均值定理求最值
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4
1、凑系数
例1 当0＜x＜4时，求y=x(8－2x)的最值。
5
解：∵0＜x ＜4
∴4-x＞0
∴y=x(8-2x)=2x(4-x)
求积，和必 须为定值
2
x
4
x
2
2
=8
当且仅当x=4-x即x=2时，
ymax 8
6
2、凑项
7
解：∵ x 5 ∴ 4
∴fx4x2 1
54x求是0和定但值积，不需
(54x凑1项即)可3 。
4x5
54x
2 54x 1 31
54x
∴当且仅当 54x 1 ，即 x 1时，
54x
f x max 1
8
3、代换
例3 已知正数x、y满
足
8 1 1 xy
，求x＋2y的最小
值。
9
解：∵ x0,y0,811
xy
∴ x 2 y x 2 y 换巧 ，妙 凑运8x 积用 为“1y定1”的值代。
3. 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
12
13
大家好
1
均值不等式求最值
2
均值定理：
如果a, b∈R+，那么 a b ab
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
ab2 ab积定和最小
ab
a
b
2Fra Baidu bibliotek
和定积最大
2
3
均值不等式是解决最值问题 的有效工具。运用均值不等式求 最值要同时满足条件：一正二定 三相等。多数求最值的问题具有 隐蔽性，需要进行适当变形才能 用均值不等式求解，常见一些变 形技巧如：
10 16 y x
x
y
10 2 16 y x 10 8 18 xy
10
当且仅当
8
x 16
y
1 y
1 x
x
y
x 12
即
y3
时， x2ymin18
11
练习题：
1.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
2.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x
1、凑系数
例1 当0＜x＜4时，求y=x(8－2x)的最值。
5
解：∵0＜x ＜4
∴4-x＞0
∴y=x(8-2x)=2x(4-x)
求积，和必 须为定值
2
x
4
x
2
2
=8
当且仅当x=4-x即x=2时，
ymax 8
6
2、凑项
7
解：∵ x 5 ∴ 4
∴fx4x2 1
54x求是0和定但值积，不需
(54x凑1项即)可3 。
4x5
54x
2 54x 1 31
54x
∴当且仅当 54x 1 ，即 x 1时，
54x
f x max 1
8
3、代换
例3 已知正数x、y满
足
8 1 1 xy
，求x＋2y的最小
值。
9
解：∵ x0,y0,811
xy
∴ x 2 y x 2 y 换巧 ，妙 凑运8x 积用 为“1y定1”的值代。
3. 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
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13
大家好
1
均值不等式求最值
2
均值定理：
如果a, b∈R+，那么 a b ab
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
ab2 ab积定和最小
ab
a
b
2Fra Baidu bibliotek
和定积最大
2
3
均值不等式是解决最值问题 的有效工具。运用均值不等式求 最值要同时满足条件：一正二定 三相等。多数求最值的问题具有 隐蔽性，需要进行适当变形才能 用均值不等式求解，常见一些变 形技巧如：
10 16 y x
x
y
10 2 16 y x 10 8 18 xy
10
当且仅当
8
x 16
y
1 y
1 x
x
y
x 12
即
y3
时， x2ymin18
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练习题：
1.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
2.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x