最短距离法
聚类分析
聚类分析聚类分析又称群分析，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析内容非常丰富，按照分类对象的不同可分为样品分类（Q-型聚类分析）和指标或变量分类（R-型聚类分析）；按照分类方法可分为系统聚类法和快速聚类法。
1. 系统聚类分析先将n 个样品各自看成一类，然后规定样品之间的“距离”和类与类之间的距离。
选择距离最近的两类合并成一个新类，计算新类和其它类（各当前类）的距离，再将距离最近的两类合并。
这样，每次合并减少一类，直至所有的样品都归成一类为止。
系统聚类法直观易懂。
1.1系统聚类法的基本步骤：第一，计算n 个样品两两间的距离 ，记作D= 。
第二，构造n 个类，每个类只包含一个样品。
第三，合并距离最近的两类为一新类。
第四，计算新类与各当前类的距离。
第五，重复步骤3、4，合并距离最近的两类为新类，直到所有的类并为一类为止。
第六，画聚类谱系图。
第七，确定类的个数和类。
1.2 系统聚类方法：1.2.1最短距离法1.2.2最长距离法1.2.3中间距离法1.2.4重心法1.2.5类平均法1.2.6离差平方和法（Ward 法）上述6种方法归类的基本步骤一致，只是类与类之间的距离有不同的定义。
最常用的就是最短距离法。
1.3 最短距离法以下用ij d 表示样品i X 与j X 之间距离，用ij D 表示类i G 与j G 之间的距离。
定义类i G 与j G 之间的距离为两类最近样品的距离，即ij G G G G ij d D j J i i ∈∈=,min设类p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，则任一类k G 与r G 的距离是：ij G X G X kr d D j j i i ∈∈=,min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈∈∈∈ij G X G X ij G X G X d d q j k i p j k i ,,min ,min min {}kq kp D D ,min = 最短距离法聚类的步骤如下：ij d {}ij d（1）定义样品之间距离，计算样品两两距离，得一距离阵记为)0(D ，开始每个样品自成一类，显然这时ij ij d D =。
occ曲线曲面计算距离
occ曲线曲面计算距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：OCC曲线曲面计算距离是计算计算机辅助设计和制造中的一个关键技术。
在现实世界中，我们经常需要对曲线曲面进行距离计算，例如在工程设计、医学成像、动画制作等领域。
通过计算曲线曲面之间的距离，我们可以更准确地对物体进行建模和分析，从而得到更好的设计方案和更高的效率。
在计算机辅助设计和制造中，OCC（OpenCASCADE）是一个非常流行的开源几何建模库，可以用于处理曲线曲面的各种操作，包括距离计算。
OCC提供了一系列的API（应用程序编程接口），使我们可以方便地对曲线曲面进行距离计算。
在OCC中，曲线曲面之间的距离通常可以分为两种情况：一种是点与曲面之间的距离，另一种是曲线与曲面之间的距离。
下面我们将分别介绍这两种情况的距离计算方法。
我们来看点与曲面之间的距离计算。
对于一个点和一个曲面，我们需要计算这个点到曲面最近点的距离。
在OCC中，可以通过以下步骤实现：1. 我们需要定义一个点和一个曲面。
点可以用gp_Pnt类表示，曲面可以用Geom_Surface类表示。
2. 然后，我们可以使用BRep_Tool::ClosestPoint函数来计算点到曲面的最近点。
3. 通过计算点到最近点的距离，即可得到点与曲面之间的距离。
在许多应用中，我们不仅需要计算曲线曲面之间的最短距离，还需要考虑曲线曲面之间的一般距离。
这时候，我们可以使用一些近似算法来进行计算，例如最小二乘法、拟合算法等。
这些算法可以帮助我们更精确地计算曲线曲面之间的距离，从而得到更可靠的结果。
OCC曲线曲面计算距离是一个非常重要的技术，在计算机辅助设计和制造中有着广泛的应用。
通过合理使用OCC提供的API和算法，我们可以方便地计算曲线曲面之间的距离，从而更好地进行建模和分析。
在未来的发展中，我们可以期待OCC技术的进一步改进和应用，为实际工程和科学领域提供更多可能性。
【此处应使用其他平台或方法进行验证】。
点到曲线的最短距离公式拉格朗日
标题：深度解析：点到曲线的最短距离公式拉格朗日在数学问题中，求解点到曲线的最短距离是一个非常经典的问题。
而其中用到的最短距离公式与拉格朗日乘数法紧密相关。
本文将深入探讨这一问题，从简单到复杂，逐步解析点到曲线的最短距离公式，并结合拉格朗日乘数法，带您领略这一数学奥妙。
一、点到曲线的距离概念我们首先来理解一下点到曲线的距离概念。
假设有一条曲线C，以及平面上的一个点P(x0, y0)，我们希望求解这个点到曲线C的最短距离。
为了方便起见，我们将曲线C表示为函数形式y=f(x)，那么点P到曲线C的距离可以表示为d(x)=(x-x0)^2+(f(x)-y0)^2的开方。
二、最短距离公式的推导接下来，我们将通过数学推导来得出点到曲线的最短距离公式。
我们希望最小化距离函数d(x)，因此需要求解d(x)的极值点。
根据极值点的性质，我们知道极值点的导数为0。
对d(x)求导可得d'(x)=0，进而得出f'(x)*(f(x)-y0)+(x-x0)=0。
这是一个方程，我们可以通过求解这个方程来得到最短距离的点。
三、拉格朗日乘数法的应用当我们面对多个约束条件进行最优化时，拉格朗日乘数法就能够派上用场。
在点到曲线的最短距离求解中，我们有一个显而易见的约束条件，那就是点P的坐标(x0, y0)必须在曲线C上。
我们可以建立拉格朗日函数L(x, y, λ)=d^2(x)-λ(g(x, y)), 其中λ为拉格朗日乘数，g(x, y)=0为约束条件。
通过对L(x, y, λ)进行偏导数运算，我们可以得出极值点的方程组，进而求解出最短距离的点。
四、结合实例分析为了更好地理解点到曲线的最短距离公式和拉格朗日乘数法，我们来看一个具体的例子。
假设曲线C为y=x^2，点P为(1, 2)。
我们可以按照上述方法，首先求出距离函数d(x)，再求出极值点的方程，最后应用拉格朗日乘数法来求解。
通过计算，我们得出最短距离的点为(1, 1)。
谱系聚类法
系统聚类分析实例
对中国大陆31个省级区域第三产业综合发展水平 进行类型划分及差异性程度分析---
聚类指标选择
(选取如下7项指标 )
① y1—— 人均 GDP ，它反映了经济社会发展的总 体状况和一般水平；
② y2—— 人均第三产业增加值，它反映了人均服 务产品占有量或服务密度； ③ y3—— 第二产业增加值比重，它反映了工业化 水平和产业结构现代化程度；
G p x p , Gq xq 则将 G p 和 Gq 合并成一个新类，
(3) 计算新类 Gr 与任一类 Gk 之间距离的递推公 式
Drk min d ij min
iGr , jGk
iG p , jGk
min d ij , min d ij
iGq , jGk
xp1• xp2•
d pq
xq1• xq2• xq3•
Dpq Max dij：xi G p，xj Gq
xp2• xp1• xp3•
d pq
2、 最长距离(Furthest neighbor )
xq1• xq2• xq3•
3、 类平均距离(Between-groups linkage )
Gr Gp Gq 递推公式： Drk max Dpk , Dqk
最长距离法容易被异常值严重地扭曲，一 个有效的方法是将这些异常值单独拿出来后 再进行聚类。
例 设抽取五个样品，每个样品只有一个变量，它 们是 1 ， 2 ， 3.5 ， 7 ， 9 。用最长距离法对 5 个样品进 行分类。
6.2系统聚类法 (Hierarchical Clustering Method)
系统聚类法又称为谱系聚类法,是聚类分析
聚类分析
聚类分析专题§引言俗话说，“物以类聚，人以群分”，在自然科学和社会科学等各领域中，存在着大量的分类问题。
分类学是人类认识世界的基础科学，在古老的分类学中，人们主要靠经验和专业知识进行定性的分类，很少利用数学工具进行定量的分类。
随着人类科学技术的发展，对分类的要求越来越高，以致有时仅凭经验和专业知识难以确切地进行分类，于是人们逐渐地把数学工具引用到了分类学中，这便形成了数值分类学这一学科，之后又将多元分析的技术引入到数值分类学，便又从数值分类学中分离出一个重要分支──聚类分析。
与多元分析的其它分析方法相比，聚类分析方法较为粗糙，理论上还不够完善，正处于发展阶段。
但是，由于该方法应用方便，分类效果较好，因此越来越为人们所重视。
这些年来聚类分析的方法发展较快，内容越来越丰富。
判别分析与聚类分析都是研究事物分类的基本方法，它们有着不同的分类目的，彼此之间既有区别又有联系。
各种判别分析方法都要求对类有事先的了解，通常是每一类都有一个样本，据此得出判别函数和规则，进而可对其它新的样品属于哪一类作出判断。
对类的事先了解和确定常常可以通过聚类分析得到。
聚类分析的目的是把分类对象按一定规则分成若干类，这些类不是事先给定的，而是根据数据的特征确定的。
在同一类里的这些对象在某种意义上倾向于彼此相似，而在不同类里的对象倾向于不相似。
聚类分析能够用来概括数据而不只是为了寻找“自然的”或“实在的”分类。
例如，在选拔少年运动员时，对少年的身体形态、身体素质、生理功能的各种指标进行测试，据此对少年进行分类，分在同一类里的少年这些指标较为相近。
类确定好之后，可以根据各类的样本数据得出选材的判别规则，作为选材的依据。
又如，根据啤酒中含有的酒精成分、纳成分、所含的热量“卡路里”数值，可以对啤酒进行分类。
聚类分析根据分类对象不同分为Q型聚类分析和R型聚类分析。
Q型聚类分析是指对样品进行聚类，R型聚类分析是指对变量进行聚类。
本章我们主要讨论Q型聚类。
最短距离法
最短距离法最短距离法是最近年来在分类学习和数据挖掘领域中较为流行的一种机器学习方法。
它的目的是从训练数据集中学习，并形成一种可以从新观察中推断出未知数据的判断方法。
本文介绍了最短距离法的基本概念、原理及其应用，结合例子进一步剖析了这种机器学习方法的核心思想。
一、什么是最短距离法最短距离法（k-nearest neighbors algorithm, k-NN）是一种基本分类算法，它通过测量不同特征值之间的距离来确定实例标签（类别）。
它的工作思路是：先从训练集中找出与当前实例（测试数据）最相似的k个实例，然后统计这k个实例中属于每一类别的实例数目，最后把当前实例分类到实例数目最多的类别中。
最短距离法的计算过程可以概括为：给定一个由N个特征表示的实例X，首先求出它到训练集中每个实例的距离，然后取出距离最小的k个实例，统计这k个实例中各类别的实例数，把X分类到实例数最多的类别中。
二、最短距离法的原理最短距离法的思想是，给定一个实例X，将它与训练集中的实例进行对比，利用距离的大小（越小越相似，越大越不相似）来判断X 的类别。
即：“物以类聚，人以群分”的思想。
最短距离法主要有两种距离计算方式：欧几里得距离（Euclidean Distance）和曼哈顿距离（Manhattan Distance），两者的计算方式不同，欧几里得距离适用于连续型变量，曼哈顿距离适用于离散型变量。
三、最短距离法的应用最短距离法的应用是模式分析的一个重要的挖掘工具，其主要用于分类任务。
它可以用于赛车、机器人、运动视觉系统等多种应用中。
由于最短距离法的简单性和高效的计算，它也被广泛应用于对用户行为分析、文档分类、图像分类、文字处理、计算生物学研究和金融研究等领域。
四、例子分析下面以一个简单的例子来说明最短距离法实例分类的过程：假设我们有一组三维数据，其中存在两类，[A类：[10,20,30], [20,30,40], [30,40,50]]，[B类：[50,60,70], [60,70,80], [70,80,90]]，现有一个需要分类的新实例：[40,50,60]，我们使用最短距离法来确定其类别。
最短距离法
最短距离法最短距离法是一种由欧几里得提出的测量距离的方法，也叫做欧几里得距离法。
这种方法的原理是，在给定的空间中，从一个特定的点到另一个特定的点的最短距离是直线上的点到点之间的距离。
最短距离法被用于很多不同科学方面，其中包括路径规划、旅行商问题和其他统计学上定义的距离度量。
它也可以用在数字图像处理、机器学习和数据挖掘应用中，用于衡量某两个数据实例的相似度。
最短距离法也被用于地理学、市场营销和消费者心理学等多个领域，它能够体现地理特征，以及人们对产品细节的认知。
例如，最短距离法可以帮助研究者从离消费者最近的供应商处采购消耗品。
此外，最短距离法也被用于计算模拟以及机器人路径规划，当机器人面临着空间限制而需要从一个点到另一个点时，它可以帮助机器人找到最短的路径。
最短距离法的计算可以用数学表示。
它公式为：距离=（（x_2-x_1）^2+（y_2-y_1）^2）^1/2其中，x_1和x_2分别表示两点的横坐标，y_1和y_2分别表示两点的纵坐标。
最短距离法使用起来非常简单，但是在计算上却非常耗时。
在实现此法时，需要考虑到时间和空间来源，以及计算量。
因此，有时候很难找到合适的解决方案来使用最短距离法。
在实际应用中，最短距离法还有一个重要的概念，就是弧长。
弧长是指两个坐标点之间的连线所在的抛物线的弧长，而不是两个点之间的直线距离。
这样的话，最短距离的计算就变得更加复杂，也更准确。
总而言之，最短距离法是一种重要的距离测量方法，它广泛应用于各个领域，能够帮助许多不同目的达到精准测量。
然而，它在实际应用中也有其计算耗时及复杂度的问题，因此有时候更适合使用更简单的方法来实现。
层次聚类分析
D（0）
表1
D(0) G1={X1}G2={X2}G3={X3}G4={X4}G5={X5} G1={X1} 0
G2={X2} 1
G3={X3} 2.5
0
1.5 0
G4={X4} 6
G5={X5} 8
5
7
3.5
5.5
0
2 0
D（1）
表2
D(1) G6={G1, G2} G3={X3} G4={X4} G5={X5} G6 0 1.5 5 7 0 3.5 5.5 0 2 0 G3 G4 G5
层次聚类分析
hierarchical clustering method
聚类分析也是一种分类技术。是研究“ 物以类聚”的一种方法。与多元分析的 其他方法相比，该方法理论上还不完善 ，但由于它能解决许多实际问题，很受 人们的重视，应用方面取得了很大成功 。
举 例
对10位应聘者做智能检验。3项指标X，Y 和Z分别表示数学推理能力，空间想象能 力和语言理解能力。其得分如下，选择合 适的统计方法对应聘者进行分类。
D2（1） G6={X1, X2} G3={X3}
G6 0 4
G3
G4
G5
0
G4={X4}
G5={X5}
30.25
56.25
12.25
30.25
0
4 0
D2（2）
G7
G7
0
G4
G5
G4
G5
20.25
42.25
0
4 0
D2（3）
G7={X1, X2,X3} G8={X4,X5 }
ห้องสมุดไป่ตู้G7
0 30.25
• x11• •
第一节系统聚类分析
第一节系统聚类分析第五章聚类分析(一)教学目的通过本章的学习，对聚类分析从总体上有一个清晰地认识，理解聚类分析的基本思想和基本原理，掌握用聚类分析解决实际问题的能力。
(二)基本要求了解聚类分析的定义，种类及其应用范围，理解聚类分析的基本思想，掌握各类分析方法的主要步骤。
(三)教学要点1、聚类分析概述;2、系统聚类分析基本思想，主要步骤;3、动态聚类法基本思想，基本原理，主要步骤;4、模糊聚类分析基本思想，基本原理，主要步骤;5、图论聚类分析基本思想，基本原理。
(四)教学时数6课时五)教学内容 (1、聚类分析概述2、系统聚类分析3、动态聚类法4、模糊聚类分析5、图论聚类分析统计分组或分类可以深化人们的认识。
实际应用中，有些情况下进行统计分组比较容易，分组标志确定了，分组也就得到了，但是，有些情况下进行统计分组却比较困难，特别是当客观事物性质变化没有明显标志时，用于确定分组的标志和组别就很难确定。
聚类分析实际上给我们提供了一种对于复杂问题如何分组的统计方法。
第一节聚类分析概述一、聚类分析的定义聚类分析是将样品或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。
聚类分析时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有两个途径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一个点，在多维坐标中，定义点与点，类和类之间的距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲疏程度;另一个是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品或变量之间的亲疏程度。
二、聚类分析的种类(一)聚类分析按照分组理论依据的不同，可分为系统聚类法，动态聚类法，模糊聚类、图论聚类、聚类预报等多种聚类方法。
1、系统聚类分析法。
是在样品距离的基础上定义类与类的距离，首先将个样品自成n一类，然后每次将具有最小距离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都归为一类为止。
这种聚类方法称为系统聚类法。
根据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系图。
两异面直线的最短距离
两异面直线的最短距离两异面直线的最短距离是指两条不在同一平面内的直线之间的最短距离。
这个问题在数学和物理学中都有广泛的应用，例如在计算机图形学中，我们需要计算两个不相交的物体之间的最短距离，这就需要计算它们所在的两个异面直线的最短距离。
首先，我们需要知道两个异面直线之间的距离是如何定义的。
假设我们有两个直线L1和L2，它们的方向向量分别为v1和v2，那么它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = |(P2 - P1) · n|其中，P1和P2分别是L1和L2上的任意两个点，n是v1和v2的叉积，表示L1和L2所在平面的法向量，·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
这个公式的意义是，我们先找到L1和L2所在平面，然后计算从L1上任意一点到L2所在平面的距离，这个距离就是L1和L2之间的最短距离。
接下来，我们来看一下如何计算n。
由于v1和v2不在同一平面内，它们的叉积n一定不为零向量。
我们可以通过以下公式计算n：n = v1 × v2其中，×表示向量的叉积。
最后，我们来看一下如何计算d。
假设我们已经知道了L1和L2上的任意两个点P1和P2，那么我们可以通过以下公式计算d：d = |(P2 - P1) · n| / |n|其中，·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
这个公式的意义是，我们先计算从P1到P2的向量，然后将它投影到n上，得到它在n方向上的长度，最后除以n的模长，得到L1和L2之间的最短距离。
综上所述，计算两异面直线的最短距离需要先计算它们所在平面的法向量，然后计算从一条直线上的任意一点到另一条直线所在平面的距离，最后除以法向量的模长。
这个问题在计算机图形学、机器人学、物理学等领域都有广泛的应用，是一个非常重要的数学问题。
求曲线上点到直线距离最值的两种方法
求曲线上点到直线距离最值的两种方法方法一：最短距离法这种方法是通过计算曲线上每个点到直线的距离，然后找出最小距离和对应的点。
假设我们有一个曲线方程为 f(x)，要求的直线方程为 y = mx + c，其中 m 和 c 是直线的斜率和截距。
步骤如下：1.将曲线上的点表示为(x,f(x))，其中x的取值范围根据曲线的定义域确定。
2. 计算每个点的距离 d 到直线的距离，距离公式为：d = ，f(x) - mx - c， / sqrt(1 + m^2)，其中 sqrt 表示开方操作。
3. 遍历所有点，找到最小的距离 dmin 和对应的点 (xmin,f(xmin))。
4. 最小距离 dmin 和对应点 (xmin, f(xmin)) 就是曲线上点到直线距离的最小值。
这种方法的优点是简单易懂、易于实现。
缺点是需要计算每个点的距离，如果曲线上的点较多，则计算量会比较大。
方法二：最优化方法这种方法是基于最优化理论，通过对问题建模求解。
假设有一个曲线方程为 f(x)，要求的直线方程为 y = mx + c，其中m 和 c 是直线的斜率和截距。
步骤如下：1.定义一个目标函数G(m,c)，表示曲线上所有点到直线的距离之和。
2. 目标函数 G(m, c) 的定义为G(m, c) = ∑(，f(xi) - mxi - c，)，其中∑ 表示求和操作，xi 和 f(xi) 分别是曲线上的点的横坐标和纵坐标。
3. 将 G(m, c) 转化为最小化问题，即求解 min G(m, c)。
4.使用优化算法（如梯度下降法、牛顿法等）求解G(m,c)的最小值，得到对应的斜率m和截距c。
5.最小值对应的斜率m和截距c就是曲线上点到直线距离的最小值。
这种方法的优点是可以通过优化算法进行快速求解，适用于曲线上点的数量较多的情况。
缺点是需要定义目标函数和选择合适的优化算法，并且求解可能存在数值稳定性和局部最优解的问题。
综上所述，求曲线上点到直线距离的最值可以使用最短距离法或最优化方法进行求解。
《应用多元统计分析》第五版PPT(第六章)-简化版(JMP13.1)
一、最短距离法
❖ 定义类与类之间的距离为两类最近样品间的距离， 即
DKL
min
iGK , jGL
dij
图6.3.1 最短距离法：DKL=d23
24
最短距离法的聚类步骤
❖ (1)规定样品之间的距离，计算n个样品的距离矩阵 D(0)，它是一个对称矩阵。
❖ (2)选择D(0)中的最小元素，设为DKL，则将GK和GL合 并成一个新类，记为GM，即GM= GK∪GL。
❖ 聚集系统法的基本思想是：开始时将n个样品各自作 为一类，并规定样品之间的距离和类与类之间的距 离，然后将距离最近的两类合并成一个新类，计算 新类与其他类的距离；重复进行两个最近类的合并 ，每次减少一类，直至所有的样品合并为一类。
20
一开始每个样品各自作为一类
21
❖ 分割系统法的聚类步骤与聚集系统法正相反。由n个 样品组成一类开始，按某种最优准则将它分割成两 个尽可能远离的子类，再用同样准则将每一子类进 一步地分割成两类，从中选一个分割最优的子类， 这样类数将由两类增加到三类。如此下去，直至所 有n个样品各自为一类或采用某种停止规则。
12
➢ 一般地，若记 m1：配合的变量数 m2：不配合的变量数
则它们之间的距离可定义为
d x, y m2
m1 m2 ➢ 故按此定义，本例中x 与y 之间的距离为2/3。
13
二、相似系数
❖ 变量之间的相似性度量，在一些应用中要看相似系 数的大小，而在另一些应用中要看相似系数绝对值 的大小。
❖ 相似系数（或其绝对值）越大，认为变量之间的相 似性程度就越高；反之，则越低。
❖ 类与类之间的距离定义为两类最远样品间的距离， 即
DKL
max
曲线上一点到直线的最短距离-概述说明以及解释
曲线上一点到直线的最短距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，我们经常会遇到求解曲线上一点到直线的最短距离的问题。
这个问题在不同领域都有着广泛的应用，如工程设计、物理学和经济学等。
了解如何求解曲线上一点到直线的最短距离，可以帮助我们更好地理解曲线与直线之间的关系，并应用到实际问题中。
本文将介绍曲线方程与直线方程的基本概念，并详细讨论如何求解曲线上一点到直线的最短距离的方法。
首先，我们会学习曲线方程和直线方程的一般形式，并通过具体的例子来说明它们之间的区别和联系。
然后，我们将介绍常用的最短距离求解方法，包括垂直距离法和求解最优化问题的方法。
通过这些方法，我们可以准确地计算出曲线上任意一点到直线的最短距离。
在结论部分，我们将总结所得的结果，并探讨曲线上一点到直线的最短距离在实际应用中的前景。
我们会通过实例来阐述这个问题的具体应用场景，以及如何利用最短距离的求解结果来解决实际问题。
最后，我们还会提出一些进一步的研究方向，以期在该领域做出更深入的探索和应用。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解曲线上一点到直线的最短距离的求解方法，以及它在实际问题中的应用。
同时，读者也将更深入地理解曲线与直线之间的关系，并能够运用所学知识解决类似的几何问题。
希望本文能够对读者的学习和研究有所启发，为他们在相关领域的进一步探索提供参考和指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开讨论曲线上一点到直线的最短距离的问题：第一部分引言，旨在引入读者对本文的主题进行一个概括性的了解。
首先，我们将给出整篇文章的背景和动机，解释为什么研究曲线上一点到直线的最短距离是一个值得关注的问题。
接着，我们将介绍整篇文章的结构，简要概括每个部分的内容，并给出我们的研究目的。
第二部分正文，将着重讨论曲线方程与直线方程，这是解决问题的基础。
我们将简要介绍曲线方程和直线方程的一般形式，然后给出两者之间的关系。
接着，我们将详细探讨如何求解曲线上一点到直线的最短距离。
船舶航线规划深入了解船舶航线规划的关键要素和方法
船舶航线规划深入了解船舶航线规划的关键要素和方法船舶航线规划是海运运输中至关重要的一环。
合理的航线规划能够提高运输效率，降低成本，确保货物的安全和准时到达目的地。
本文将深入探讨船舶航线规划的关键要素和方法，帮助读者更好地理解和应用航线规划的技巧。
一、航线规划的关键要素1. 距离与时间：航线规划的首要考虑因素是航程的距离与所需时间。
船舶的速度、气候、水深等因素都会对航行速度产生影响，因此需要综合考虑这些因素来确定最佳的航线。
同时，考虑到运输成本和效率，航程的时间也是制定航线的重要要素。
2. 港口与航道：航线规划需要充分考虑各港口的位置、航道的通畅程度和二者之间的关联性。
航道的深度、宽度和水下障碍物的分布都会对船舶的航行造成影响。
正确评估和选择港口以及合理规划航道，能够提高船舶的航行安全性和运输效率。
3. 气象和海洋条件：气候和海洋条件是航行风险管理中不可忽视的要素。
船舶航线规划需要详细了解不同季节、不同航段的气候特点，以及海洋流、海浪、风速等自然条件。
这样可以制定出更安全、更顺利的航线，减少航行中的风险。
4. 特殊限制与法规：不同海域、国家和地区都有特定的航行限制和规定，如船舶的航速限制、航行区域限制、进出港时间限制等。
航线规划时需要遵守这些限制和法规，确保航行的合法性和规范性。
二、航线规划的方法1. 距离最短法：距离最短法是航线规划中最常用的方法之一。
该方法通过计算不同航线的距离，选择最短距离的航线来达到节约时间和成本的目的。
当然，在选择最短距离的同时，也需要考虑到其他要素的影响，如气象、海洋条件等。
2. 关键点法：关键点法是指通过确定一系列关键点，将整个航线划分为多个小段，然后计算出每个小段的最佳航向和航速。
在实际航行过程中，船舶船长和航海员可以根据这些关键点进行导航和航行控制，确保航线的安全和准确。
3. 电子导航系统：现代航行已经广泛应用电子导航系统，这些系统可以通过船舶GPS和航行图表等数据提供船舶当前位置和目标位置之间的最佳航线。
SPSS19.0之聚类分析
1.1 系统聚类本次实验的系统聚类都是凝聚系统聚类，为了控制变量，都采用平方Euclidean距离。
1.1.1 最短距离聚类法最短距离法聚类步骤如下：1.规定样本间的距离，计算样本两两之间的距离，得到对称矩阵。
开始每个样品自成一类。
2.选择对称矩阵中的最小非零元素。
将两个样品之间最小距离记为D1，将这两个样品归并成为一类，记为G1。
3.计算G1与其他样品距离。
重复以上过程直到所有样品合并为一类。
我们在SPSS中实现最短距离分析非常简单。
单击“”-->“”-->“”。
将弹出如图1-1所示的对话框，设置相应的参数即可。
图1-1 最短距离法我们的数据已经做过标准化，在“转化值”-->“标准化”选项上选无。
在统计量的聚类成员中选择“无”，因为这是非监督分类，不需要指定最终分出的类个数。
在绘制中选择绘制“树状图”。
单击确定，得到以下结果。
聚类表阶群集组合系数首次出现阶群集下一阶群集1 群集 2 群集 1 群集 21 21 28 .211 0 0 102 12 24 .465 0 0 63 2 27 .491 0 0 54 13 20 .585 0 0 95 2 14 .645 3 0 66 2 12 .678 5 2 77 2 7 .702 6 0 88 2 25 .773 7 0 99 2 13 .916 8 4 1110 21 29 1.085 1 0 1211 2 18 1.106 9 0 12表1-2 聚类过程我们可以通过更加形象直观的树状图来观察整个聚类过程和聚类效果。
如图1-2所示，最短距离法组内距离小，但组间距离也较小。
分类特征不够明显，无法凸显各个省份的能源消耗的特点。
但是我们可以看到广东省能源消耗组成和其他省份特别不同，在其他方法中也显现出来。
12 2 21 1.115 11 10 13 13 2 17 1.360 12 0 14 14 2 26 1.564 13 0 15 15 2 22 1.627 14 0 16 16 2 5 1.649 15 0 17 17 2 8 1.877 16 0 18 18 2 16 3.027 17 0 19 19 2 30 3.543 18 0 20 20 2 11 4.930 19 0 21 21 2 4 5.024 20 0 22 22 2 10 6.445 21 0 24 23 1 9 8.262 0 0 26 24 2 15 10.093 22 0 25 25 2 23 10.096 24 0 26 26 1 2 10.189 23 25 27 27 1 6 11.387 26 0 28 28 1 3 13.153 27 0 29 2911932.36728图1-2 最短距离法聚类图1.1.2 组间联接聚类组间联接聚类法定义为两类之间的平均平方距离，即。
聚类分析
聚类算法聚类分析根据分类对象不同分为Q型聚类分析和R型聚类分析。
Q型聚类是指对样品进行聚类；R型聚类是指对变量进行聚类。
根据处理方法的不同又分为：系统聚类法、有序样品聚类法、动态聚类法、模糊聚类法、图论聚类法等。
算法原理：对于样品（变量）进行分类，就需要研究样品之间的关系。
性质越接近的样品（变量），它们的相似系数绝对值越接近1，而彼此无关的样品（变量），它们相似系数的绝对值接近于0.比较相似的样品（变量）归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。
一、数据类型在实际问题中，遇到的变量有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量的类型分为以下三种尺度：间隔尺度：变量是用实数来表示的，如长度、重量、压力和速度等等。
有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如产品分为上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量关系。
名义尺度：变量度量时既没有数量表示，也没有次序关系，而用不同状态来表示，如性别变量有男、女两种状态；某物体有红、黄、白三种颜色等。
二、对于数据具有不同的量纲以及不同的数量级单位，为了使不同量纲及不同数量级的数据能放在一起比较，一般在具体运用多元统计各种方法之前，先对数据进行变换处理。
（一）间隔尺度变量变换方法1、中心化处理变换：变换后数值=变换前数值-该变量的均值称为中心化变换，即平移变换，该变换可以使新坐标的原点与样品点集合的重心重合，而不会改变样本间的相互位置，也不会改变变量的相关性。
2、标准化变换变换：变换后数值=（变换前数值-该变量的均值）/该变量标准差称为标准化变换，变换后的数据，每个变量的样本均值为0，标准差为1，而且标准化变换后的数据与量纲无关。
3、极差正规化变换（规格化变换）变换：变换后数值=（变换前数值-该变量最小值）/极差称为极差正规化变换，变换后的数据在0到1之间；也是与量纲无关。
4、对数变换变换：变换后数值=log(变换前数值)称为对数变换，要求该变量所有值均大于0，它可以将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。
应用多元统计分析习题解答_第五章(1)
第五章 聚类分析5.1 判别分析和聚类分析有何区别？答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。
具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。
聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。
在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。
通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
5.2 试述系统聚类的基本思想。
答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。
5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。
因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。
点之间的距离即可代表样品间的相似度。
常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1()()pq qij ik jk k d q X X ==-∑q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =）1(1)pij ik jk k d X X ==-∑（2）欧氏距离（2q =）21/21(2)()pij ik jk k d X X ==-∑（3）切比雪夫距离（q =∞）1()max ij ik jkk pd X X ≤≤∞=-（二）马氏距离（三）兰氏距离对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。
21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jkij k ik jk X X d L p X X =-=+∑将变量看作p 维空间的向量，一般用（一）夹角余弦（二）相关系数5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。
浅谈空间点到直线的距离
浅谈空间点到直线的距离的多种方法摘要 本文主要利用定义法、最短距离法、垂直法、三角函数法、中点公式、垂直平面法、拉格朗日乘数法、平行四边形面积法、矩阵等九种方法求点到空间直线的距离关键词 定义法 最短距离法 垂直法 三角函数法 中点公式 垂直平面法 平行四边形面积法 拉格朗日乘数法 矩阵方法一 定义法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M 0（x 0,y 0,z 0）与直线ℓ：x −x 1X=y −y 1Y=z −z 1Z这里M1 x 1,y 1,z 1 为直线ℓ上的一点，v = X,Y,Z 为直线ℓ的方向矢量。
我们考虑以v 和矢量M 1M 0 为两边构成的平行四边形，这个平行四边形的面积等于 v ×M 1M 0 ，显然点M 0到ℓ的距离d 就是这个平行四边形的对应于以 v 为底的高，因此有 d =v ×M 1M 0v=y 0−y 1z 0−z 1YZ 2+ z 0−z 1x 0−x 1Z X 2+ x 0−x 1y 0−y 1XY2X 2+Y 2+Z 2例1 求点P 1 1,−2,1 到直线a ：x 1=y −12=z+3−2的距离解：法一：利用点到直线的距离公式d P 1,a =−142−2 2+ 41−21 2+ 1−312222 2= 653方法二 最短距离法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M 0（x 0,y 0,z 0）与直线ℓ：x −x 1X=y −y 1Y=z −z 1Z这里M 1 x 1,y 1,z 1 为直线ℓ上的一点，v = X,Y,Z 为直线ℓ的方向矢量。
设最短点B （x,y,z ） 得 x =x 1+tX y =y 1+tY z =z 1+tZ求d = x 0−x 2+ y 0−y 2+ z 0−z 2最小时t 的值，t 取最小值时d 值就是所求距离例1 求点P 1 1,−2,1 到直线a ：x 1=y −12=z+3−2的距离解：法二：设最短点B （x,y,z ）∴ x =ty =1+2t z =−3−2td = x −1 2+ y +2 2+ z +3 2= 9t 2+26t +26= 9 t +13 2+65 当t=−139时d =653即距离d = 653方法三 垂直法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M 0（x 0,y 0,z 0）与直线ℓ：x −x 1X=y −y 1Y=z −z 1Z这里M 1 x 1,y 1,z 1 为直线ℓ上的一点，v = X,Y,Z 为直线ℓ的方向矢量。
点到直线的最短距离
图1 “点到直线的最短距离”专题研究
一， 教学目标 教
学
目
标 知识与技能目标 掌握坐标系内点到直线最短距离的几种求法 过程与方法目标 1， 通过小组合作，探究出求点到直线最短距离的几种方法； 2， 通过练习对探究出的方法进行巩固 情感态度价值观目标 1， 通过组内合作解决问题，培养学生合作意识； 2， 通过一题多解，培养学生开放思维以及勇攀高峰的精神。
二， 教学重、难点
1， 点到直线的最短距离的几种方法的探究与掌握
2， 小组合作教学模式的应用。
三， 教学过程
1，教师出示练习：如图1，点A 的坐标为（－1，0），点B 在直线y ＝2x －4上运动，当线段AB 最短时，（1）求点B 的坐标；
（2）求线段AB 的最短距离。
处理：（1）学生独立思考10分钟；（2）组内交流思考结果5分钟；（3）分小组展示，教师加以引导和规范10分钟。
3，
教师归纳方法1、2、3共10分钟； 4， 巩固训练：如图2，点A 的坐标为（﹣，0），点B 在直线y =x 上运动，
（1） 当OB=OA 时求B 点坐标；
（2）求当线段AB最短时点B的坐标以及线段AB的最短距离。
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最短距离法：
定义i G 与j G 之间的距离为两类最近样品的距离，即为ij G X G X ij
d D j j i i ,
,min
min
∈∈=，
设类p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，则任一类k G 与r G 的距离为
}
{kq kp ij G X G X ij G X G X ij
G X G X kr D D d d d D q j k i p j k i r
r k k ,min min ,min min min
,,,=⎭⎬
⎫⎩⎨⎧==
∈∈∈∈∈∈
最短距离法进行聚类分析的步骤如下：
（1）定义样品之间距离，计算样品的两两距离，得一矩阵记为)0(D ,开始每个样品自成一类，显然这时ij ij d D =。
（2）找出距离最小元素，设为pq D ，则将p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，即
}{q p r G G G ,=。
（3）按公式计算新类与其他类的距离。
（4）重复（2）（3）两步，直到所有元素合并成一类为止。
如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应这些最小元素的类可以同时合并。
R 型因子分析模型：
R 型因子分析中的公共因子是不可直接观测但又客观存在的共同影响因素，每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和，即
,2211i m im i i i F a F a F a X ε++++= p i ,,2,1 = （1）
（1）式中的m F F F ,,21称为公共因子，i ε称为i X 的特殊因子。
该模型可用矩阵表示为
ε+=AF X (2)
这里()m
pm p p m m A A A a a a a a a a a a A ,,212
1
22221
11211=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p X X X X 21， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m F F F F 21， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p εεεε 21 且满足：
（1）;p m ≤
（2）0),cov(=εF ,即公共因子与特殊因子是不相关的；
（3）m F I F D D =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==10101
)( ，即各个公共因子不相关且方差为1； （4）⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==22
22100)(p D D σσσεε ，即各个特殊因子不相关，方差不要求相等。
模型中的ij a 称为因子“载荷”，是第i 个变量在第j 个因子上的负荷，如果把变量i X 看成m 维空间中的一个点，则ij a 表示它在坐标轴j F 上的投影，因此矩阵A 称为因子载荷矩阵。
因子旋转：
令,)(**
*
m p ij a A A =Γ= i ij
ij h a d /*= ， ∑==p i ij j d p d 1
2
1
则的第j 列元素平方的相对方差可定义为∑=-=p i j ij j d d p V 1
22
)(1 （1）
所谓最大方差旋转法就是选择正交矩阵Γ，使得矩阵*
A 所有m 个列元素平方的相对方差之和 m V V V V +++= 21 （2） 达到最大。
V 是旋转角度θ的函数，按照最大方差旋转法的原则，求θ使得V 达到最大。
p
B A
C p
AB D /)(/24tan 2
2---=
θ (3) 其中∑==
p i i u A 1
，∑==p
i i
v
B 1
，∑=-=
p
i i
i
v u
C 1
22)(，∑==p
i i i v u D 1
2
2221)()(
i i i i i h a h a u +=， 2212i
i i i h a a v = 其正交变换矩阵为
k l lk ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-=Γ11cos sin 1
1sin cos 1
θ
θθ
θ 其中θ是因子轴k l F F 和的旋转角度，矩阵中其余位置上的元素全为0，m 个公共因子两两配对旋转共需进行)1(2
1
2
-=
m m C m 次，称其为完成了第一次旋转，并记第一轮旋转后的因子载荷矩阵为)
1(A ,然后再重新开始，进行第二轮的2
m C 次配对旋转，新的因子载荷矩阵记为
)2(A 。
这样可以得到一系列的因子载荷矩阵为 ,,,,)()2()1(s A A A
记)()
(S S A V
为各列元素平方的相对方差之和，则必然有 ≤≤≤≤)()2()1(s V V V ，这是一
个有界的单调上升数列，因此，一定会收敛到某个极限 ，当)
(s V 的值变化不大时，即可停
止旋转。
计算因子得分：
设公共因子可在对p 个原始变量作回归，即,ˆ110P
jp j j j X b X b b F +++= m j ,,1 = 如果j F ，i X 都标准化了，回归的常数项为零，即0=ji b 。
由因子载荷的统计意义可知，对于任意的m j p i ,,1,,,1 ==，都有
ip
jp j p jp j i j i F X p r b r b X b X b X E F X E r a j i ++=++=== 1111,)]([)(
记⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mp m m p p b b b b b b b b b B 212222111211则上式可写成矩阵形式'RB A =
于是X R A BX F F F m 11'ˆˆˆ-==⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡= ，即得因子得分的估算公式 X R A F 1'ˆ-= 其中R 是X 的相关系数矩阵。