第二章-6-非线性系统线性化

2
线性化
线性化：为什么？如何？
¾ 大多数物理系统本质上都是非线性系统，如
1) 高度非线性
(Titration Curve)
滴定曲线
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Ratio of ReagenБайду номын сангаас to Influent Flow
θ=−
g sin(θ) + l
1 ml 2
u
=−g l
f (θ) +
1 ml 2
u
??
9
线性化
非线性方程的线性化
¾ 几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小 的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很 大误差的。方程式一经线性化，就可以应用线性迭加原理。
¾ 研究非线性系统在某一工作点
ϕ = ϕ0 + L ' f Δif
或 Δϕ = ϕ − ϕ0 = L ' f Δif
在平衡点附近，经过线性化处理 （忽略偏移量的高次项）后，原方 程的偏移量间已经具有线性关系了。 偏移愈小，这个关系愈准确。
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线性化
非线性方程的线性化方法:例题
¾ 磁场控制的直流电动机。电枢电压ua为常值，输出为w ，控制 输入为uf 。研究它的小偏差过程，例如控制输入uf改变一个微 量Δuf引起的变化过程。
理系统及相应的物理规律，包括：电气、机械、 热力、液位等 ¾ 介绍了矩阵、状态、传递函数、方块图等基本 概念 ¾ 介绍了线性化概念及方法
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第二章总结
¾ 输入输出变量 ¾ 方程的阶——储能元件 ¾ 输入输出模型的一般形式 ¾ 状态空间方程 ¾ 问题：各种模型之间的关系是如何的？
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第二章总结
各种模型之间的关系
定子
输入 ec
J
d (ω0 + dt
Δω)
=
(T0
+
ΔT )
−
B(ω0
+
Δω)
(3)
其中，J 是转动惯量
输出 ω
∵ T0 − Bω0 = 0
从方程(3)中消去稳态项，于是可以得到 交流伺服电机的动态模型
定子
参考磁场
图2.28 (a) 注意方程 (1)
J dΔω = ΔT − BΔω dt
= f (ec ,ω) − BΔω − T0
9 微分方程
LT
(LT)-1
9 传递函数（拉普拉斯形式） ?
9 状态方程
???
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控制科学与工程学系
自动控制理论
第二章 系统方程列写 ——建模
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第二章要点
9 引言 9 电路及组成 9 线性代数与状态的基本概念 9 传递函数及方块图 9 机械传递系统 9 相似电路 9 其他的数学建模实例
9 机械旋转系统 9 热力系统 9 液位系统 9 ……
9 系统传递函数的计算 9 非线性系统的线性化
Δϕ
(
dϕ
di f
)0
,(
d2ϕ
di
2 f
)0
,
…
为原平衡点处的一阶、 二阶、…导数.
Δϕ
Δif =if - if 0
Δif
Δif
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线性化
非线性方程的线性化方法
忽略泰勒级数右端第三项及其以后的各项
ϕ
= ϕ0
+
(
dϕ
di f
)0
Δi
f
+
1 2!
(
d2ϕ
di
2 f
)0
(Δi
f
)2
+
+
1 (dnϕ
n!
1 ml 2
u
¾ 利用线性化方法，可以得到钟摆动态方程为
f
(θ)
≈
f
(θ0 ) +
df dθ
(θ − θ0 )
θ0 =0
⇔ sin(θ)
≈ 0 + cos(0)θ ⇔
sin(θ) ≈ θ
θ≈−gθ+ 1 u l ml 2
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非线性系统 例2：钟摆
M := 200gm
g := 9.8 m
s2
( ) T0 := M⋅g⋅L⋅sin θ0
T = f (ec ,ω) (1)
从方程 (1)可得
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
显然，交流伺服电机的动态模型是非线性的。
J
dΔω dt
= ΔT
− BΔω =
f (ec ,ω) − BΔω − T0
定子
输入 ec
输出 ω
定子 参考磁场
图2.28 (a)
?
¾ 利用线性化处理来近似描述 系统的非线性特性，也许可 以得到足够的分析精度。
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小结
线性化
¾ 要建立整个系统的线性化微分方程式， 1. 首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点； 2. 然后列出各元件在工作点附近的偏移量方程式，消
去中间变量； 3. 最后得到整个系统以偏移量表示的线性化方程式。
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第二章总结
¾ 首先，介绍了建模的基本概念及重要性 ¾ 为了列写微分方程及状态方程，介绍了一些物
di
n f
)0
(Δi f
)n
+
Rn+1
Δϕ
Δϕ
Δif
Δif
ϕ
=
ϕ0
+
dϕ
( di f
)0
Δi f
原平衡点是已知的，故是可以从 左图的曲线求得
dϕ
( di f
)0
=
tanα
=
L'f
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线性化
非线性方程的线性化方法
dϕ
( di f
)0
=
tanα
=
L'f
Δϕ
Δϕ
Δif
Δif
式中的L’f为常值，在不同平衡点有不同的值。 因此该式可写为：
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
¾ 线性化：在工作点（这里是原点）附近，利用泰勒级数展开将非 线性函数 T 进行线性化，并保留线性项，可以得到
定子
输入 ec
输出 ω
定子 参考磁场
图2.28 (a)
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线性化
非线性系统 例2：钟摆
l mg
¾ 列写钟摆的动态方程
输入 u
u
θ 输出
ml 2 θ = u − mgl sin( θ)
∵J
dΔω dt
= ΔT
− BΔω =
f (ec ,ω) − BΔω − T0
T = f (ec ,ω)
泰勒级数展开
T
= T0
ec =ec0 ω=ω0
+
∂f ∂ec
Δec
ec =ec0 ω=ω0
+
∂f
Δω
∂ω ec =ec0
ω=ω0
ec
= T0 + KcΔec + KωΔω
参考磁场
于是
J
dΔω dt
L := 100cm
T1(θ) := M⋅g⋅L⋅sin(θ)
( ) ( ) T2(θ) := M⋅g⋅L⋅cos θ0 ⋅ θ − θ0 + T0
θ0 := 0rad
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线性化
θ := −π, −15π .. π 16
5 T 1( θ )
0 T 2( θ )
5
10
4
3
2
1
0
1
2
3
4
θ
Students are encouraged to investigate linear approximation accuracy for different values of θ0
（平衡点）附近的性能，（如
图所示，(if0，ϕ0)为平衡点，受 Δ ϕ 到扰动后，if (t)偏离if0，产生 Δif (t)，Δif (t)的变化过程，表 Δ ϕ 征系统在平衡点附近的性能）。
非线性特性的线性化，实质上 就是以平衡点附近的直线代替
Δif
Δif
平衡点附近的曲线。
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线性化
非线性方程的线性化方法
(1) 对激磁电路有：
Rf if
+
dϕ
dt
=u
f
(2) 找出中间变量ϕ与其它变量的关系，同时线性化。
小偏差过程可用以下办法使之线性化。
如前所述，设在平衡点的邻域内， ϕ 对if的各阶导数（直至n+1） 是存在的，它可展成泰勒级数。
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线性化
非线性方程的线性化方法:例题
¾ 经线性化后，得到激磁回路偏移量间的线性关系，动态电感L’f 为常值，但在不同平衡点有不同的值 。
(2)
4
线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
Stator(定子)
输入 ec
输出 ω
对于非线性系统（见图2.28 (b)）， 转矩-速度平衡方程为
T − Bω = 0
(2)
Stator(定子)
图2.28 (a)
参考磁场 转 矩
伺服电机特性
速度
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
¾ 当出现小变动时，系统平衡方程将变成
（反应物）
c(t) = r 2 (t) 2)
Q (t) = αf h(t) ¾ 通常利用一般的非线
性微分方程描述非线 性系统
x = f (x,u)
3
线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
¾ 交流伺服电机如图2.28所示。由图(b)可以看出，转矩-速 度曲线不是直线。因此无法利用线性微分方程来确切地 描述电机特性。
+ dϕ0
dt
= uf0
两式相减激磁回路偏移量微分方程式： Rf Δi f
+ L'f
dΔi f dt
= Δu f
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线性化
非线性方程的线性化方法:例题
上面得到的激磁回路偏移量微分方程式：
Rf Δif
+ L'f
dΔi f dt
= Δu f
在熟练后通常可直接对原方程式两边取增量求得，从而简化推导过程。
Stator(定子)
输出 ω ¾ 根据交流伺服电机的平衡方程，有
输入 ec
Stator(定子) 参考磁场
图2.28 (a)
考虑线性关系
T = J d 2θ + b dθ (1‘)
dt 2
dt
T = f (ec ,ω)
(1)
对于非线性系统（见图2.28 (b)），转 矩-速度平衡方程为
T − Bω = 0
+ (B − K ω )Δω =
K cΔec
或
J
dω dt
+ (B − K ω )ω = K cec
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非线性系统 例2：钟摆
输入 u
u
¾ 列写钟摆的动态方程
l
ml 2 θ = u − mgl sin( θ)
θ 输出
线性化
mg
θ = − g sin(θ) + l
1 ml 2
u=−g l
f (θ) +
设非线性函数 ϕ = f (i f )
¾ 设在平衡点的邻域内， ϕ 对if的各阶导数（直至n+1）是存在的， 它可展成泰勒级数：
ϕ
= ϕ0
+
(
dϕ
di f
)0
Δi
f
+
1 2!
(
d2ϕ
di
2 f
)0
(Δi
f
)2
+
+
1 n!
(
dnϕ
di
n f
)0 (Δif
)n
+
Rn+1
式中 Rn+1为余项，ϕ0和 if0 为原平衡点,
若令
L' f Rf
=
T
' f
它为激磁回路动态时间常数，则有：
T
' f
dΔi f dt
+ Δif
=
1 Rf
Δu f
上式把原来的非线性数学模型，转化成了以偏移量表示的常系数线性 数学模型。在线性化过程中，只考虑了泰勒级数中的一次偏量，故该 式又称为一次线性化方程式。
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
Δϕ = ϕ − ϕ0 = L 'f Δif
(3)求以偏移量表示的微分方程式，即线性化方程式。将 uf = u f 0+Δu f ， ϕ = ϕ 0+L′fΔif ，if = if 0+Δif 代入原方程
得：
Rf
(i f
0
+
Δi f
)
+
d dt
(ϕ0
+
L' f
Δi f
)
=
uf
0
+
Δu
f
在平衡点
Rf if 0