7.4 课题学习 镶嵌 课件2--

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用同一种正多边形镶嵌平面 的条件是:正多边形的内角度数 的整数倍恰好是360°.符合要 求的正多边形只有正三角形、 正方形和正六边形三种。
用几种多边形进行镶嵌，称 多边形的组合镶嵌，此时要求拼 接在同一点的各个多边形的内角 和为360°。
如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形 只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？
任意三角形和任意四边形 可以进行平面镶嵌,但若想实现 连续铺设，还应将相等的边重 合在一起。
想一想
如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌, 你又会选择哪两种呢?
解：设每个顶点周围有x个正三角形 和y个正四边形, 则: 60 °x+90 °y=360 ° 即: 2x+3y=12 又x、y是正整数, 解得:x=3,y=2. 即每个顶点处用正三角形的三个 内角,正方形的两个内角进行拼接.
或 n 1 n 2
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
两种正多边形拼接在Biblioteka Baidu一点
的各个角的和恰好等于360°,这
两种正多边形就能镶嵌.
请你来当设计师
你能用三种边长相等的正多边形设计
一个图案吗？试试吧!
正三角形与正方形、 正六边形的平面镶 嵌
思考:仅限于同一种正多边形镶嵌, 还能找到能镶嵌的其他正多边形吗?
假设正多边形的边数为n,由K个正多边形恰好 可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的K个正 多边形的K个内角和应等于360°, 而正n边形的每个内角的度数为 ( n 2) 180 ,
n
所以,可得方程 K (n 2) 180 360 整理,得 所以
结果 能镶嵌 0 0 60 ×6=360 能镶嵌 0 90 ×4=360
0
实 验 结 果
n = 3
60
0
6
n = 4
90
0
4
n = 6
120
0
3
能镶嵌 0 0 120 ×3=360 不能镶嵌 有空隙 108°×3<360° 不能镶嵌 有重叠 0 0 108 ×4＞360
3 n =5 108
0
4
规律:当正多边形的一个内角度数的整数倍是360 ° 时， 这种正多边形就能镶嵌.
资料1：石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石 子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花 石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子 路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成， 是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极 为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌， 内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古 等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对 刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、 构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。
镶嵌之父
无论这个问题从属于数学领域还是从属于 艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。 ——M.C.埃舍尔
M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”，
着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作
品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形
象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊
称他为“镶嵌之父”。
。
(2)正三角形与正六边形 正三角形的每个内角是60°,正六边形的每个内角 是120°,对于某个拼结点处,设有x个60°角,有y个 120°角,即: 60x+120y=360 即:x+2y=6 又x、y是正整数, x 4 x 2 解得: 或
资料3：镶嵌画材料来源十分丰富，有天然彩石、卵石 、贝壳、螺钿、宝石、玉石和人造的玻璃料器、陶瓷、 有机玻璃、金属和木料等。镶嵌方法有直接镶嵌法、预 制法、反贴反上法、正贴正上法。除平面镶嵌外，也可 以在浮雕上进行镶嵌，后者更能增强壁画的力度。 中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格。这 些镶嵌艺术大多出现在工艺品上，如殷商时代的铜器曾 有错金和错金嵌玉的装饰纹样出现。镶嵌画虽较少，仍 可以从帝王御花园的甬道和民间的建筑中发现用卵石镶 嵌地面和墙面的镶嵌装饰画面。当代中国艺术家也开始 重视运用这种艺术形式，在一些重要建筑物的室内外创 作了一些镶嵌画。
这些图形拼成 一个平面图案 的共同特征是 什么？
平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面 的一部分完全覆盖,叫做多边形覆盖 平面(或平面镶嵌).
拼一拼 选一选
小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形, 正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以 供他选择?
正n边形
拼图
每个内角度数 多边形个数
1 1 1 1 + + = n t m 2
小结
1、平面镶嵌的定义. 2、正多边形平面镶嵌的条件. 3、关注身边的数学,关注数学中的美.
资料
埃舍尔（M.C.ESCHER1898－1972）荷兰现代版画艺术家。他 是一个将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。
欣 赏
埃 舍 尔 的 作 品
长方形(矩形)可以任 意镶嵌,并且不同颜色组 合,可以有不同的视觉效 果.
正三角形和正方形 的平面镶嵌
正多边形
拼
图
正三角形和 正六边形
2×60°+ 2×120°=360° 4×60°+ 1×120°=360° m×60°+ n×120°=360°
解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形, 60 °m+120 °n=360 °, 即:m+2n=6 m 2 又m、n是正整数,解得: m 4 即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用 两个正三角形和两个正六边形.
即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用
y 1 y 2
两个正三角形和两个正六边形.
资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给 出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰 已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
n K(n-2)=2n,
因为K,n为正整数,故n只能等于3、4、6.
4 K 2 n2
这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有 三种选择:正三角形,正方形和正六边形.
问题：小明的爸爸在装修过程 中用一些边角余料切割成一些形状、 大小完全相同的任意三角形，他用 这些三角形能进行地板镶嵌吗？那 么任意四边形能不能呢？
正十二边形 与正方形、 正六边形的 平面镶嵌
如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，
要求：在每个顶点处，每种正多边形只 能有一个。那么边数满足什么条件？
解：设正多边形的边数分别为m 、 n 、 t
(m−2)180° (n−2)180° (t−2)180° + + =360° m n t 1 + 1 + 1 ）= 2 3 − 2（ m n t
正多边形
拼
图
正三角形和 正四边形
３×60°+ 2×90°=360°
资料2：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的 美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其 色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性 而得以在世界上绵延流传。公元1～4世纪，镶嵌画得到 很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推 崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无 论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的 《伊苏之战》、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中 的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品， 在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画 传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了 这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。 墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大 和新颖的技艺而著称。