第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题

第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题

【关卡1 一般弦的计算问题】

笔 记

1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式）

2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

代数法 几何法

例 题

1.已知椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且

e =，过椭圆C 的右焦点且斜率为2l 被椭圆C 截的弦长AB ，

（1）求椭圆的方程；

（2）弦AB 的长度.

2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y +=

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程

3.已知直线3+=kx y 与椭圆12

22

=+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点？

4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，120202

0≤+

00=+y y x x 与椭圆的公共点个数？

5.已知双曲线422=-y x ，直线)1(:-=x k y l ，试讨论满足下列条件时实数k 的取值范围

（1）直线l 与双曲线有两个公共点

（2）直线l 与双曲线有且只有一个公共点

（3）直线l 与双曲线没有公共点

过关练习 1.)0(122

22>>=+b a b y a x 的离心率为3

6，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B 两点,当|AB |=

3，求的b 值.

2.已知椭圆G:14

22=+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率；

（2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值

3.直线01=--kx y 与椭圆152

2=+m

y x 恒有公共点，求m 的取值范围？

4.若直线

2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？

【关卡2 中点弦问题】

笔 记

设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （0,000≠≠y x ），则1222

-=-=⋅e a

b k k op AB 设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （0,000≠≠y x ），则1222

-==⋅e a

b k k op AB 设抛物线px y 22=的弦AB 的中点为P ),(00y x （00≠y ），则0y p k AB =

例 题

1.已知椭圆14162

2=+y x 求（1）以)1,2(-P 为中点的弦所在直线的方程

（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程

（3）过)2,8(Q 的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程

2.（1）已知椭圆E ：22

143

x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆E 上存在两个不同的点关于直线4y x m =+对称

（2）已知双曲线132

2=-y x ，双曲线上存在关于直线L ：4+=kx y 对称的点，求实数k 的取值范

围。

（3）如果抛物线y 2=px (p>0)和圆(x －2)2＋y 2=3在x 轴上方相交于A 、B 两点，且弦AB 的中点M 在直线y=x 上，求抛物线的方程。

3.椭圆C 22

221x y a b

+=的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆C 上，且12,PF PF ⊥ 143PF =,2143

PF = （1）求椭圆C 的方程。 （2）若直线l 过圆22++4-2=0x

y x y 的圆心M,交椭圆C 于A,B 两点，且A,B 关于点M 对称，求直线l 的方程。

过关练习

1.已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，求|AB|的长。

2.已知直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 有A,B 两个不同的交点。

（1）如果以AB 为直径的圆恰好过原点，试求k 的值。

（2）是否存在k 的值，使得AB 两个不同的交点关于直线

x y 2=对称

3.已知椭圆C ：22

194

x y +=和圆M ：22420x y x y ++-=，是否存在直线l ，使l 过圆心M ，与椭圆C 相交于A, B 两点，且A, B 两点关于M 对称？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。