi 0)
无外电场
F1
( pi 0)
有电场取向极化
E 0
E
极化的宏观效果总是在电介质表面出 现电荷分布， 称为极化电荷或束缚电荷。 E E0 E 0
3、电极化强度 (Polarization intensity）
V
— 表征电介质极化程度 宏观描述？
。
E U ; U E(d t) U (d t);
d
d
C q qd
d
U U(d t)
习2. 一电容为C的电容器，极板上带电量
Q，若使该电容器与另一个完全相同的不
带电的电容器并联，则该电容器组的静电
能W e =
。
Q2/4C
总电量不变,为Q ； 总电容C总=C1+C2=2C 则 W=Q2/(2C总)= Q2/4C
1、电位 移是为 简化计算引入的辅 助矢量。无物理意义 D ε0E P ε0εr E ε E 各向同性线性电介质
2、式中虽不显含极化电荷，但已考虑极化电荷的影响。
3、有介质时静电场的性质方程。普遍适用于任何电场， 是麦克斯韦方程组中的方程之一。
讨论
E
4、电场线起于任意正电荷而止于
设在时间 t 内，从 B 板向 A 板迁移了电荷 q(t )
U(t) q(t) C
q(t) q(t)
再将 dq 从 B 板迁移到 A 板，外力需
作功 dA U(t)dq q(t) dq
C
极板上电量从 0 —Q ,外力作的总功为
+
Q q(t)
Q2
A dA 0
C
dq 2C
D ε 0ε r E
4.电场能量密度、能量
we

1
2
E2
We


V
1 2
ε
E 2dV
习1. 一空气平行板电容器，两极板间距为d，
极板上带电量分别为+q和－q，极板间电压
为U。在忽略边缘效应的情况下，板间场强
大小为
，若在两板间平行地插入一厚
度为t（t＜d）的金属板，则极板间电压变
为 ，此时电容值等于
2

1 E 2
2
二、电场能量密度
w

1
εE 2

1
DE

1
D
E
2
2
2
（适用于任何电场） 不均匀电场中
E
dV
W dW 1E 2dV
V
V2
注意：积分区间为所有有电场存在的空间。
例12.4 求带电为 Q ，半径为 R 的导体球的电场能。 （设球外为真空）
解：方法一：计算电场能量
在无外 正负电荷中心不重合 正负电荷中心重合 电场时 （水、有机玻璃等） （氢、甲烷、石蜡等）
2、电介质的极化
——在外电场作用下，介质表面感生出束缚(极化) 电荷的现象．
微观机制：
E
无极分子
E
0
0
-+
无外电场 有电场位移极化
有极分子
E 0
E
0F
E
1
( p

ql )
+q -q
F 2
l F2
r ——介质的相对介电常(相对电容率)
0 r ——介质的介电常量 (电容 率)
εr
e无量纲的纯数
介质性质, 与 E

无关

P ε0(εr 1)E
E 介质中的总场强(外电场＋束缚电荷电场)
E E0 E
本课程中只讨论各向同性、线性电介质。
12.2
有电介质时的高斯定理
P nˆ q dS
S


D ε0εr E ε E
例12.3 一平行板电容器充满两层厚度各为d1和d2、相对
电容率分别为r1和r2的电介质，极板面积为S，两极板
上自由电荷面密度为±0。求:(1)介质内的电位移和场强；
(2)电容器的电容；(3) 介质表面的极化电荷面密度。
4 0 r R3
,
0
r

R
W2
R
1
2
0
E2
2dV

Q2
8 0 R
E2

Q
4 0r 2
,
Rr
W
W1
W2

Q2 1 (
8 0 R 5 r
1)
静电场中的导体和电介质小结
1.导体静电平衡的条件、性质和电荷分布
E内 0 E表面 表面 导体是等势体，表面是等势面
Q R
球均匀带电 Q ，求其电场能量。
r

解：
D dS
S
q0i内
i
E1 r
D 4r 2 4 r 3
E2
3
电荷体密度： Q
4 R3 3
D 0 r E
取体积元
W1
R 0
1
2
0
r
E1
2dV

Q2
40 0 r R
E1

Qr
εo
得
E

σ0
E E0
σ Pn ε0 (εr 1)E (2)
ε0εr
r
该式普遍
均匀各向同性电介质 充满两个等势面之间
E

E0 εr
适用吗？
σ


(1

1 εr
)σ0
电介质中某点的场强< 自由电荷在该点产生的场强，why?
例12.2 带电Q的导 体球置于均匀各向 同性介质中。
解（1）面对称,介质中 D 、E垂 0
S1
直高于斯平面板,D取S底1 面S积1 D为 dSS1的圆 0柱S1形
1 1 2
2
E1
E2
r1 d1 D r2 d2
D 0 方向如图
0
E D ε0εr
E1

σ0 ε0εr1
E2
1 2 2
E1
d1 d2
0
（3） 均匀各向同性电介质充满两个等势面之间

σ1

(1

1 εr1
)σ0
σ2

(1
1 εr 2
)σ0
12.3 电场的能量
一、电容器的储能（静电能）
·当电容器带电后，同时也储存了能量。 以平行板电容器为例，来计算电容器的能量。 •充电过程：不断把微小电荷+dq从B移到A
r2 内
E3

Q 4πε0εr 2r 2
rˆ
r > R2
E4

Q 4πε0r 2
rˆ
2)求紧贴导体球的介质表面处的极化电荷

P nˆ P
r R0

r R0
由该处 P2 ε0 εr1 1 E2
r2
r1
n^
0 P
得
σ