概率论与数理统计试题与标准答案.docx

考试科目 ： 概率论与数理统计 考试时间 ：120 分钟 试卷总分 100 分

题号 一

二

三

四

总分

得分

1 2

3

4

5

6

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共

5 小

题，每小题 3 分，总计 15 分）

1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现 1 点的概率为（ A ）。

(A)1/3

(B)2/3

(C)1/6

(D)3/6

2．设随机变量的概率密度

f ( x)

Kx 2 x

1

，则 K=（ B ）。

0 x 1

(A)1/2

(B)1

(C)-1

(D)3/2

3．对于任意随机变量 , ，若 E(

) E( )E( ) ，则（ B ）。

(A) D ( ) D ( )D ( ) （B ） D (

) D ( ) D ( )

(C) , 一定独立

（ D ） , 不独立

5．设 ~ N (1.5,4) ，且 (1.25) 0.8944 ，

(1.75) 0.9599 ，则 P{-2< <4}=（ A ）。

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空题 （在每个小题填入一个正确答案， 填在题末的括号中， 本大题共 5 小题， 每小题 3 分，

总计 15 分）

1．设 A 、B 为互不相容的随机事件 P( A) 0.3, P(B) 0.6, 则 P( A B) （ ）。

2．设有 10 件产品，其中有 1 件次品，今从中任取出 1 件为次品的概率为（ 1/10 ）。

3．设随机变量 X 的概率密度 f ( x)

1, 0 x 1

则 P X

0.2 （ 8/10 ）。

0,

其它

4．设 D( )=9, D( )=16, 0.5 ，则 D(

)=（ 13 ）。

*5．设 y ~ N ( ,

2

) ，则

y

~ （ N(0,1) ）。

n

三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，总计 60 分）

1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的 25％， 35％，

40％，又这三条流水线的次品率分别为， ，。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到

次品的概率是多少

（1）全概率公式

3

25

5

35

4

40

2

分 P( A)

)

P(B i ) P( A B i )

100 100 100 100 100

(6 i 1

100

0.0345

(4 分 )

2．设连续型随机变量 X 的密度为

Ae 5 x , x 0 f ( x)

x 0.

0,

(1)确定常数 A

(2)求 P{ X

0.2}

(3)求分布函数 F(x).

（ 2）①

( x)dx

Ae 5 x

dx

1

A 1

(3分 )

0dx

5

故 A=5

。

② P (

0.2)

5 5 x

dx e

1

0.3679.

（ 3 分）

0.2

③当 x<0 时,F(x)=0;

（ 1 分）

当 x

x

x

5 x

dx

（2 分）

0 时， F (x)

( x)dx

dx5e

1 e 5 x

故

1 e 5 x , x

.

（1 分）

F ( x)

0 , x

6, 2

, 01

3．设二维随机变量（

, ）的分布密度

f ( , )

其它

0,

求关于 和关于 的边缘密度函数。

（3）

f x ( x)

x

x 2

f (x, y) dy

(2分）

6dy 6(x x 2

), 0 x 1 （3分）

其它

f y ( y)f ( x, y)dx

（2分）

y

y

6dx 6( y y), 0 y 1

（3分）

0 其它

x, 0 x 1

4．设连续型随即变量 的概率密度 f (x)

2 x,

1

x 2 ，

0,

其它

求 E(x),D(x)

（4） EX

x 2

dx

x( 2 x)dx

1

( 4

1)

1

(8 1) 1

（4 分）

1

2

1

3

3

1

2

(8 1

(16

7

（3 分）

EX

2

1 3

dx

2

x)dx

1)

1)

x x 2 ( 2

1

4 3

4

6

DX EX 2

( EX ) 2

7 1 1 （ 3 分）

6

6

四．证明题（本大题共

2 小题，总计

10 分）

2k 0 2k

2．设 { X k }(k 1,2, ) 是独立随机变量序列，且 X k ~

1

1

，

1

1

2k 1

2k

2k 1

2

2 2

试证 { X k } 服从大数定理。

(2) E( X k ) ( 2 k

)

1

10

(1 1

) 2

k

1 10

,

(2分 )

2

2 k 2 2 k

2

2 k

D ( X k ) E( X k 2 ) ( 2k ) 2

1

( 2k ) 2 1

1,

(k 1,2, ) . (2分 )

22 k 1

22 k

1

由切比雪夫大数定理可知 { X k } 服从大数定理。

（1 分）