重庆大学2013-2014学年(上)数理统计试题及答案

重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（A ）课程试卷

2013-2014学年第一学期（秋）

请保留四位小数，部分下侧分位数为：0.95 1.65u =，0.99 2.33u =，2

0.95(1) 3.841χ=，

0.95(3,6)9.78f =

一、（18分）设1X ，2X ，…，64X 是来自总体N （0，2

σ）的样本，X ，2

S 分别是样本

均值和样本方差：（1）求参数c 满足{}0.1P X S c >⋅=；（2）求概率22

12

22

34

{1}X X P X X +>+；(3)求322321(2)i i i D X X X +=⎡⎤

+-⎢⎥⎣⎦

∑。(请写出计算过程)

解：（1

）

~(1)t n

-{}}0.1P X S c P c ∴>⋅=>=

得0.95(63)c t = 故 1.650.20638c ==

（2）2

~(0,)X N σ22212(/)(/)~(2)X X σσχ∴+ 同理22234(/)(/)~(2)X X σσχ+

2222223412122234(/)(/)(/)(/)/~(2,2)22X X X X X X F X X σσσσ+++∴=+ 22

122234{1}{(2,2)1}X X P P F X X +>=>+ 且0.50.50.51(2,2)(2,2)1(2,2)F F F =⇒= 得2222

1212

2222

3434{1}1{1}0.5X X X X P P X X X X ++>=-≤=++ (3)令2

~(2,2)i i n i Y X X N μσ+=+，112n i i Y Y X n ===∑ 22

1

()(1)n

i Y i T Y Y n S =∴=-=-∑

3232

223211(2)[()]i i i i i D X X X DT D Y Y +==⎡⎤+-==-⎢⎥⎣⎦

∑∑

2~(0,2(11/))i Y Y N n σ-+

~(0,1)

Y N

=32

22422421

[2(11/)

4(11/)((32))256(11/32)i Y D n n D σσχσ=+=+=+∑

二、（26分）设1X ，2X ，…，n X 是来自总体2

~(2,)(0)X N σσ>的样本，

{}0.95P X A <=。（1）求参数2(2)b A =-的矩估计量1ˆb ；（2）求参数b 的最大似然估计量2ˆb ，并评价2

ˆb 的无偏性、有效性、相合性；（3）求参数b 的置信度是1α-的置信区间。（4）试确定检验问题：00100:,:(0)H b b H b b b =≠>的检验统计量和拒绝域。 解：

22

~(2,)~(0,1)X X N N σσ

-∴

2

2

0.95{}{

}X A P X A P σ

σ

--=<=<

0.952

A u σ

-∴

= 即0.952A u σ=+ （1）222

0.95(2)b A u σ=-= 且22()EX EX DX =+

2

221111ˆ44n n i i i i X X n n σσ===+=∴=-∑∑2210.951

1ˆ(4)n

i i b X u n =∴=-∑

(2) 0.952A u σ-=

=0.95σ=

222

0.95

(2)(2)22()x x u b

f x σ----

==

建立似然

函数22

0.95

1(2)22

2

0.95

()(2)n

i i x u n n

n b

L b u

b e

π=----∑= 220.950.951

ln ()ln(2)ln ln (2)222n i i u n n

L b n u b x b π==-+---∑ 2

22

0.951

0.952

2

1

(2)

ln ()1(2)()222n

i

i n

i i i x u

d L b n n x u b db b b

b

n

===-=-⋅+-=-∑∑ 2220.95

1

1ˆ(2)n

i i b x u n ==-∑ 无偏性：2222220.950.9520.951

ˆ()((2))n i i u u E b E x n u b n n σσ==-=⋅==∑∴2ˆb 是参数b 的无偏估计。 有效性：

2

2

1

0.95

22

(2)

ln ()()()22n

i

i x d L b n n

u b c b db b

n

b =-=-=

∑且仅是b 的函数； 又220.9521

ˆ()((2))n i i u E b E x b n ==-=∑ ∴2ˆb 是b 的有效估计量。 相合性：因为22

0.951

((2))n

i i u T E x n ==-∑，'()1g b =，所以''22()()1()2(),2()c b g b g b b I b DT n b c b n ====

2

22ˆ()0()b DT D b n n

==→→∞ 故2

ˆT b =是b 的相合估计量。 （3）220.95b u σ=b ∴的置信度是1α-的置信区间既是2

σ的置信度1α-的置信区间。因

均值μ已知设样本方差为2S ，得2

σ置信度为1α-的置信区间