运用均值定理求最值的几点注意和常用技巧-EOL

合集下载

均值定理求最值

均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。

它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。

本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。

一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。

在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。

具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。

二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。

具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。

2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。

首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。

接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。

均值不等式定理求最值

均值不等式定理求最值复习目标：熟练掌握均值不等式求最值的思想方法和实际应用一、基础知识1、均值不等式定理(1)、ab b a b a 2R,22≥+∈、 (当且仅当b a =时取“=”)(2)、ab b a R b a 2,≥+∈+、 (当且仅当b a =时取“=”) (3)、22,,22b a b a ab R b a +≤+≤∈+(当且仅当b a =时取”=”) 此定理六个方面的应用要多体会掌握。

(4)、abc c b a R c b a 3,333≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取“=”)(5)、33,abc c b a R c b a ≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取”=”) 2、均值不等式定理求最值的基本原则（1）、“一正”：要求在正数条件下或能转化为正数条件的情况下才用均值不等式定理。

(2)、“二定”：即“和定积大与积定和小”原则，这一原则要求：求某些变量的和的最小值问题应使变量的乘积为定值；而求变量的乘积的最大值问题应转化到变量的和为定值。

反之，变量的和为定值必转化为求变量积的最大值问题，变量的积为定值必转化为求变量和的最小值问题。

总之，使用均值不等式定理后使变量消去成常数是均值不等式定理求最值的指导思想，也是产生各种技巧的力量源泉。

(3)、“三相等”：即“二”成立原则，这一原则要求验算“二”成立的充要条件，这是保证所求最值正确与否的关键。

完成这一步骤主要看两点：一看“二”成立的充要条件是否有解；二看“二”成立的充要条件有解时的解是否在函数定义域内。

如这两点均符合要求，所求函数最值就正确无疑了。

3、均值不等式定理及在求函数最值中的应用是高考热点之一。

均值定理的运用最为灵活，往往需灵活变形才能使用。

用均值不等式求最值应着重注意三原则：一正、二定、三相等，其中“三相等”就是等号成立的充要条件，这是求解变量取什么值可有最值的唯一途径，应该注意求得的变量是否在函数的定义域内或满足题中的限制条件下，这也是验证这种方法是否可行的唯一办法。

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。

本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。

例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。

如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。

如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。

对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。

例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。

我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。

同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。

当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。

我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。

在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。

通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

2.利用均值定理求最值

4x 9 y 当且仅当 , 即x =15 , y=10时,x+y取 y x
得最小值25.
题型二:配凑定值, 求最值 2 x 7 x 10 1.设x＞0，则函数 y 的最小 x 值是 2 10 7 .
10 x 6 x 10 2.函数 y 的最小值是 3
x3
.
注意验证等号能否成立!
恒成立，则a的取值范围是__________.
1 1 (2010’四川)设a>b>0，则 a ab a(a b )
2
的最小值是(
A.1 B.2
)
C.3 D.4
题型三:两数和与积同时出现的题目
1.若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范
围是___________. [6, ) 2.(2010’浙江)若正实数x,y满足xy=2x+y+6，则
18 xy的最小值是__________.
3.(07’北京)如果正数a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（ A ）Ａ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Ｂ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Ｃ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一Ｄ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
∴ x+y的最小值为24.
此解法是否正确
多次利用均值定理时,不要忽视“相等”
4 9 3.已知正数x、y满足 1 ,求x+y的最小值. y x
正解：
4 9 x y ( x y )( ) y x 4x 9 y 13 y x 4x 9 y 2 13 25 y x

用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

利用均值定理求最大(小)值的几个技巧

利用均值定理求最大(小)值的几个技巧白国军【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》【年(卷),期】2000(000)005【摘要】最大（小）值问题是一类很典型的题目,是高考的热点之一,有关这类题目的处理涉及很多教学方法,其中利用均值定理便是众多方法中常用的一种。

由于这种方法在应用中经常需要技巧,所以初学者不易掌握,本文拟介绍这一方法在解最大（小）值问题时的一些具体技巧。

所谓均值定理,就是"n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数",即若:a1,a2,a3,…,an∈R+,则有（a1+a2+a3+…an）/n≥（a1a2a3…an）1/n,当且仅当a1=a2=a3=…=an 时,不等式取"="号。

新大纲对这一定理只要求掌握 n=2,3的情况。

这一定理在实际解题时,可用来求解"和"的最小值或"积"的最大值,当然必须有几个前提条件。

巧用均值定理求函数最值

巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。

首先，我们先来了解一下均值定理。

均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。

那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。

因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。

比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。

实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。

当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。

但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。

(整理版)均值不等式求最值的对策

均值不等式求最值的对策运用均值不等式求最值是一种常用方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何求最值问题试作分析一．注意均值定理应满足条件均值不等式具有将“和式〞转化为“积式〞与将“积式〞转化为“和式〞的功能，但一定注意应用的前提：“ 一正〞“二定〞“三相等〞。

所谓“一正〞是指“正数〞，“二定〞指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立.例1．10<<x ，求xy lg 4lg +=的最大值分析：此题满足4lg 4lg =⋅xx 为定值，但因为0lg ,10<<<x x ，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式。

解：442)lg 4()lg (0lg ,0lg 10=≥-+-=-∴>-<∴<<xx y x x x 即4-≤y 。

当且仅当xx lg 4lg -=-即1001=x 时等号成立，故4max -=y二．连用均值定理要注意成立的条件一致有些题目要屡次用不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致。

例2．假设y x ,是正数，那么22)21()21(xy y x +++的最小值是〔〕 A.3 B 27 C4 D 29 解析:由题意,4141(2)141()21)(21(2)21()21(22=+⋅≥++=++≥+++xyxy xy xy x y y x x y y x “＝〞成立的条件412121{=+=+xy xy y x 不矛盾，故“＝〞能成立，答案〔)c三．均值不等式“失效〞时的对策有些题目，直接用均值定理求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，别离常数，平方等手段使之能运用均值定理.例3．25≥x ，那么4254)(2-+-=x x x x f 有〔〕 A 最大值45 B 最小值45 C 最大值1 D 最小值1.分析：此题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行别离，便可创造出使用均值不等式的条件。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式,,,,"212121nn n n a a a na a a R a a a则若仅当n a a a 21),2(N n n 时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。

且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。

因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1）注意“正数”。

例1、求函数xx y 4的值域。

误解：4424xx x x （仅当2 x 时取等号），所以值域为 ,4。

这里错误在于使用均值定理ab b a 2 时忽略了条件：R b a ,正确解法：)2(4424,0)(时取等号当时当x xx x x x a ； 44)2(4)4)((2)4()(0,0)( xx x x x x x x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是44 y y y 或。

（2）注意“取等”例2、设R x ，求函数213x x y的最小值。

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,y xx x x x x y R x 。

这里的错误是没有考虑等号成立的条件。

显然要212x x x，这样的不存在x ，故导致错误。

此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y。

所以2183,3183min 3y x 。

例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a ,6,3,,,,2222误解：)1(29)(212,222222222y x b a by ax y x bx b a ax 所以by ax 的最大值为29。

这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。

正确解法：222222222)())((,2by ax y x b a aybx x b y a 仅当bx ay 时取等，所以时取等仅当6323632222y x b a bx ay by ax 。

如取23)(,3,26maxby ax y x b a （3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12。

误解：12),(27)2()3(332y x y x y x y x x y x 又时取等当， 271,312y x y x 时。

以上过程只能说明当271312y x y x 时。

但没有任何理由说明,2712y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。

正确解法：272)322(41)34(41441,,332y x y x x y x x y x R y x ，所以仅当272,61,32,12,42最大值为时取等号所以而y x y x y x y x 。

二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数)0(322x xx y 的最小值。

解：xx x y 232322时取等号）x x x x x 232(36232323232332 ，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆x3为相同两项，同时使得含变量的因子x的次数和为零）所以仅当3min 3362326 y ，。

（2）裂项例6、设1 x ，求函数1)2)(5( x x x y 的最小值。

解取等）141(9514)1(251411]1)1][(4)1[(x x x x x x x x x y [先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。

即使得含变量的因子1 x 的次数和为零，同时取到等号] ]所以仅当9,1min y x 时。

（3）添项例7、求函数222163x x y的最小值。

解]216)2(3[638)216)(2(326216)2(3222222取等x x x x x x y（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x 的次数和为零，同时取到等号）。

所以当638,2334miny x 。

例8、若y x yx y x 则且,191,0,0.的最小值。

解：时取等）yxx y y x x y y x x y y x y x y x 9(169210991)91)(([所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘yx 91 ），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子xy的次数和为零，同时取到等号] 。

所以仅当1241919y x yx y x x y 时y x 的最小值为16。

4、放入根号内例9、求函数)10(122 x x x y 的最大值。

解932)3122(4)1(224)1(132222222422x x x x x x x x x x y （仅当2212x x 时取等号）（把变量都放在同一条件下既根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相同且系数和为零，且取到等号）因此仅当932,36maxy x 。

例10、已知,20 x 求函数)4(62x x y 的最大值。

解：)4)(4(218)4(360,20222222x x x x x y y x,R x 取等）22322242(3332]3)4()4(2[18x x x x x （求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）因此仅当.3332,332maxy x 5、分之变量常数化例、11设求函数4332x x y 的最大值。

解：由题223242234343x x x xx x x y而,R x 取等号）232242(34223422xx x x x x x x（分子变量因子次数比分母的大且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解），所以仅当1,2max y x 。

6、取倒数例12、已知134,,yx R y x ，求y x 2的最小值。

解：时取等）y x y x x y x x y x 32(3241)3322(121322121132（已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，故取倒数再如前面一样求解）因此仅当324)(,9613432max 2y x y x yx y x练习：做学生用书的怎样最值的相应的例题和练习题，简略答案为：例1、（1）用椭圆的参数方程可把面积表示为角的函数即2,1)4sin(2cos sin )],cos (sin 2cos sin 4[15t S 令，,302302135)2,1(245)2(2152S t t S （2）、打开绝对值要对变量的取值分类：)21(43)21(1)(43)21()(,)(2min2a a a a x f a x x f a x a ，)21(1)21(43)(43)21()(,)(2min2a a a a x f a x x f a x b 综上：.43)(,21,1)(,2121;43)(,21min 2min min a x f a a x f a a x f a例2、（1）用图形或添加辅助角或用万能公式进而可解得.254y y 。

（3）由题682442 a a a S ，然后两边平方再用判别式可得解为623 。

例3、（1） 0,17 。

（2）),0)(2(302r rr y 这里均值定理取不到，故而用单调性求解得465,83,2min y h r 。

测式（1）1、 B 用二次函数性质可解得415)sin(。

2、C 最大利润 60])401(10401[100000)8050()40()50(10000022x x x x x 。

3、元后平方即可得解22,21 。

4、用二次函数性质求解5511miny 。

5、面积最大仅当半径最大，.642max r S6、（1）2)]11([,01max 22x xa x ax ，（2）]414([22x x a用单调性得25a 。

7、22)2(22),22(244)(2 at t y t t a x f x x x x xx则令2,24log ,,22)(2min 2222a y a a x a t a a a t y 即；a y x t a 42,0,2,2min 即例4、（1）因为511001221001t x t y y x t z y x t z y x ，仅当100.10,1 t z y x 时取等号。

因为1422,142,222 xy xy xy y x xy y x 所以，所以2818)(,221,242max xy y x 。

（2）设直线方程然后用弦长公式及点到直线的距离公式可得2525)1(42)5)(1(2)5(122b b b b b b b S01:281(28]325251[4max 3y x S b b b b 直线为时仅当例5、（1）找A 的对称点即可得交点（2，2），（2）用椭圆的第二定义得PM PA PB PA 2，过A 作AN 垂直L 于N ，即可得最小值为5。

例6、由题x x x a 41342，令)0(cos 22 x 所以5)43cos(31035 a arctg a 。

例7、利用椭圆的参数方程，并利用平面几何知识知只需求MA 的最值，而,333212331,32121,328)32(sin 32 AB MA MA测式（2）1、（1）由已知242242,0322 y x y x y x ；（2）10)lg 1lg 1(5lg 1lg 12lg 1lg 12 b a b a b a y 。

2、设)1(1]11[)1,(),1,(122t t t s BC AB s s C t t B 选择D3、（1）638min y ，（2）31max y ，（3）2432222232x ctg tgx tgx y 4、（1）令 11,45)2(sin 41,23,2)2,0(2,sec 22u u tg y x（2）由题知222,2,1222 a bc c b a bc5、i M y y y y x M 3,20),22(41244)(222，6、用参数方程可解)9781,97272(),9714(2113)sin(97141321P S 7、参数方程),30(454)54(cos 5222a a a PA当时,1530 a 无最小值，当2,131cos ,59531min a a PA a ，时。