2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案：第三单元 章末复习课

章末复习课

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核心归纳

1．函数的零点与方程的根的关系

函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值．

因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数．

2．函数零点的存在性定理

(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．

(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．

3．函数应用

(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键．

(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．

(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．

要点一 函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根的关系及应用

1．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．

2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

【例1】 (1)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2，x ≤0，

2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．

(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．

解析 (1)①当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝2或x ＝－ 2.因为x ≤0，所以x ＝－ 2.

②法一 (函数单调性法)当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x .

而f (1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f (1)·f (3)<0，又函数f (x )的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f (x )在(1,3)内至少有一个零点．而函数y ＝2x －6在(0，＋∞)上单调递增，y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增．

故函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)内有且只有1个零点．综上，函数f (x )共有2个零点． 法二 (数形结合法)当x >0时，由f (x )＝0，得2x －6＋ln x ＝0， 即ln x ＝6－2x .

如图，分别作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象．

显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当x >0时，f (x )＝0只有一个解．

综上，函数f (x )共有2个零点．

(2)由f (x )＝0得|2x －2|＝b ，在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|和y ＝b 的图象，如图所示，由图可知0

答案(1)2(2)(0,2)

【训练1】已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是()

A．此方程无实根

B．此方程有两个互异的负实根

C．此方程有两个异号实根

D．此方程仅有一个实根

解析由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c

＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为c

a <0，故关于t的方程只有一个实数根，故关于x的方程只有一个实数根．

答案 D

要点二二分法求方程的近似解(或函数的零点)

1．二分法求方程的近似解的步骤

(1)构造函数，转化为求函数的零点．

(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1)．

(3)利用二分法求函数的零点．

(4)归纳结论．

2．使用二分法的注意事项

(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小．

(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求．

(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得．

【例2】设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的．

先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.

所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，

结论x0

解f(0)＝－5，f(1)＝－1，

f(2)＝9，f(3)＝31，

所以初始区间为(1,2).

因为

所以x0≈1.125(不唯一)．

【训练2】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)()

A．1.2B．1.35C．1.43D．1.5

解析∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375,1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根．

答案 C

要点三函数的实际应用

1．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤

(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示．

(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．

(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．

2．建模的三个原则

(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．

(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．

(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．【例3】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：