从博弈论角度看古诺模型

博弈论的观点看古诺模型

罗思蕴

（华中师范大学数学与应用数学系，武汉430079）

摘要：运用博弈论的研究方法，对古诺模型的几种变式进行分析，给出模型解法的代数表达式，并对结果进行适当的对比分析，最后总结出不同模型对结论的改变情况。

关键词：古诺模型纳什均衡完全信息不完全信息静态博弈动态博弈

古诺模型（Cournot model）是博弈论中最具有代表性的模型之一，也是是纳什均衡最早的版本。它是法国经济学家古诺(Augustin Cournot)在1938年出版的《财富理论的数学原理研究》一书中最先提出的。而古诺的定义比纳什的定义早了一百多年，足以体现博弈论这样一个学科是深深扎根于经济学的土壤中的。从经济学的角度，它的研究价值在于古诺模型是介于两种极端状况完全竞争和垄断之间。

在古诺生活的时代，大多数市场都只有少数的厂商经营，所以这个模型在当时是极具现实意义的。随着时间的推移，古诺模型也演变出了各种不同的版本。如果从博弈论的角度分析，有四种情况极具代表性：完全信息静态博弈的古诺模型、不完全信息静态博弈的古诺模型、完全且完美信息动态博弈的古诺模型、无限次重复博弈的古诺模型。

1 经典古诺模型

古诺模型最初的形态是来自于经济学的。在经济学中，寡头的概念是指那种在某一产业只有少数几个卖者的市场组织形式。古诺模型对寡头具有如下的基本假设。一，假定一个产业只有两个寡头，每个寡头生产同质产品，并追求利润最大化。二，两个寡头之间进行的是产量的竞争而不是价格竞争，且产品的价格依赖于两者生产的产品总量。三，寡头之间无勾结行为。四，每个生产者都把对方的产出水平视为定值。五，边际成本为常数。

在经典的古诺模型中，每个企业具有相同的不变单位成本：

(),1,2

==

C q cq i

i i i

需求函数为：

()12=-+P a q q

第i 个企业的利润为：

()()[]()1212,,1,2π=-+-=i i i i q q q a q q C q i

最优化的一阶条件为：

()112110π∂=-+--=∂a q q q c q

()212220π∂=-+--=∂a q q q c q

反应函数为：

()()*112212==--q R q a q c ()()*221112==--q R q a q c

解得纳什均衡为： ()**1213==-q q a c

每个公司的利润为： ()()()2**112219ππ==

-q q a c 古诺模型是在假定寡头具有完全信息的基础上导出的。在这一均衡中，每个寡头都可以准确猜测对手的产量，从而选择自己的最大产出。

最重要的是，古诺均衡解在寡头无勾结的假定下求出的。如果考虑寡头之间相互勾结而达到均衡的情况，那么经过计算可以得到实际产出水平与实际价格上等于完全垄断条件下达到的产量与价格。更广泛的，考虑无勾结寡头市场、垄断市场、自由市场，可以得到：无论是产量还是价格，无勾结寡头市场都是处于中间的位置。也就是说，如果寡头市场不存在勾结的行为，其效率高于完全垄断，低于完全竞争。

2 博弈分类下的两种古诺模型

2.1不完全信息静态博弈的古诺模型

完全信息静态博弈的古诺模型即经济学中最经典的形式，它假设了厂商相互完全了解对方的产量和成本,而市场价格又是统一的,因此,博弈双方的得益情况是共同知识,没有任何秘密。

然而，在现实经济中无论是相互竞争的厂商亦或是相互信任的厂商之间，为了各自的利益往往都会将自己生产销售的有关情况作为商业秘密加以保密（这样做是否能达到最大利益还有待商榷），其他厂商很难了解真实情况。因此，完全信息静态博弈的古诺模型的假设可能与现实情况并不完全一致，现实的寡头市场产量博弈模型中各博弈方的得益根本不可能是共同知识。例如在两厂商模型中,只要一个厂商对另一个厂商的生产成本不清楚，则前一个厂商就不可能完全清楚另一个厂商在各种双方产量组合下的得益，前一个厂商就不可能是完全信息。所以，有必要讨论不完全信息静态博弈古诺模型。

先假定厂商1的平均成本C1是共同知识，而厂商2的平均成本有两种类型：高成本C2H或低成本C2L；厂商2知道自己是哪种成本，而厂商1不知道,C2= C2H 的概率为θ，C2= C2L的概率为(1-θ)。

由已知条件可求得:

μ2= q2(a- q1- q2)-C2H q2

或μ2= q2(a-q1-q2)-C2L q2

为了利润最大化,对上述两式求导且令导数等于0。得:

q2=(a-C2H-q1)/2

或q2=(a-C2L-q1)/2

也就是说,当C2为高成本时，厂商2的最优产量为

q2= (a-C2H-q1)/2;

当C2为低成本时，厂商2的最优产量为

q2= (a-C2L-q1)/2

即厂商2的产量不仅依赖厂商1的产量，还依赖于自己的成本类型。由于厂商1不知道厂商2的真实类型，从而不知道厂商2的最优产量，因此，厂商1的期望利润为:

Eμ1= q1(1-q1- q2H)θ+[q1(1- q1- q2L)](1-θ)

(E μ1)'=0,

得：

q 1= [1- q 2L (q 2L - q 2H )θ]/2。

这里值得质疑的是：是不是公司所有的信息都是不公布为好？答案是否定的。在不完全信息静态博弈下的古诺模型中，就有最好的证明。经过简单的计算可以发现，如果本公司的成本更低是应该告诉对方的，这样根据两个公司产量的函数表达，对方公司的产量应该下降，而本公司增加产量，这样就可以达到利润最大化。但是实际生活中还有这样一种情况不能忽视，即一旦低成本的公司公布了自己的成本，那么没有公布成本的公司为自动被认为是高成本的，那么为了避免被误认为是高成本的公司，那么一些高成本的公司也不得不公布自己的成本，这样一来，市面上的公司成本都得到了公布，那么古诺模型又会回到原来最经典的样子。所以事实证明，缺少信息也是一种信息，当然前提是信息需要被核实。

2.2完全且完美信息动态博弈的古诺模型

经典古诺模型中讨论的寡头还需要有较强的均衡性，也就是说寡头之间有能力相互抗衡。这样，即使自己公司由于某种原因偏离最佳方向，依然可以承担一切后果。

不过，现实生活中还有这样一种情况，那就是两个寡头之间有一方较强。那么他们的产量决策是由较强的一方先进行选择，而较弱的一方则根据较强的一方的产量决定自己的产量。由于这两个厂商的选择不仅有先后之分，而且后选择的厂商在选择时知道前一个厂商的选择，因而是一个动态博弈的问题。

设模型中的两个寡头，分别为厂商 1 和厂商 2，他们的策略空间都是[0，Q max ]中的所有实数 ，其中 Q max 可看作不至于使价格降到亏本的最大限度的产量； 厂商 1 是领头厂商，因此他先选择，厂商 2 追随其后；设价格函数为P=P (Q)=a-Q ，(其中 Q=q1+q2)， 两厂商的边际生产成本为c 1，c 2，且没有固定成本。由以上假设，得出两厂商的得益函数为：

22122222222

121111111)()()()(q

q q q c a q c Q P q q q q q c a q c Q P q ---=-=---=-=ππ

根据逆推归纳法，先分析第二阶段厂商2的决策。