运用均值定理求最值的几点注意和常用技巧-EOL

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧

著名的平均值不等式,,,,"212121n

n n n a a a n

a a a R a a a

则

若

仅当n a a a 21),2(N n n 时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。 一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。 （1） 注意“正数”。

例1、求函数x

x y 4

的值域 。 误解：44

24

x

x x x （仅当2 x 时取等号），所以值域为 ,4。 这里错误在于使用均值定理ab b a 2 时忽略了条件：

R b a ,

正确解法：)2(44

24,0)(时取等号当时当

x x

x x x x a ； 4

4

)2(4)4)((2)4()(0,0)( x

x x x x x x x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是

44 y y y 或。 （2） 注意“取等”

例2、设

R x ，求函数2

1

3x x y

的最小值。 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有

3min 3322232312312,

y x

x x x x x y R x 。 这里的错误是没有考虑等号成立的条件。显然要2

1

2x x x

，这样的不存在x ，故导致错误。此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，

正确解法：时取等号）23322123(182312323312323x

x x x x x x x y

。 所以2

183,3183min 3

y x 。 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a ,6,3,,,,2

2

2

2

误解：)1(2

9

)(212,222222222

y x b a by ax y x bx b a ax 所以by ax 的最大值为

2

9

。 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ,；由条件知这是不可能的，所以不可能

取到上述的最大值。

正确解法：2

2

2

2

2

2

2

2

2

)())((,2by ax y x b a aybx x b y a 仅当

bx ay 时取等，所以时取等仅当

6323632222y x b a bx ay by ax 。

如取23)(,3,2

6

max

by ax y x b a （3）注意“定值”

例4、已知的最大值求y x R y x y x 2

,,,12

。

误解：12),(27

)2()3(

3

32

y x y x y x y x x y x 又时取等当， 27

1

,312

y x y x 时。 以上过程只能说明当271312

y x y x 时。但没有任何理由说明,27

12

y x 这种似是

而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。

正确解法：

27

2

)322(41)34(41441,,332

y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当27

2,61,32,12,42

最大值为时取等号所以而y x y x y x y x 。

二、常用处理方法和技巧

（1） 拆项

例5、求函数)0(3

22

x x

x y 的最小值。

解：

x

x x y 23

2322

时取等号）x x x x x 232(36232323232332 ， （目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆

x

3

为相同两项，同时使得含变量的因子x

的次数和为零）

所以仅当3min 3

362

3

26 y ，。 （2） 裂项

例6、设1 x ，求函数1

)

2)(5( x x x y 的最小值。

解

取等）

1

4

1(9514)1(251411]1)1][(4)1[(

x x x x x x x x x y [先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因

子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子1 x 的次数和为零，同时取到等号] ]

所以仅当9,1min y x 时。 （3） 添项

例7、求函数2

2

216

3x x y

的最小值。

解

]216)2(3[638)216)(2(326216)2(32

2

2222取等x x x x x x y

（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子2

2x 的次数和为零，同时取到等号）。 所以当638,233

4

min

y x 。 例8、若y x y

x y x 则且

,19

1,0,0.的最小值。 解： 时取等）

y

x

x y y x x y y x x y y x y x y x 9(169210991)91)((

[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘

y

x 9

1 ），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子x

y

的次数和为零，同时取到等号] 。