圆锥曲线.03圆锥曲线的弦长面积问题.知识讲解和练习

2014年一轮复习圆锥曲线的弦长面积问题
内容明细内容
要求层次
了解理解掌握圆锥曲线
椭圆的定义与标准方程√
椭圆的简单几何意义√
抛物线的定义及其标准方程√
抛物线的简单几何意义√
双曲线的定义及标准方程√
双曲线的简单几何性质√
直线与圆锥曲线的位置关系√
题型一：弦长问题
设圆锥曲线C∶()
,0
f x y=与直线:l y kx b
=+相交于()
11
,
A x y，()
22
,
B x y两点，
则弦长AB为：
()
222
121212
1141x
AB k x x k x x x x k
a
∆
=+-=++-=+
()
121212
222
111
1141y
AB y y y y y y
k k k a
∆
=+-=++-=+
或
题型二：面积问题
1.三角形面积问题
直线AB方程：y kx m
=+00
2
1
kx y m
d PH
k
-+
==
+
00
2
2
11
1
22a1
x
ABP
kx y m
S AB d k
k
∆
∆-+
=⋅=+⋅
+
自检自查必考点
圆锥曲线
2014年高考怎么考
H
O
y
x
P
B
A
2. 焦点三角形的面积
直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为
1
1212121
2y ABF c S F F y y c y y a
∆∆=⋅-=-=
F 2
F 1
O
y
x
B
A
3. 平行四边形的面积
直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 122
1m m d CH k
-==
+
2222
12121211()41x AB k x x k x x x x k a
∆=+-=++-=+
12
122
2
11x x ABCD
m m m m S
AB d k a
a
k
∆∆--=⋅=+⋅
=
+
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈ 变式：2
2(,);(
)(,)2
a b a b ab a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式： （1）222
64
64t S t t t
=
=++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）22
422
2121212
333196123696
k AB t k k k
=+=+≤+++⨯+++
当且仅当22
1
9k k =
时，等号成立
（3）22222
0000
2222
0000
2592593425934225964925925y x y x PQ x y x y =+⋅+⋅≥+⋅⨯⋅= 当且仅当22
00
22
00
259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）22222131111812(8)22222
2223m m m S m m m -+=-⋅=-+≤⨯= 当且仅当228m m =-+时，等号成立 （5）222
1122222
11112
222221221(21)22214242221212121k m m m k m k m m S k k k k k
-++-+-+=+⋅=≤=++++ 当且仅当221212k m +=时等号成立.
【例1
】 已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>经过点(2,1)A ，离心率为2
2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于
不同的两点,M N ．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若2
2
3||=MN ，求直线MN 的方程．
例题精讲
【例2】 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，
3
2
）在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆的面积为122
7
，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．
【例3】 已知,,A B C 是椭圆W :2
214
x y +=上的三个点, O 是坐标原点. （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.
【例4】 已知椭圆2
2
:14
y C x +=，过点()03M ，
的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ． （Ⅰ）若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当3AB <时，实数λ的取值范围．
【例5】 已知椭圆()11:2
22>=+a y a
x C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线AF 与圆
0726:22=+-++y x y x M 相切.过点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）当APQ ∆的面积达到最大时,求直线的方程.
【例6】 已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的左右焦点分别为()()122,0,2,0F F -．在椭圆M 中有一内接
三角形ABC ，其顶点C 的坐标(
)
3,1，AB 所在直线的斜率为
3
3
． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．
【例7】 在平面直角坐标系xOy 中， 动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F 的距离的2倍．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP 与（Ⅰ）中曲线交于点Q ，与l 交于点A ，分别过点P 和Q 作l 的垂线，垂足为,M N ，问：是否存在点P 使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍？若存在，求出P 的坐标；若不存在，说明理由．
【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜
率之积等于13
-.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。