均值定理求最值
均值定理求最大值公式
均值定理求最大值公式好的，以下是为您生成的文章：咱们在数学的世界里呀，经常会碰到各种各样求解最值的问题。
这时候，均值定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开最值的大门。
先来说说均值定理到底是啥。
简单来讲，对于任意两个正实数 a 和b，都有算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
当且仅当 a = b 时，等号成立。
举个例子哈，比如说咱要围一个矩形的菜园子。
已知菜园子的周长是固定的，比如说 20 米，那怎么围才能让这个菜园子的面积最大呢？这时候均值定理就派上用场啦。
假设这个矩形的长是 x 米，宽就是 (10 - x) 米，那它的面积就是 S = x(10 - x) 。
根据均值定理，x + (10 - x) = 10 ，所以√[x(10 - x)] ≤ 10 / 2 = 5 ，也就是 x(10 - x) ≤ 25 。
当且仅当 x = 10 - x ，也就是 x = 5 时，等号成立，此时菜园子是个正方形，面积最大，就是 25 平方米。
再比如说，咱要生产一批无盖的长方体盒子，每个盒子的体积要固定，比如说是 8 立方米。
那怎么设计这个盒子才能让用料最省呢？设长方体的长、宽、高分别是 a 米、b 米、c 米，那体积 V = abc = 8 。
表面积 S = ab + 2ac + 2bc 。
根据均值定理，ab + 2ac + 2bc ≥ 3׳√(a²b²×4ac×4bc) = 3׳√(16a²b²c²) 。
因为 V = 8 ，所以 c = 8 / (ab) ，代入上式可得ab + 2ac + 2bc ≥3׳√(16×64) 。
当且仅当 ab = 2ac = 2bc 时，等号成立，此时可以求出长、宽、高的具体值，也就得到了用料最省的方案。
均值定理求最值
均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。
它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。
本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。
一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。
在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。
二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。
具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。
2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。
首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。
接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。
均值定理最全讲义
均值不等式一、 要点：明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【二元均值不等式】 依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”【三元均值不等式】依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n(即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)二、分类练习Ⅰ、直接运用1. 已知0x >,0y >，求x yy x+的最小值 2. 已知x,y 同号，求4y xx y+的最小值 3. 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________ 4. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为5. 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ 6. 若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7. 已知x ＞0，y ＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy 的最大值 8. 证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+Ⅱ、整体代入1. 若0x >,0y >,且41x y +=,求41x y+的最小值2. 若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为3. 已知x ＞0，y ＞0，且412x y+=，求4x y +的最小值 4. 已知x y >>00，，且119x y+=，求x y +的最小值5. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值 6. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为7. 已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyxⅢ、换元1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .2、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是 .3、若正实数x ，y 满足，则xy 的最大值是 。
均值定理最值练习题
均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析和物理学中都有广泛的应用。
它是说，如果一个函数在某个区间上连续，并且在该区间上的导数存在，那么在该区间上，函数的平均值等于函数在该区间的两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
在这篇文章中，我们将通过一些具体的练习题来加深对均值定理的理解和应用。
练习题一：设函数f(x) = x^2 - 2x，在区间[0,2]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,2]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为f(2) - f(0) / (2-0) = 2 - 0 / 2 = 1。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,2]上的极值点。
为了找到极值点，我们需要求函数的导数。
函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 1。
这意味着函数在x = 1处可能有极值点。
接下来，我们需要判断x = 1处的极值点是最大值还是最小值。
为了做到这一点，我们可以求函数的二阶导数。
函数f'(x)的二阶导数为f''(x) = 2。
由于f''(x) = 2大于0，这意味着函数在x = 1处有一个局部最小值。
综上所述，函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为f(0) = 0和f(2) = 0。
练习题二：设函数g(x) = sin(x)，在区间[0,π]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,π]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为g(π) - g(0) / (π-0) = 0 - 0 / π = 0。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,π]上的极值点。
均值定理-
均值定理均值定理是高中数学中的一项重要定理，它是微积分中的一个重要定理，也是物理、数学等领域中广泛应用的一个定理。
1. 均值定理的定义均值定理是一个函数在一个区间上平均值与它在这个区间的某一点的函数值相等的定理，可以表示为：$$\\frac{1}{b-a}\\int^{b}_{a}f(x)dx=f(c)$$其中，$f(x)$ 是函数，$[a, b]$ 是函数的一个区间，$c$ 是该区间上的某一点。
2. 均值定理的证明我们可以通过这样的思路来证明均值定理：设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$\\alpha \\lt \\beta \\in [a, b]$，则：$$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{\\alpha}^{\\beta}f(x)dx=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left[\\int_{a}^{\\beta}f(x)dx-\\int_{a}^{\\alpha}f(x)dx\\right]$$由于 $\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{a}^{\\beta}f(x)dx$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a, \\beta]$ 上的平均值，$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{a}^{\\alpha}f(x)dx$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a, \\alpha]$ 上的平均值，则：$$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{\\alpha}^{\\beta}f(x)dx=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left[\\int_{a}^{\\beta}f(x)dx-\\int_{a}^{\\alpha}f(x)dx\\right]=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left(f(\\beta)\\cdot(\\beta-a)-f(\\alpha)\\cdot(\\alpha-a)\\right)$$ 因此，我们可以得到：$$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{\\alpha}^{\\beta}f(x)dx=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left(f(\\beta)\\cdot(\\beta-a)-f(\\alpha)\\cdot(\\alpha-a)\\right)=\\frac{f(\\beta)-f(\\alpha)}{\\beta-\\alpha}$$令 $\\beta=c$，我们就能得到：$$\\frac{1}{b-a}\\int^{b}_{a}f(x)dx=\\frac{f(c)-f(a)}{c-a}$$由于 $f(c)-f(a)$ 可以表示为 $f(c)-f(a)=\\int_{a}^{c}f'(x)dx$，所以我们还可以把均值定理表示为：$$f(c)=f(a)+\\frac{1}{b-a}\\int^{b}_{a}f'(x)dx$$这就是均值定理的另一种形式。
均值定理在求最值中的应用
．
’ ＞则 ＋ ２ ｘ４ ｘ时 等 ． ９ ｘ ．ｏ ｘ 、 ・ ， ＝ 取号・ ＞ ， ≥／ －当 ２ ｏ ． ｙ ≥
根据不等式的性 质 ： ｂ ｏ ’ ａ ＞ ｊ８ ＞
得： （ 下转 ２ ９页） ２
压力容器人孔接管与筒体相焊的焊接质量控制
张 丽 王江 涛 （ 尔滨锅 炉厂 工 业 锅 炉公 司 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ４ ） ５０ ６
＋ｂ ￣
～ … 一 ．
＝ Ｘ ２ ２ｆ
当 ａ ｂ 、 时取等 号 ． ＿＝ ／ ・ ． ａ 例 ４ 求函数 ｙ ＝ 解 ｘ ％２
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】 ：２ ／ ，ｍ 为 （、 ＋ ）
的最小值 （２１ ＋ ｘ ＋ 一 ＋ ２／） １＝ 、 １
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例 ３ 如果 ａ ｂ ａ ： 求 ． ＞ ，ｂ １ ａ ％ｂ
…
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…
一
．
ａ Ｄ －
ｕ ４
解 ： ２ —＋ ２ ａｂ
ａ－ Ｄ
・ ．
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—
（－ ） ２ ｂ ａｂ ａ ２ ＋
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＝
ａ－ Ｄ
（ ） ａ ＋
ａ－ Ｄ
ｂ． ｂｏ （ ｂ ’一 测 ａ ） ・ － ＋
２
≥２
摘 要： 以某 电厂制造 的高压加 热器为例 。 介绍人孔接 管与 简体相焊的质量控制及超 声波检测技术 。 关键词 ： 压力容器； Ｌ 管； ＡＡ 接 筒体相焊 ； 焊接
应在试件 Ｅ 试焊 ， 获得合理的焊接工艺 以 随着压力容器成套装置的高参数、 大型化 、 容器用钢的品种和强度也是 参数，焊材选用 ４ ｍ的焊条 ， ｍ 牌号为 多样化和高强化， 我公司为某电厂制造的高压加热器为例 ， 介绍人孔接管与 Ｅ ５ ５ Ｂ ， ５ － ２焊接工艺如表 ５ １ 。 波检测技术。 ２ 焊接工艺评定。焊接工艺评定是编 ２
均值定理最值练习题
均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了函数在闭区间上的平均值与极值之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对均值定理的理解和应用。
第一道题目是求函数f(x) = x^2在闭区间[0,1]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在该区间上的某个点的函数值。
因此，我们需要找到这个点。
首先，计算函数在该区间上的积分。
由于f(x) = x^2是一个连续函数，我们可以使用定积分来计算它在[0,1]上的积分。
通过求导，我们知道f(x)的原函数是F(x) = (1/3)x^3。
因此，积分的结果是F(1) - F(0) = (1/3) - 0 = 1/3。
接下来，根据均值定理，平均值等于积分结果除以区间的长度。
所以，平均值为 (1/3) / (1-0) = 1/3。
第二道题目是求函数g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值。
根据均值定理，最大值和最小值等于函数在该区间上的某个点的函数值。
首先，计算函数在该区间上的导数。
g'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
通过求导，我们可以找到函数的极值点。
将导数等于零，我们得到6x^2 - 6x - 12 = 0。
解这个方程，我们得到x = -1和x = 2。
这两个点可能是函数的极值点。
接下来，我们需要计算函数在这两个点上的函数值。
g(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2- 12(-1) = -7，g(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = -16。
所以，函数在闭区间[-2,2]上的最大值是-7，最小值是-16。
通过这两道练习题，我们可以看到均值定理在求函数的平均值和极值时的应用。
通过计算函数的积分和导数，我们可以找到函数在闭区间上的平均值和极值点。
均值定理为我们提供了一种简单而有效的方法来解决这些问题，同时也加深了我们对微积分的理解。
2021届高考数学总复习：利用均值定理连续放缩求最值
2021届高考数学总复习：利用均值定理连续放缩求最值【典例】 已知a >b >0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________。
【思路点拨】 先将代数式中第2项的分母利用基本不等式进行变换，再根据结构特征利用基本不等式可求得结果。
【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b (a －b )的最小值为4。
【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法。
【变式训练】 设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝(a 2－ab )＋1(a 2－ab )＋1ab ＋ab ≥2(a 2－ab )·1(a 2－ab )＋21ab ×ab＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号。
故选D 。
答案 D。
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1、凑系数
例1 当0＜x＜4时，求y=x(8－2x)的最值。
5
解：∵0＜x ＜4
∴4-x＞0
∴y=x(8-2x)=2x(4-x)
求积，和必 须为定值
2
x
4
x
2
2
=8
当且仅当x=4-x即x=2时，
ymax 8
6
2、凑项
7
解：∵ x 5 ∴ 4
∴fx4x2 1
54x求是0和定但值积，不需
大家好
1
均值不等式求最值
2
均值定理：
如果a, b∈R+，那么 a b ab
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
ab2 ab积定和最小
ab
a
b
2
和定积最大
2
3
均值不等式是解决最值问题 的有效工具。运用均值不等式求 最值要同时满足条件：一正二定 三相等。多数求最值的问题具有 隐蔽性，需要进行适当变形才能 用均值不等式求解，常见一些变 形技巧如：
(54x凑1项即)可3 。
4x5
54x
2 54x 1 31
54x
∴当且仅当 54x 1 ，即 x 1时，
54x
f x max 1
8
3、代换
例3 已知正数x、y满
足
8 1 1 xy
，求x＋2y的最小
值。
9
解：∵ x0,y0,811
xy
∴ x 2 y x 2 y 换巧 ，妙 凑运8x 积用 为“1y定1”的值代。
3. 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
12
13
Hale Waihona Puke 10 16 y xx
y
10 2 16 y x 10 8 18 xy
10
当且仅当
8
x 16
y
1 y
1 x
x
y
x 12
即
y3
时， x2ymin18
11
练习题：
1.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
2.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x