均值定理求最值
均值定理求最大值公式
均值定理求最大值公式好的，以下是为您生成的文章：咱们在数学的世界里呀，经常会碰到各种各样求解最值的问题。
这时候，均值定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开最值的大门。
先来说说均值定理到底是啥。
简单来讲，对于任意两个正实数 a 和b，都有算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
当且仅当 a = b 时，等号成立。
举个例子哈，比如说咱要围一个矩形的菜园子。
已知菜园子的周长是固定的，比如说 20 米，那怎么围才能让这个菜园子的面积最大呢？这时候均值定理就派上用场啦。
假设这个矩形的长是 x 米，宽就是 (10 - x) 米，那它的面积就是 S = x(10 - x) 。
根据均值定理，x + (10 - x) = 10 ，所以√[x(10 - x)] ≤ 10 / 2 = 5 ，也就是 x(10 - x) ≤ 25 。
当且仅当 x = 10 - x ，也就是 x = 5 时，等号成立，此时菜园子是个正方形，面积最大，就是 25 平方米。
再比如说，咱要生产一批无盖的长方体盒子，每个盒子的体积要固定，比如说是 8 立方米。
那怎么设计这个盒子才能让用料最省呢？设长方体的长、宽、高分别是 a 米、b 米、c 米，那体积 V = abc = 8 。
表面积 S = ab + 2ac + 2bc 。
根据均值定理，ab + 2ac + 2bc ≥ 3׳√(a²b²×4ac×4bc) = 3׳√(16a²b²c²) 。
因为 V = 8 ，所以 c = 8 / (ab) ，代入上式可得ab + 2ac + 2bc ≥3׳√(16×64) 。
当且仅当 ab = 2ac = 2bc 时，等号成立，此时可以求出长、宽、高的具体值，也就得到了用料最省的方案。
均值定理求最值
均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。
它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。
本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。
一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。
在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。
二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。
具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。
2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。
首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。
接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。
均值定理最全讲义
均值不等式一、 要点：明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【二元均值不等式】 依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”【三元均值不等式】依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n(即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)二、分类练习Ⅰ、直接运用1. 已知0x >,0y >，求x yy x+的最小值 2. 已知x,y 同号，求4y xx y+的最小值 3. 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________ 4. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为5. 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ 6. 若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7. 已知x ＞0，y ＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy 的最大值 8. 证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+Ⅱ、整体代入1. 若0x >,0y >,且41x y +=,求41x y+的最小值2. 若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为3. 已知x ＞0，y ＞0，且412x y+=，求4x y +的最小值 4. 已知x y >>00，，且119x y+=，求x y +的最小值5. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值 6. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为7. 已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyxⅢ、换元1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .2、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是 .3、若正实数x ，y 满足，则xy 的最大值是 。
均值定理最值练习题
均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析和物理学中都有广泛的应用。
它是说，如果一个函数在某个区间上连续，并且在该区间上的导数存在，那么在该区间上，函数的平均值等于函数在该区间的两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
在这篇文章中，我们将通过一些具体的练习题来加深对均值定理的理解和应用。
练习题一：设函数f(x) = x^2 - 2x，在区间[0,2]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,2]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为f(2) - f(0) / (2-0) = 2 - 0 / 2 = 1。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,2]上的极值点。
为了找到极值点，我们需要求函数的导数。
函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 1。
这意味着函数在x = 1处可能有极值点。
接下来，我们需要判断x = 1处的极值点是最大值还是最小值。
为了做到这一点，我们可以求函数的二阶导数。
函数f'(x)的二阶导数为f''(x) = 2。
由于f''(x) = 2大于0，这意味着函数在x = 1处有一个局部最小值。
综上所述，函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为f(0) = 0和f(2) = 0。
练习题二：设函数g(x) = sin(x)，在区间[0,π]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,π]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为g(π) - g(0) / (π-0) = 0 - 0 / π = 0。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,π]上的极值点。
均值定理-
均值定理均值定理是高中数学中的一项重要定理，它是微积分中的一个重要定理，也是物理、数学等领域中广泛应用的一个定理。
1. 均值定理的定义均值定理是一个函数在一个区间上平均值与它在这个区间的某一点的函数值相等的定理，可以表示为：$$\\frac{1}{b-a}\\int^{b}_{a}f(x)dx=f(c)$$其中，$f(x)$ 是函数，$[a, b]$ 是函数的一个区间，$c$ 是该区间上的某一点。
2. 均值定理的证明我们可以通过这样的思路来证明均值定理：设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$\\alpha \\lt \\beta \\in [a, b]$，则：$$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{\\alpha}^{\\beta}f(x)dx=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left[\\int_{a}^{\\beta}f(x)dx-\\int_{a}^{\\alpha}f(x)dx\\right]$$由于 $\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{a}^{\\beta}f(x)dx$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a, \\beta]$ 上的平均值，$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{a}^{\\alpha}f(x)dx$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a, \\alpha]$ 上的平均值，则：$$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{\\alpha}^{\\beta}f(x)dx=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left[\\int_{a}^{\\beta}f(x)dx-\\int_{a}^{\\alpha}f(x)dx\\right]=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left(f(\\beta)\\cdot(\\beta-a)-f(\\alpha)\\cdot(\\alpha-a)\\right)$$ 因此，我们可以得到：$$\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\int_{\\alpha}^{\\beta}f(x)dx=\\frac{1}{\\beta-\\alpha}\\left(f(\\beta)\\cdot(\\beta-a)-f(\\alpha)\\cdot(\\alpha-a)\\right)=\\frac{f(\\beta)-f(\\alpha)}{\\beta-\\alpha}$$令 $\\beta=c$，我们就能得到：$$\\frac{1}{b-a}\\int^{b}_{a}f(x)dx=\\frac{f(c)-f(a)}{c-a}$$由于 $f(c)-f(a)$ 可以表示为 $f(c)-f(a)=\\int_{a}^{c}f'(x)dx$，所以我们还可以把均值定理表示为：$$f(c)=f(a)+\\frac{1}{b-a}\\int^{b}_{a}f'(x)dx$$这就是均值定理的另一种形式。
均值定理在求最值中的应用
．
’ ＞则 ＋ ２ ｘ４ ｘ时 等 ． ９ ｘ ．ｏ ｘ 、 ・ ， ＝ 取号・ ＞ ， ≥／ －当 ２ ｏ ． ｙ ≥
根据不等式的性 质 ： ｂ ｏ ’ ａ ＞ ｊ８ ＞
得： （ 下转 ２ ９页） ２
压力容器人孔接管与筒体相焊的焊接质量控制
张 丽 王江 涛 （ 尔滨锅 炉厂 工 业 锅 炉公 司 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ４ ） ５０ ６
＋ｂ ￣
～ … 一 ．
＝ Ｘ ２ ２ｆ
当 ａ ｂ 、 时取等 号 ． ＿＝ ／ ・ ． ａ 例 ４ 求函数 ｙ ＝ 解 ｘ ％２
ａ－ｂ
】 ：２ ／ ，ｍ 为 （、 ＋ ）
的最小值 （２１ ＋ ｘ ＋ 一 ＋ ２／） １＝ 、 １
’ ＋ ． ／１ ’ ＝丁 丽 ＾
例 ３ 如果 ａ ｂ ａ ： 求 ． ＞ ，ｂ １ ａ ％ｂ
…
＂
…
一
．
ａ Ｄ －
ｕ ４
解 ： ２ —＋ ２ ａｂ
ａ－ Ｄ
・ ．
＝
—
（－ ） ２ ｂ ａｂ ａ ２ ＋
— 一
＝
ａ－ Ｄ
（ ） ａ ＋
ａ－ Ｄ
ｂ． ｂｏ （ ｂ ’一 测 ａ ） ・ － ＋
２
≥２
摘 要： 以某 电厂制造 的高压加 热器为例 。 介绍人孔接 管与 简体相焊的质量控制及超 声波检测技术 。 关键词 ： 压力容器； Ｌ 管； ＡＡ 接 筒体相焊 ； 焊接
应在试件 Ｅ 试焊 ， 获得合理的焊接工艺 以 随着压力容器成套装置的高参数、 大型化 、 容器用钢的品种和强度也是 参数，焊材选用 ４ ｍ的焊条 ， ｍ 牌号为 多样化和高强化， 我公司为某电厂制造的高压加热器为例 ， 介绍人孔接管与 Ｅ ５ ５ Ｂ ， ５ － ２焊接工艺如表 ５ １ 。 波检测技术。 ２ 焊接工艺评定。焊接工艺评定是编 ２
均值定理最值练习题
均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了函数在闭区间上的平均值与极值之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对均值定理的理解和应用。
第一道题目是求函数f(x) = x^2在闭区间[0,1]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在该区间上的某个点的函数值。
因此，我们需要找到这个点。
首先，计算函数在该区间上的积分。
由于f(x) = x^2是一个连续函数，我们可以使用定积分来计算它在[0,1]上的积分。
通过求导，我们知道f(x)的原函数是F(x) = (1/3)x^3。
因此，积分的结果是F(1) - F(0) = (1/3) - 0 = 1/3。
接下来，根据均值定理，平均值等于积分结果除以区间的长度。
所以，平均值为 (1/3) / (1-0) = 1/3。
第二道题目是求函数g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值。
根据均值定理，最大值和最小值等于函数在该区间上的某个点的函数值。
首先，计算函数在该区间上的导数。
g'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
通过求导，我们可以找到函数的极值点。
将导数等于零，我们得到6x^2 - 6x - 12 = 0。
解这个方程，我们得到x = -1和x = 2。
这两个点可能是函数的极值点。
接下来，我们需要计算函数在这两个点上的函数值。
g(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2- 12(-1) = -7，g(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = -16。
所以，函数在闭区间[-2,2]上的最大值是-7，最小值是-16。
通过这两道练习题，我们可以看到均值定理在求函数的平均值和极值时的应用。
通过计算函数的积分和导数，我们可以找到函数在闭区间上的平均值和极值点。
均值定理为我们提供了一种简单而有效的方法来解决这些问题，同时也加深了我们对微积分的理解。
2021届高考数学总复习：利用均值定理连续放缩求最值
2021届高考数学总复习：利用均值定理连续放缩求最值【典例】 已知a >b >0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________。
【思路点拨】 先将代数式中第2项的分母利用基本不等式进行变换，再根据结构特征利用基本不等式可求得结果。
【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b (a －b )的最小值为4。
【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法。
【变式训练】 设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝(a 2－ab )＋1(a 2－ab )＋1ab ＋ab ≥2(a 2－ab )·1(a 2－ab )＋21ab ×ab＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号。
故选D 。
答案 D。
巧用均值定理求函数最值
巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。
首先，我们先来了解一下均值定理。
均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。
那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。
因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。
比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。
实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。
当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。
但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。
均值定理的推广和应用
所以函数值域为 9， 。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式
子分开再利用不等式求最值。即化为
y
mg
x
A
gx
BA
0，B
0，gx
恒
正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
问题六：在使用均值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数
f x x a 的单调性。
x
例 5：求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
t
数，故 y 5 。 2
所以，所求函数的值域为
5 2
，
。
问题七：整体代换
例 6：已知 x 0，y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值。 xy
错．解．：
x
0，y
0
，且
1 x
9 y
1x
y
1 x
9 y
x
y
2
9 2 xy
xy 12
故 x y min 12 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在 x y 2 xy 等号成立条件是 x y ，在
均值定理 a2 b2 2ab 的推广及应用
小金县中学校 刘世洪
内容摘要：均值定理在求最值、比较数的大小、函数的值域、求变量的取值范围、
证明不等式、解决实际问题的最优问题方面有广泛的应用。在各年各地的高考试
题中经常见到均值定理的使用，本文就对均值定理的各种变式进行梳理，以问题
的形式对各种变式的应用加以说明和阐述。
例 10.正数 a，b，c 满足 a b c 1，求证： 1 1 1 1 1 1 8 a b c
分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个
应用均值定理求最值得一类误解
应用均值定理求最值得一类误解利用不等式中的均值定理求最值，是数学中的一种常用方法。
但同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了均值定理的条件“一正二定三能等”。
从而造成题目的误解甚至是错解。
下面就两道题目谈一下这类问题的解法。
题目1：已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0∴1=≥=8 (当且仅当x=4y时取等号)∴≤，∴xy≥64题目2: 已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0,且∴xy=2x+8y≥=8∵xy﹥0, ∴≥8(当且仅当x=4y时取等号)∴≥2≥2×8=16.∴的最小值是16.经验证，当x=4y时，得x＝16,y=4∴的最小值是64，的最小值是20,显然，题2的结果是错误的。
错误的原因在哪里呢？在题2的解法中又这样一步，≥2≥2×8=16，第一个等号成立的条件是下x=y,第二个等号成立的条件是x=4y，两个等号不能同时成立，出现错误。
下面给出题2 的正确解法：方法一：∵，∴＝（）（）＝＋2＋8＋≥＋10＝18，当且仅当＋，即x=2y时成立。
方法二：∵＝1，且x﹥0,y﹥0，∴x﹥8,y﹥2，且2x+8y＝∴(x-8)(y-2)=16(定值)，∴(x-8)(y-2) ≥＝8。
当且仅当x-8= y-2时成立。
∴≥18。
方法三：∵＝1，∴。
∵x﹥0,y﹥0，∴x-8﹥0。
∴＝x+=≥,当且仅当x-8= ,即x=12,y=6时等号成立。
∴的最小值为18。
由此看来，两道极其相似的题目，因为所求的结论不同，所应用条件不同，从而使解法各异。
所以同学们在学习的时候一定要对定理的条件加以重视、理解，而不能盲目的死记硬背。
下面给出一道练习，仅供同学们课下参考。
练习：已知x、y是正实数，且。
求的最小值。
答案：（）min＝9。
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧(精)
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1）注意“正数”。
例1、求函数的值域。
误解：（仅当时取等号），所以值域为。
这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。
（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要，这样的不存在，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。
所以。
例3、误解：所以的最大值为。
这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：仅当时取等，所以。
如取（3）注意“定值”例4、已知。
误解：，。
以上过程只能说明当。
但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：，所以仅当。
二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。
解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。
（2）裂项例6、设，求函数的最小值。
解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。
（3）添项例7、求函数的最小值。
解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。
所以当。
例8、若.的最小值。
解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。
期末章节复习攻略：均值定理、一元二次不等式的解法
期末章节复习攻略➢ 均值定理：又称“基本不等式”，在求最值问题中有十分频繁的运用.❖ 均值定理的公式.定义若()R a a ∈≥02，则()R b a ab b a ∈≥+,222，当且仅当b a =时等号成立. 定义若0>a ，0>b ，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时等号成立. 定义若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+，当且仅当b a =时等号成立.定义若0>a ，0>b ，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，当且仅当b a =时等号成立. 【注意】利用均值定理求最值时，一定要紧扣一正、二定、三相等这三个条件，即每项都是正值、和或积为定值、所有的项可同时取等值.★【积固定类问题】【例1】若0>x ，0>y ，且9=xy ，则y x 2+的最小值为 .【同步巩固】若0>x ，0>y ，且6=xy ，则y x 23+的最小值为 .★【和固定类问题】【例2】若0>x ，0>y ，且92=+y x ，则xy 的最大值为 .【同步巩固】若0>x ，0>y ，且122=+y x ，则xy 3的最大值为 .【例3】若100<<x ，则()x x -10的最 值为 .【变式训练】若50<<x ，则()x x 210-的最 值为 . ★【“x x 1+”型问题】 【例4】若0>x ，则xx 1+的最 值为 . 【例5】若0<x ，则xx 1+的最 值为 . 【变式训练1】若0>x ，则xx 42--的最 值为 . 【变式训练2】若1>x ，则14-+x x 的最 值为 . 【变式训练3】若0<x ，则xx 42--的最 值为 . ★【其他类型问题】【例6】若0>x ，0>y ，且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 .➢ 一元二次不等式的解法❖ 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系.❖ 一元二次不等式与一元二次方程的关系：【注意】对一元二次不等式先检查二次项系数a ，若0<a ，先两边乘以“1-”，化二次项系数大于0.【例1】已知不等式032≤+-bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤231x x ，求a ，b 的值. 【例2】已知对任意R x ∈，不等式022<+-m x mx 恒成立，求m 的取值范围.【同步巩固1】已知不等式052≤+-bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤251x x ，求b a +. 【同步巩固2】已知不等式()042≤+-+m x m mx 的解集为R ，求实数m 的取值范围.。
均值定理
§2.2 均值定理.2．会用均值定理求最值和证明不等式. .一．均值定理：ab b a ≥+2，其中,,+∈R b a 当且仅当b a =时取等号； 注：注意运用均值不等式求最值时的条件：（1）0,0>>b a ；（2）a 与b 的积ab 是一个定值（正数）；（3）当且仅当b a =时取等号.记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.二、重要不等式（1）0)(2≥+b a ；（2）a b ab 222+≥， 其中a b R ，，∈当且仅当b a =时取等号.三． b a b a b a +≤±≤-||||1）如果8,0,0=+>>y x y x ，则xy 的最大值是 ；（2）如果9,0,0=>>xy y x ，则y x +的最小值是 .分析：两题显然都可以用均值定理求解.解：（1）16)28()2(22==+≤y x xy 当且仅当4==y x 时，xy 有最大值4.（2）6922==≥+xy y x当且仅当3==y x 时，y x +取最小值6. 【点评】（1）若+∈R y x ,，且k y x =+（常数），则2)2(k xy ≤； （2）若+∈R y x ,，且k xy =（常数），则k y x 2≥+.【例2】 当40<<x 时，求)28(x x -的最大值.分析：),4(2)28(x x x x -=-由于4)4(=-+x x 为定值，且依题意有04,0>->x x ，故可用均值定理，求最值.解：∵40<<x ,∴04,0>->x x8)24(2)4(2)28(2=-+≤-=-x x x x x x 当且仅当x x -=4, 即2=x 时，)28(x x -取最大值8.【例3】当1>x 时，求函数11-+=x x y 的最小值.分析： 111111+-+-=-+=x x x x y ，由于111)1(=-⨯-x x 为定值，且依题知01>-x ，故可用均值定理求最值.解：∵1>x ，∴01>-x3111)1(2111111=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y 当且仅当111-=-x x ，即2=x 时，11-+=x x y 取最小值3. 【例4】求函数)0(,322>+=x x x y 的最小值，下列解法是否正确？为什么？ 解法一： 3322243212321232=⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解法二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=，当x x 322=，即2123=x 时， ∴633min 3242123221262==⋅=y 答：以上两种解法均有错误。
如何使用均值定理求函数的最值
均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。
因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。
我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。
下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。
1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。
解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。
又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。
点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。
例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。
因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。
因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。
因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。
均值定理在求最值中的应用
例 ５ 已知 ＋ 一 （ ０ｙ ｏ ， ｘ 的最小值 ２ｘ ， ）求 ｙ ＞ ＞
ｘ
穹 鱼 ｘ 小ｘ＋－ ＝ ＋ （） ＋ －Ｅ ２ １＿ ｘ
＞ ｏ
解‘，．｝ ≥／・＿ ＞ ｏ０ ＋ ２ ’ ２ ０ 】ｙ ・ 、 、 。 ‘＞２ ＞ ・ ‘ ． ＝ ｙ Ｖ ／
ｘ ｌ ％
＝
．
例 ４ 求函数 ｙ ＝
的最／值 Ｊ 、
脚
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＝
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单
＋ 丽１
＂ＥＲ， Ｘ 都有 ｘ≥Ｏ 贝 ｘ ｌ ， Ⅱ ２ ≥１ ＋
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Ｌ ≥１当 ｘ０ ＝ 时取等号 ’ｙ ． ≥ｌ ． ． ２ ／ Ｔ－ Ｘ－ … … 。 … ￣ 一 …
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．
普＋２ ８ ≥ ｂ
当 扛、 取 号． ｝的 值 间 ：、 ， ） ／ 时 等 ・ ． 取 区 为 ／ ＋
了均值定理在解题中的运用 。经过适当 练习， 记住使用条件 ， 相信大部分学生都可以理解和掌握 。
（ 上接 ８ ４页 ） 助学 生理解概 念 、 进行 自主学 习 的环境 ， 激发 学生 主动 计算 等等它们 的正确 与否对 企业将 产生重 大影 响 ， 以会 计人员 不愿让 所 探索 的愿望。 网络 和课件为学 生提供充 分 自主学 习的手段 ， 也应是 现代 实 习学生亲 自操作 ， 往使得 社会 实践流 于形式 。在模拟 实验 的手工操 往 教育技 术努力和发展 的方 向。 作 中， 以班为单 位派专 职教师 辅导 ， 每个学 生做一 套账 ， 条件 的还 可 以 有 设计一 个模 拟银 行 和税务 局使 学 生对结 算业 务 和报税 程序有 更好 的 了 ２４ 虚 拟 现 实 教 学 ．
几何平均数的应用
几何平均数的应用1．利用均值定理可以求函数或代数式的最值问题：切记：一正二定三相等⑴当a ，b 都为正数，且ab 为定值时，有a ＋b ≥ab 2 (定值)，当且仅当a = b 时取“=”号，此时a ＋b 有最小值；⑵当a ，b 都为正数，且a ＋b 为定值时，有ab ≤4)(2b a + (定值)，当且仅当a = b 时取“=”号， 2．典型函数模型：1．一正二定三取等 积定和最小 和定积最大1．)0(1≠+=x x x y 的值域是_____________2．函数)21(4294>--=x x x y 的最小值是__________ 3．求函数y=2322++x x 的最小值是__________4．若lg x ＋lg y ＝2，则yx 11+的最小值为 5．若正数y x ,满足12=+y x ，则y x 11+的最小值是 6．.函数y=⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+4,0,sin 1sin πx x x 最小值是 7．若x>0, 函数f(x)=122+x x 的值域是_ . 8．已知M=a+)32(21<<-a a ,N=)161(log 221+x ,x R ∈，则M,N 大小关系是 . 9．下列函数中最小值为2的值是（ ）A y=2322++x x B y=)1(11≥+x x C y=24-+xx D y=x x +1 (x<0) 10.设b a ,为实数且,3=+b a 则b a 22+的最小值是_ .11．)11)(11(,10,022--=+>>ba b a b a 则且的最小值是_ . 12．一个直角三角形的周长为2P ，其斜边长的最小值是_ . 13．设y x xy y x R y x +=++∈+求且,2,,的最小值.是_ .14．若x>0, 函数f(x)=122+x x 的值域是_ .15．设0<x<1，a,b 为正常数，则xb x a -+122的最小值是_ . 16．已知0<x<41, 当x=_______时，y=)41(x x -的最大值为__________. 17．直角三角形三边之和为1, 则三角形的最大面积是_________.2．几何平均数的应用1．设y x xy y x R y x +=++∈+求且,2,,的最小值. 2．设2)(4,4,0,022-+-=+≥≥y x xy y x y x 求且的最小值.3．若正数a ，b 满足ab = a + b +3，求ab 的取值范围.4．已知对于x 的方程a x ax 求有解,1)2lg()2lg(=---的取值范围.5．已知1≤x 2+y 2≤2，则x 2+xy+y 2的取值范围_________________.6．已知x 2+y 2=4，则2x+3y 的取值范围_________________.。
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1、凑系数
例1 当0＜x＜4时，求y=x(8－2x)的最值。
5
解：∵0＜x ＜4
∴4-x＞0
∴y=x(8-2x)=2x(4-x)
求积，和必 须为定值
2
x
4
x
2
2
=8
当且仅当x=4-x即x=2时，
ymax 8
6
2、凑项
7
解：∵ x 5 ∴ 4
∴fx4x2 1
54x求是0和定但值积，不需
大家好
1
均值不等式求最值
2
均值定理：
如果a, b∈R+，那么 a b ab
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
ab2 ab积定和最小
ab
a
b
2
和定积最大
2
3
均值不等式是解决最值问题 的有效工具。运用均值不等式求 最值要同时满足条件：一正二定 三相等。多数求最值的问题具有 隐蔽性，需要进行适当变形才能 用均值不等式求解，常见一些变 形技巧如：
(54x凑1项即)可3 。
4x5
54x
2 54x 1 31
54x
∴当且仅当 54x 1 ，即 x 1时，
54x
f x max 1
8
3、代换
例3 已知正数x、y满
足
8 1 1 xy
，求x＋2y的最小
值。
9
解：∵ x0,y0,811
xy
∴ x 2 y x 2 y 换巧 ，妙 凑运8x 积用 为“1y定1”的值代。
3. 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
12
13
Hale Waihona Puke 10 16 y xx
y
10 2 16 y x 10 8 18 xy
10
当且仅当
8
x 16
y
1 y
1 x
x
y
x 12
即
y3
时， x2ymin18
11
练习题：
1.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
2.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x