排列组合公式排列组合计算公式.
排列组合规律公式
排列组合规律公式排列组合是高中数学中的重要内容，也是生活中经常使用到的知识点。
排列组合涉及许多规律和公式，下面就是一些排列组合的规律公式。
一、排列规律公式排列就是从一些元素中选择若干个进行排列，排列的个数可以用下面的公式表示：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n表示有n个元素，m表示选择m个进行排列，!表示阶乘。
例如，一个班级有20个学生，从中选出5个进行比赛，那么这5个学生的排列方式的总数就是A(20,5) = 20! / (20-5)! = 20*19*18*17*16 = 15,504,000。
二、组合规律公式组合是从一些元素中选择若干个进行组合，组合的个数可以用下面的公式表示：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，n表示有n个元素，m表示选择m个进行组合，!表示阶乘。
例如，一个班级有20个学生，从中选出5个进行小组合作，那么这5个学生的组合方式的总数就是C(20,5) = 20! / (5! * (20-5)!) =15,504,000 / 120 = 155,04。
三、重复组合规律公式重复组合是从一些元素中选择若干个进行组合，同一个元素可以选多次，组合的个数可以用下面的公式表示：H(n,m) = C(n+m-1,m) = (n+m-1)! / (m! * (n-1)!)例如，一个班级有20个学生，从中选出5个进行班委投票，同一个学生可以被选多次，那么这5个学生的组合方式的总数就是H(20,5) =C(20+5-1,5) = 24,015。
四、二项式定理二项式定理是排列组合中的一个重要定理，它可以用下面的公式表示：(a+b)^n = ∑C(n,k) * a^(n-k) * b^k其中，a和b是实数，n是自然数，C(n,k)表示从n个元素中选择k个进行组合。
例如，计算(1+x)^6，就可以使用二项式定理进行展开：(1+x)^6 = C(6,0) * 1^6 * x^0 + C(6,1) * 1^5 * x^1 + C(6,2) * 1^4 * x^2 + C(6,3) * 1^3 * x^3 + C(6,4) * 1^2 * x^4 + C(6,5) * 1^1 * x^5 + C(6,6) * 1^0 * x^6= 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4 + 6x^5 + x^6综上所述，排列组合涉及许多规律和公式，上面就是一些常用的规律公式，希望能对学习排列组合有所帮助。
排列组合基本公式大全
排列组合基本公式大全排列和组合是数学中常用的概念，用于计算在特定条件下的可能性和选择数。
掌握排列组合的基本公式是解决许多与计数有关的问题的关键。
下面将提供一些常见的排列组合基本公式，以帮助读者更好地理解和应用它们。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列。
常见的排列基本公式有：1. 全排列公式：对于n个元素的全排列，共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1。
例如，对于3个元素的全排列，共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种不同的排列方式。
2. 部分排列公式：对于n个元素中选取m个进行有序排列，共有A(n, m)种排列方式，其中A(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行有序排列的总数，计算公式如下： A(n, m) = n! / (n-m)!例如，从5个元素中选取3个进行有序排列，共有A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60种不同的排列方式。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个进行无序组合。
常见的组合基本公式有：1. 无重复元素组合公式：对于n个不重复元素中选取m个进行无序组合，共有C(n, m)种组合方式，其中C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行无序组合的总数，计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)例如，从8个不重复元素中选取4个进行无序组合，共有C(8, 4) = 8! / (4! ×(8-4)!) = 70种不同的组合方式。
2. 有重复元素组合公式：当元素中存在重复元素时，选取m个进行无序组合的总数可以通过排列数除以重复元素的排列数得到。
计算公式如下：有重复元素组合总数 = 无重复元素组合总数 / 重复元素的排列数例如，从6个元素中选取3个进行无序组合，其中2个元素重复，共有C(6,3) / 2! = (6! / (3! × (6-3)!)) / 2! = 10种不同的组合方式。
排列组合计算方法
排列组合计算方法
排列组合是一种数学计算方法，用于确定一组对象的不同排列或组合的数量。
在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是无关紧要的。
以下是计算排列和组合的方法：
1. 排列计算方法：
排列是从一组对象中选取特定数量的对象进行排列的方法。
用
n表示总对象数，r表示选择的对象数，则排列数可以通过以
下公式计算：
nPr = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 3 * 2 * 1。
2. 组合计算方法：
组合是从一组对象中选取特定数量的对象进行组合的方法。
用
n表示总对象数，r表示选择的对象数，则组合数可以通过以
下公式计算：
nCr = n! / (r! * (n-r)!)
其中，n!和r!表示n和r的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。
通过以上的排列和组合计算方法，我们可以得到不同排列和组合的数量。
在实际应用中，这些计算方法可以用于解决各种问题，如概率计算、组合问题、排序问题等。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
数学中的排列组合公式
数学中的排列组合公式
排列组合是数学中非常重要的概念，它们在各行业的应用也非常广泛。
下面是排列组合的基本概念和公式：
排列：
排列是指从n个不同元素中，取出m个元素进行排列，其排列的总数
用Anm表示。
其中，n为元素总数，m为取出的元素数目，n≥m。
公式： Anm = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
组合：
组合是指从n个不同元素中，取出m个元素进行组合，其组合的总数
用Cnm表示。
其中，n为元素总数，m为取出的元素数目，n≥m。
公式： Cnm = Anm / m! = n! / [(n-m)! × m!]
注意：组合的式子可以通过排列的式子得出，即Cnm = Anm / m!。
这
个式子中，m!的含义是因为组合不计较元素的排列顺序。
排列组合的应用非常广泛，例如在排列各类物品的顺序、统计员工中
抽取奖品的方案等等。
熟练掌握排列组合的计算，在数学和实际生活中都是非常有帮助和必要的。
排列组合c和p的公式
排列组合c和p的公式
排列组合是组合数学中的重要概念，用于计算从一组对象中选择出一部分进行排列或组合的方式的数量。
排列（Permutation）是指从n个不同元素中选择r个元素进行有序排列的方式的数量。
排列的公式为：
P(n,r) = n! / (n - r)!
其中，n表示总的元素数量，r表示选择的元素数量，!表示阶乘运算。
组合（Combination）是指从n个不同元素中选择r个元素进行无序组合的方式的数量。
组合的公式为：
C(n,r) = n! / (r! * (n - r)!)
其中，n表示总的元素数量，r表示选择的元素数量，!表示阶乘运算。
在公式中，n!表示n的阶乘，即n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
通过这两个公式，可以计算出从一组对象中选择出一部分进行排列或组合的方式的数量。
排列与组合的计算方法公式
排列与组合的计算方法公式“哎呀，这排列组合可真是个让人头疼的问题啊！”排列组合是数学中的一个重要概念，它们有着特定的计算方法和公式。
排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列的计算公式为：A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列数就是A(5,3)=5×4×3=60。
比如在体育比赛中，前三名的颁奖顺序就是一种排列情况。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
组合的计算公式为：C(n,m)=A(n,m)/m!。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个组成一组，不考虑顺序，那么组合数就是C(5,3)=A(5,3)/3!=60/6=10。
就像从一堆水果中选取几个水果，不考虑选取的先后顺序，这就是组合。
再举个例子，假设有 5 个人，要选出 3 个人去参加一个活动。
那么用排列的方法计算，这 3 个人的顺序不同就算是不同的情况，比如 ABC 和 CBA 是不同的排列；而用组合的方法计算，只要是这 3 个人就可以，不考虑他们的顺序，ABC 和 CBA 就只算一种组合。
排列组合在生活中有很多实际的应用。
比如抽奖活动，从众多参与者中抽取几个获奖者，这就是组合问题；而如果还要考虑获奖者的先后顺序，比如一等奖、二等奖、三等奖的颁发顺序，那就是排列问题了。
在解决排列组合问题时，关键是要明确是排列还是组合，以及元素是否可以重复。
如果元素可以重复，那么计算方法又会有所不同。
总之，排列组合虽然有点复杂，但只要理解了基本概念和公式，通过多做一些实际的例子，就能很好地掌握和运用它们。
小学数学排列组合公式大全
小学数学排列组合公式大全小学是我们整个学业生涯的基础，所以小朋友们一定要培养良好的学习习惯，本店铺为同学们特别提供了数学排列组合公式大全，希望对大家的学习有所帮助!1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m。
排列组合公式大全
排列组合公式大全在组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列指的是从一组元素中选择出一些元素按照一定的顺序排列，而组合则是从一组元素中选择出一些元素，不考虑顺序。
排列和组合在概率论、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的排列和组合公式，供读者参考。
排列公式1. 排列的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行排列，记为P(n, r)。
排列的结果是有序的，具体的排列方式有nPr种。
2. 全排列公式当r等于n时，即从n个元素中选取n个元素进行排列，这种排列方式称为全排列。
全排列的总数为n!（n的阶乘），即：P(n, n) = n!3. 部分排列公式当r小于n时，即从n个元素中选取r个元素进行排列，这种排列方式称为部分排列。
部分排列的总数为：P(n, r) = n! / (n - r)!4. 循环排列公式循环排列是一种特殊的排列方式，它指的是把元素排列成一个环状。
对于n个元素的循环排列，总数为(n - 1)!。
P(n, 1) = (n - 1)!5. 有限排列公式在排列中，如果元素可以重复使用，则称为有限排列。
从n个元素中选取r个元素进行有限排列的总数为nr。
组合公式1. 组合的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行组合，记为C(n, r)。
组合的结果是无序的，具体的组合方式有Cnr种。
2. 组合公式组合的总数可以使用下列公式计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)3. 组合与排列的关系组合数与排列数之间存在一定的关系。
具体来说，C(n, r)可以通过P(n, r)除以r!来计算，即：C(n, r) = P(n, r) / r!4. 二项式系数公式二项式系数是组合数学中常见的概念，它对应于二项式展开中各项的系数。
n 个元素的二项式系数可以使用组合公式计算：C(n, 0) = 1C(n, n) = 1C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)总结本文介绍了一些常见的排列和组合公式。
排列组合的组合公式
排列组合的组合公式在咱们的数学世界里，排列组合可是个相当有趣的家伙，尤其是其中的组合公式，那更是有着独特的魅力。
记得有一次，学校组织活动，要从班级里选出几个同学去参加校外的比赛。
咱们班一共 50 个人，老师说要选出 10 个人。
这时候，我就在想，这到底有多少种选法呢？这其实就是一个典型的组合问题。
咱们先来说说组合公式到底是啥。
组合公式表示的是从 n 个不同元素中，选取 m 个元素的组合数，记作 C(n, m) 。
它的计算公式是：C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5×4×3×2×1 。
咱来举个简单的例子理解一下。
比如说从 5 个不同的水果里选 2 个，那有多少种选法呢？按照组合公式，就是 C(5, 2) = 5! / (2!×(5 - 2)!) = 10 种。
组合公式在实际生活中的应用那可多了去了。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出几个中奖号码；再比如说组队，从一群人中选出几个人组成一个团队。
回到前面说的选同学参加比赛的事儿。
50 个人里选 10 个人，那就是 C(50, 10) ，这计算起来可就有点复杂啦。
但有了组合公式，咱们就能算出到底有多少种可能的组合。
再想想，咱们去超市买东西。
假如有20 种零食，咱们只想选5 种，这也是组合呀。
用组合公式就能算出一共有多少种不同的选择。
还有安排座位的时候，一排有15 个座位，要选8 个给一组同学坐，这同样能通过组合公式来算。
组合公式可不只是在数学题里有用，它就像一把万能钥匙，能帮咱们解决好多生活中的实际问题。
只要咱们留心观察，就能发现它无处不在。
总之，组合公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多联系实际，就能发现它的妙处，让它成为咱们解决问题的好帮手。
以后再遇到类似选人的、挑东西的事儿，咱们就能心里有数，知道有多少种可能啦！。
12个基本排列组合公式
12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。
先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。
再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。
我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。
这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。
我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。
”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。
然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。
那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。
经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。
咱们继续说排列组合公式。
还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。
还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。
在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。
再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。
高中数学公式大全排列组合与概率计算公式
高中数学公式大全排列组合与概率计算公式高中数学公式大全：排列组合与概率计算公式一、排列组合1. 排列公式排列是指从一个有限元素集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法。
当从n个不同元素中选取r个元素进行排列时，排列数可以用以下公式表示：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的总数，n!表示n的阶乘。
2. 组合公式组合是指从一个有限元素集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合的方法。
当从n个不同元素中选取r个元素进行组合时，组合数可以用以下公式表示：C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!]其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的总数。
二、概率计算1. 概率公式概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
一般用P(A)表示事件A的概率。
当事件 A、B 互斥且独立时，可以使用以下概率公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)其中，P(A ∪ B)表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
2. 条件概率公式条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
可以使用以下条件概率公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B)表示事件 B 发生的概率。
3. 乘法定理乘法定理是指在一系列独立事件中，它们同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。
可以使用以下乘法定理计算：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
4. 加法定理加法定理是指当两个事件互斥时，它们其中一个事件发生的概率等于两个事件发生概率的和。
排列组合公式
排列组合公式
排列A（和顺序有关）
组合C（和顺序无关）
1、排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
用符号A(n,m)或A m
n
A(n,m)=A m
n =
!
m
-n
!n
）
（
（规定0!=1）
2、组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号C(n,m)或C m
n
C(n,m)=C m
n =
!m
)
m
,n(
A=
!m
)
m
-n(
!n
⨯
！
=
()
[]()!m-n
!
m
-n
-n
!n
⨯
= C(n,n-m)。
排列组合公式
排列组合公式排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列组合公式：排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m。
排列组合二项式
0 2 4 C n + C n + C n + L = 2 n−1
11、a + b ) n 展开式偶数项二项式系 数之和： ( 数之和：
1 3 5 C n + C n + C n + L = 2 n −1
12、二项式展开式系数问 题常用赋值法
Tr + 1 ≥ Tr + 2 13、二项式展开式系数最 大值： 大值： Tr + 1 ≥ Tr
10
(4)(1 + x ) + (1 + x ) 2 + (1 + x ) 3 + L + (1 + x ) 6 展开式中含 x 2 项 的系数 ___ 1 24 的展开式中， (5)在（ x + 3 ) 的展开式中，常数项有 __ 项，整式项有 x __ 项，有理项有 __ 项 (6)( x 2 + x − 1)9 ( 2 x + 1) 4 的展开式中所有 x的奇次项系数之和 为 _______ （7 ( x + 1) 2 ( x − 1) 5 展开式中 x 4的系数是 ____ ）
6、二项式展开式： 二项式展开式：
0 1 2 n ( a + b ) n = C n a n b 0 + C n a n −1b 1 + C n a n − 2b 2 + L + C n a 0 b n
排列组合公式举例
排列组合公式是数学中的基本公式之一，用于计算在一定条件下，不同元素的不同组合数。
以下是排列组合公式的举例说明：
1、排列公式P(n,r)：表示从n个不同元素中取出r个元素进行排列，有多少种不同的排列方式。
举例：
•P(5,3)：从5只猫中选出3只猫排成一排，有多少种不同的排列方式？
根据排列公式P(n,r) = n!/(n-r)!，P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5×4×3/(2×1) = 60种。
2、组合公式C(n,r)：表示从n个不同元素中取出r个元素进行组合，有多少种不同的组合方式。
举例：
•C(6,3)：从6只猫中选出3只猫组成一个团队，有多少种不同的组合方式？
根据组合公式C(n,r) = n!/(r!×(n-r)!)，C(6,3) = 6!/(3!×(6-3)!)= 6×5×4/(3×2×1) = 20种。
这些例子可以帮助理解排列组合公式的应用和计算方法。
需要注意的是，排列和组合是不同的概念，排列考虑了元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
排列组合技巧公式
排列组合技巧公式排列组合是数学中常见的一个概念，用于求解对象的不同组合方式。
在实际应用中，我们经常需要使用排列组合来求解各种场景下的问题，比如从一组元素中选择出若干个元素的组合数、计算某个事件的可能发生方式等。
在排列组合中，有很多公式和技巧可以帮助我们快速求解问题。
下面是一些常见的排列组合技巧及其相关公式：1. 排列计算公式：排列是指从一组元素中选择若干个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。
设有n个元素，需要选择r个元素进行排列，那么排列的总数可以使用以下公式计算：A(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
2. 组合计算公式：组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑元素的排列顺序。
设有n个元素，需要选择r个元素进行组合，那么组合的总数可以使用以下公式计算：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，r!表示r的阶乘。
3. 组合公式的推导：组合公式可以通过排列公式进行推导。
假设有n个元素，需要选择r个元素进行组合，那么可以先将n个元素进行排列，然后再除以r!，因为组合不考虑元素的排列顺序。
4. 二项式定理：二项式定理是指在(a+b)^n的展开式中，对于每一项的系数的计算规律。
二项式定理中的系数可以使用组合公式进行计算。
二项式定理的一般形式如下：(a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n5. 集合的幂集计算：集合的幂集是指一个集合的所有子集的集合。
设集合S有n个元素，那么集合S的幂集的大小为2^n个子集。
这可以使用排列计算公式得到。
6. 重复排列计算公式：重复排列是指从一组元素中选择若干个元素进行排列，并允许重复。
设有n个元素，需要选择r个元素进行重复排列，那么重复排列的总数可以使用以下公式计算：A(n, r) = n^r以上是一些常见的排列组合技巧和公式。
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排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个 D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种 解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6 在(x- )10的展开式中，x 6的系数是( )A.-27C 610B.27C 410C.-9C 610D.9C 410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种 D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
应选B.例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有( ).A.140种B.84种C.70种 D.35种解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.∴应选C.例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生当选的不同选法有( )A.27种B.48种C.21种D.24种解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：∵C13·C1 7+C23=3×7+3=24，∴应选D.例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( ).A.210个B.300个C.464个D.600个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15·P 55=600个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半. ∴有×600=300个符合题设的六位数.应选B.例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( ).A.70个B.64个C.58个D.52个解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB1C1)的有4组.∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)应选C.例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( ).A.12对B.24对C.36对D.48对解：设正六棱锥为O—ABCDEF.任取一侧棱OA(C16)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.∴共有C16×4=24对异面直线.应选B.例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共个(以数字作答).解：7点中任取3个则有C37=35组.其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).∴三角形个数为35-3=32个.例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为。