大物(2)期末复习

练习一静电场中的导体

二、计算题

1.已知某静电场在xy 平面内的电势函数为 UnCx/^+y 2)3/2,其中C 为常数•求(1)x

轴上任意一点,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方 向•

解：•

E x =

U/ x

=C[1/(x 2+y 2)3/2+x( 3/2)2x/(x 2+y 2)5/2]

=(2x 2 y 2)C /(x 2+y 2)5/2

E y =

U/ y

=Cx( 3/2)2 y/(x 2+ y 2)5/2=3Cxy/(x 2+ y 2)5/2

x 轴上点(y=0)

E x = 2Cx 2/x 5= 2C/x 3 E y = 0 E = 2Ci/x 3

y 轴上点(x=0)

E x = Cy 2/y 5= C/y 3 E y =0 E= Ci/y 3

2 .如图5.6, 一导体球壳A(内外半径分别为 R 2,R 3),同心地罩在一接地导体球

B(半径为R i )

上，今给A 球带负电Q,求B 球所带电荷Q B 及的A 球的电势U A .

静电场中的导体答案 解：2. B 球接地，有 U B =U =0,

U A =U BA U A =( Q+Q B )/(4

0R 3)

U BA =[Q B /(4 o )](1/R 2 1/R 1)

得

Q

B =QR 1R 2/( R 1R 2+ R 2R 3 R 1R 3)

U A =[Q/(4 O R 3)][ 1+R 1R 2/( R 1R 2+R 2R 3 R 1R 3)]

=Q(R ? R 1)/[4 0(R 1R 2+ R 2R 3 R 1R 3)]

练习二静电场中的电介质

二、计算题

(2)两板间的电势差 V=U A — U B .

解：1.在A 板体内取一点A, B 板体内取一点B,它们的电场强度是四

1.如图6.6所示，面积均为S=0.1m 2的两金属平板 A,B 平行对称放

置,间距为d=1mm,今给A, B 两板分别带电

Q 1=3.54 X 10「9

C, Q 2=1.77

X 10「9C.忽略边缘效应

求：(1)两板共四个表面的面电荷密度

A Q 1

1

2

B Q 2

3

4

1, 2, 3, 4；

图6.6

图5.6

Q

个表面的电荷产生的，应为零，有

E A = E A =

而

S(什 2)=Q l

S( 3+

有 1 2 3

4=0 1/(2 o ) 2/(2 o ) 3/(2 o ) 4/(2 0)=0 1/(2 o )+ 2/(2 o )+ 3/(2 o ) 4/(2 0)=0

4)=Q 2

1+ 2+ 3 4=0

1+ 2=Q 1 /S 3+ 4=Q 2/S

解得 1= 4=(Q 1+Q 2)/(2S)=2.66 10 8

C/m 2

2=

3=(Q 1 Q 2)/(2S)=0.89 10 8

C/m 2

两板间的场强 E= 2/ 0=(Q 1 Q 2)/(2 0S)

B

V=U A — U B E dl

A

=Ed= (Q 1 Q 2)d/(2 o S)=1000V

四、证明题

1.如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平 衡后，导体表面出现正、 负感应电荷•试

用静电场的环路定理 证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上 的负感应电荷的电场线不能存在 •

解：1.设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感 应电荷的电场线.沿电场线ACB 作环路ACBA,导体内直线BA 的场强为零,ACB 的电场与环路同向于是有

A

E dl E dl E 2 dl = E dl 0

l

ACB

B

2

ACB

与静电场的环路定理 ；E dl 0相违背，故在

同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场 线.

练习三电容静电场的能量

二、计算题

1. 半径为R 1的导体球带电Q ，球外一层半径为 R 2相对电容率 为r

的同心均匀介质球壳，其余全部空间为空气.如图7.1 所示. 求:(1)离球心距离为r 1(r 1＜R 1), r 2(R 1＜门＜R 2),「3(门〉R 2)处的D 和E ; (2)离球心门，r 2, r 3,处的U ; (3)介质球壳内外表面的极化电荷 .

解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称 ，电场也球对称，过场点作与 金属球同心的球形高斯面，有

导体

图6.7

B

图7.1

■S D dS q oi

2

4 r D= q oi 当r=5cm

得D2=Q/(4 r2)=3.54 X 10 8C/m2

E2=Q/(4 o r r2)=7.99 1O3N/C

当r=25cm(r>R1+d ) q0i=Q= 1.0 10 8C

得D3=Q/(4 r2)=1.27 X 10 8C/m2

E3=Q /(4 0r2)=1.44 104N/C

D和E的方向沿径向.

(2)当r= 5cm

r

R R d

E1dr r

E2dr E3dr R 2Rd 3

=Q/(4 0 r R) Q/[4 0 r(R+d)]+Q/[4 0(R+d)]

=540V

r= 15cm

U2= E dl

r R d

E2dr E3dr

=Q/ (4 0 r r) Q/[4 0 r(R+d)]+Q/[4 0(R+d)]

=480V 当r= 25cm

U3= r E dl r E3dr =Q/ (4 0r)=360V

(3)在介质的内外表面存在极化电荷，

P e= 0 E= 0( r 1)E = P e n

r=R处，介质表面法线指向球心

=P e n =P e COS = 0( r 1)E

q = S= 0( r 1) [Q/(4 0 r R2)]4 R2

=(r 1)Q/ r= 0.8 X0 8C

r=R+d处，介质表面法线向外

=P e n =P e cOS0= 0( r 1)E

q= S= 0( r 1)[Q/(4 0 r(R+d)2]4 (R+d)2

=(r 1)Q/ r=0.8 X0 8C

2•两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm,分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势•计算变为等势体的过程中，静电力所作的功•解;2•球形电容器C=4 0R

Q1=C1V1= 4 0RV1 Q2=C2V2= 4 0RV2

W0=C1V12/2+ C2V22/2=2 0R (V12+V22)

C=C 什C2=8 0R

两导体相连后