均值定理求最值

1 8 1 x y 当且仅当 1 6y x x y
即
x 12 y 3
时，
x 2 ymin 18
练习题：
1.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
1 1 3. 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u x y
2 2.已知x<0，求函数 f ( x) x x
8 1 足 x y 1 ，求x＋2y的最小
值。
8 1 解：∵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 0, y 0, 1 x y 8 1 ∴ x 2 y x 2 y巧妙运用“ x y1” 的代 换，凑积为定值。 16 y x 10 x y
16 y x 10 2 10 8 18 x y
1、凑系数
例1 当0＜x＜4时，求y=x(8－2x)的最值。
解：∵0＜x ＜4 ∴4-x＞0
∴y=x(8-2x)=2x(4-x)
x4 x 2 2
2
求积，和必 须为定值
=8 当且仅当x=4-x即x=2时，
ymax 8
2、凑项
5 ∴ 5 4 x 求和但积不 0 解：∵ x 是定值，需 4 凑项即可。
均值定理：
如果a, b∈R+，那么
ab ab 2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
a b 2 ab 积定和最小
ab ab 2
2
和定积最大
均值不等式是解决最值问题 的有效工具。运用均值不等式求 最值要同时满足条件：一正二定 三相等。多数求最值的问题具有 隐蔽性，需要进行适当变形才能 用均值不等式求解，常见一些变 形技巧如：
的最大值.
的最小值．
1 1 ∴ f x 4 x 2 (5 4 x )3 4x 5 5 4x 1 2 5 4 x 3 1 5 4x
1 ∴当且仅当 5 4 x ，即 x 1 时， 5 4x
f x max 1
3、代换
例3 已知正数x、y满