数学建模初等模型
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数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
几种初等数学模型方法
黄冈职业技术学院
简单的几何模型
数学模型中有一种几何模型，这类模型 的建立往往通过初等方法来实现。
数学建模中几种简单的数学方法 实验观测、抽象分析、鸽笼原理、 估算方法、奇偶校验法、转化处理
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1 观测实验和抽象分析
欧拉多面体问题: 一般凸多面体的面数 F、顶点数V和边数E之间有何关系？
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五面体图形
F=5,V=5,E=8
F= 5,V= 6,E=9
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六面体图形
F=6,V=8,E=12
F=6,V=6,E=10
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七面体图形
F=7,V=7,E=12
F=7,V=10,E=15
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观察法、抽象分析的说明
（1）用观察、归纳法发现数学定理（建立模 型）是一种重要而常用方法。数学需要观察， 还需要实验（欧拉）。 （2）观察法得到的结果需要严格证明，否 则猜想会铸成错误。例如17世纪费马（16012n 1655）对公式 f 2 1
分别简化为
( x1 x3 ) , ( x2 x4 ) , ( x3 x1 ) , ( x4 x2 ) .
第三次操作后得到的 4 枚棋子可表示为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) , ( x2 x4 ) ( x3 x1 ) , ( x3 x1 ) ( x4 x2 ) , ( x4 x2 ) ( x1 x3 )
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奇偶检验法的思考题
思考题1 设一所监狱有64间囚室，其排列 类似8×8棋盘，看守长告诉关押在一个 角落里的囚犯，只要他能够不重复地通 过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻 囚室间都有门相通），他将被释放 。问 囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的 排列共72间，将会出现什么情况？
简单的几何模型
数学模型中有一种几何模型，这类模型 的建立往往通过初等方法来实现。
数学建模中几种简单的数学方法 实验观测、抽象分析、鸽笼原理、 估算方法、奇偶校验法、转化处理
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1 观测实验和抽象分析
欧拉多面体问题: 一般凸多面体的面数 F、顶点数V和边数E之间有何关系？
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五面体图形
F=5,V=5,E=8
F= 5,V= 6,E=9
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六面体图形
F=6,V=8,E=12
F=6,V=6,E=10
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七面体图形
F=7,V=7,E=12
F=7,V=10,E=15
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观察法、抽象分析的说明
（1）用观察、归纳法发现数学定理（建立模 型）是一种重要而常用方法。数学需要观察， 还需要实验（欧拉）。 （2）观察法得到的结果需要严格证明，否 则猜想会铸成错误。例如17世纪费马（16012n 1655）对公式 f 2 1
分别简化为
( x1 x3 ) , ( x2 x4 ) , ( x3 x1 ) , ( x4 x2 ) .
第三次操作后得到的 4 枚棋子可表示为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) , ( x2 x4 ) ( x3 x1 ) , ( x3 x1 ) ( x4 x2 ) , ( x4 x2 ) ( x1 x3 )
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奇偶检验法的思考题
思考题1 设一所监狱有64间囚室，其排列 类似8×8棋盘，看守长告诉关押在一个 角落里的囚犯，只要他能够不重复地通 过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻 囚室间都有门相通），他将被释放 。问 囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的 排列共72间，将会出现什么情况？
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y(ta2n )xb（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令： ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
解得： Ta1 2 k1(lk1kl2)d/(T k12d)T2
k1T1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 21 dT2 k1d2T 1k 1lT2 k2d
f(h)
室 外
T2
室1 0.9内
类似有
k1
T1 T2 2d
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
数学建模-初等优化模型简介
优化模型二 货机装运问题
某架货机有三个货舱：前 舱、中舱、后舱。三个货舱 所能装载的最大重量和体积 都有限制。为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载 货物的重量与其最大容许重 量成比例。现有四类货物供 该货机本次飞行装运，其有 关信息如右表。应如何安排 装运，使该货机本次飞行获 利最大？ 前舱 中舱 后舱
优化模型四 选课问题
某学校规定，运筹学专业的学生毕业时至少要学 习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机。这 些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程 由下表给出，那么毕业时学生最少可以学习这些课 程中的哪些课程。 如果某个学生既希望选修的课程数量少，又希望 所获的学分多，他可以选修哪些课程。
求量300千吨，此时水库供水量不能全部卖出，因 而不能将获利最多问题转化成引水管理费用为最少 的问题。 为此，我们首先计算A、B、C三个水库向各居 民区供应每千吨水的净利润，即从收入900元中减 去其它管理费用450元，再减去引水管理费用，得
净利润元/千吨 A B C 甲 290 310 260 乙 320 320 250 丙 230 260 220 丁 280 300 ---
利用数学建模方法来处理一个优化问题 第一步：需要确定优化的目标； 第二步：确定需要做出的决策； 第三步：写出决策需要受哪些条件的限制。 在建模的过程中，需要对实际问题作若干合理的 简化假设。 然后用相应的数学方法去求解。 最后对结果作一些定性、定量的分析和必要的检 验
优化模型一
生产安排问题
某工厂有三种原料 B1，B2，B3，其储量 分别170kg,100kg和 原料 150kg；现用来生产A1， 产品 A2两种产品；每单位 A1 产品的原料消耗量及各 产品的单位利润由右表 A2 给出，问工厂在现有资 资源限额 源的条件下，应如何安 排生产，可使工厂获利 最多？
数学建模初等模型
L k1 k 2 ( B k3
2
K k1k 2 k3
2
2 3
) 3 KB 3
2 3
显然，K越大则成绩越好，故可用 L LB 比赛成绩的优劣。
来比较选手
模型4（O’ Carroll公式）
经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可 信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。1967年，O’ Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的 公式。O’ Carroll模型的假设条件是： (1) L=k1Aa, a<1 k越大成绩越好。因而建议 1 (2) A=k2lb, b<2 根据的大小 L L(B 35) 3 (3) B-Bo =k3l3 来比 较选手成绩的优劣。 假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O’ Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
h
1 2
gt
2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv F m mg Kv dt g kt 令k=K/m，解得 v ce
根据三条假设可
得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，
1 3 故有： k (B 35) L
β
1 3
ab 3
2 3
此外，根据统计结果，他 得出B0≈35公斤， β
2
K k1k 2 k3
2
2 3
) 3 KB 3
2 3
显然，K越大则成绩越好，故可用 L LB 比赛成绩的优劣。
来比较选手
模型4（O’ Carroll公式）
经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可 信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。1967年，O’ Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的 公式。O’ Carroll模型的假设条件是： (1) L=k1Aa, a<1 k越大成绩越好。因而建议 1 (2) A=k2lb, b<2 根据的大小 L L(B 35) 3 (3) B-Bo =k3l3 来比 较选手成绩的优劣。 假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O’ Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
h
1 2
gt
2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv F m mg Kv dt g kt 令k=K/m，解得 v ce
根据三条假设可
得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，
1 3 故有： k (B 35) L
β
1 3
ab 3
2 3
此外，根据统计结果，他 得出B0≈35公斤， β
初等数学模型(一PPT课件
数学建模的意义
1、培养创新意识和创造能力 2、训练快速获取信息和资料的能力 3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能 4、培养团队合作意识和团队合作精神 5、增强写作技能和排版技术 6、荣获国家级奖励有利于保送研究生 7、荣获国际级奖励有利于申请出国留学 8、更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式
数学建模应当掌握的十类算法
• 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据 可以是连续的，而计算机只 认的是离散的数据，因此将 其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非 常重要的）
• 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程 的话，那一些数值分析中常 用的算法比如方程组求解、 矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调 用）
• 模型应用：应用方式因问题的性质和建模 的目的而异。
应该注意的是：数学建模不只是数学成绩好的
学生的专利，我们每个同学都能利用所学的数学 知识建立相应的模型解决一些实际问题的。同时 数学建模遵循简单化原则：也就是建立的模型越 简单越好，并不一定需要高深的数学知识。数学 建模需要创新精神，需要创造，需要有奇异的想 法，没有不能做，只有不敢想，我们同学的年龄 正处在异想开天的时段，正是进行数学建模的黄 金时段，发挥我们的优势，拼搏一下又没有多少 损失，充其量就是牺牲了一定的休息时间吧！不 尝试谁也不知道自己有没有这方面的长处的！当 然数学建模也培养同学们的团队合作精神，考验 团队的集体智慧！
• 模型求解：利用获取的数据资料，对模型 参数做出计算（或近似计算）或估计。
• 模型分析：对所得的结果进行数学分析。
• பைடு நூலகம்型检验：将模型分析的结果与实际情形 进行比较，以此来验证模型的准确性、合 理性和适用性。如果模型与实际较吻合， 则要对计算结果给出其实际含义，并进行 解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修 改假设，再次重复建模过程。
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23
数学建模培训初等模型
人口增长模型
总结词
人口增长模型是用来描述人口随时间变化的 规律和趋势的数学模型。
详细描述
该模型通常由一组微分方程组成，表示人口 在不同年龄和性别的增长率。通过求解这组 微分方程，可以预测未来人口数量和结构的 变化，为政策制定提供依据。
经济增长模型
总结词
经济增长模型是用来描述一个国家或地区经 济随时间变化的规律和趋势的数学模型。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
求解模型
运用数学方法和计算工具对建 立的模型进行求解。
明确问题
首先需要明确建模的目标和问 题，理解实际问题的背景和需 求。
建立模型
根据问题的特点和收集的数据， 选择合适的数学模型进行建模。
验证与优化
对求解结果进行验证，并根据 实际情况对模型进行优化和改 进。
建立数学模型的步骤
收集数据
根据问题收集相关数据，包括 实验数据、观测数据、统计数 据等。
02
它能将现实世界中的问题转化为 数学问题，并运用数学方法进行 求解，进而对现实世界的问题作 出预测和决策。
什么是数学建模
01
数学建模是运用数学语言和方法 ，通过抽象、简化建立能近似刻 画并解决实际问题的一种强有力 的数学手段。
数学建模_初等模型
模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
数学建模 第一章 初等模型
2 2
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即
kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即
kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB
初等模型-数学模型
几何模型
01
02
03
平面几何
平面几何是几何模型的基 础，通过点、线、面等基 本元素描述实际问题，如 三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间 中物体形状和位置关系的 数学模型，如长方体、球 体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转 化为代数问题的数学模型， 通过代数方法解决几何问 题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能 ，可以提高决策的科学性和准确性。通过 数学模型的建立和应用，可以解决实际问 题，推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广，提高其在社 会、经济、科技等领域的认知度和影响力 。同时，加强国际交流与合作，推动数学 模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程， 解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势， 可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风 险和回报，帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物 流和运输，降低成本并提高效率。
01
02
03
04
解析法
通过数学公式推导求解，适用 于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解，适用于大 多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解，适用于难 以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解，适用于难 以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据 进行验证，确保模型的准确性。
数学建模中的初等模型
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
y0=s2y
y=y0/s2
分析 模型 x<y, y= y0+(1-s)x
x=y, y=y0/s
x=a y,
y
y0 sa
y0 sx/ y
y
x=y
x=2y
y<x<2y, y y0 1 s x s(2 s) 2 s
初等模型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
1. 双层玻璃窗的功效
室
室
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层
内 T1
平衡点PP´
xm xm , ym ym
y
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm , ym )
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.
乙安全线y=f(x)不变 y
甲方残存率变大
威慑值x 0不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近
x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 s~残存率
利用微积分知识可知 y是一条上凸的曲线，且
y=f(x)
y0 0
• y0变大，曲线上移、变陡. • s变大，y减小，曲线变平.
x
模型解释
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.
乙方威慑值 y0变大 （其他因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移
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模
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
正方形ABCD
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
绕O点旋转
理学院
模型构成
黑 龙
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
江
科
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
技
学 院
椅子在任意位置
至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大
收益？
数
学 建
解：每天的总收益为想二一元想函高数等：数学中二
模
f x, y x 30元函70数求5x最值4y的方法y 4080 6x 7y
技
续依赖于角 的变化，记为
学
院 令： f S1 S2
S1 , S2
数 而f 在 0,0 上连续，且
学 建
f 0 S1 0 S2 0 0
只证明了直线的存在性
模 f 0 S1 0 S2 0 0 你能找到它么？
学
12.5 ≤x<13时，按13km计价；
建
例如，等候时间t(min)满足
模
2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
理学院
请回答下列问题
黑 龙
• 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。
江 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？
学 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
院 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
数 学
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
建 评注和思考
理学院
2.1 生活中的问题
黑
龙 2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
江
科 技
问题分析
通常 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
学
院
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
数型
学假
建 模
设
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
学 院
S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)
左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？
一般地，连续函数在区间上
数
此题是求函的数平s(均t)值在，区等间于函数在此区
学 解 ：平均车辆行【驶1，速6】度间内为上的的平定均积值分除以区间长度。
建
模
1 6 stdt 1 6 2t3 21t2 60t 40 dt 78.5km/ h
模
R't Q''最t大值6t 18 0
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00，
工人的工作效率最高。
理学院
最大利润问题
黑
龙
江
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌
科 子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，
技 学 院
p f 1Q0 pq
理学院
（5） 收益函数： 黑
R Rq qpq
龙
江 科
（6） 利润函数：
Lq RqCq
技
学 院
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
数
（8） 边际收益函数：
学
Rm R'q
建
模 （9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
模
建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院
2.1.2 分蛋糕问题
黑 妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的
龙 江
蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点
科 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下
技 学
的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给
院 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
科 等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出 技
学
Q(t)=-t3+9t2+12t
院 个晶体管收音机。
数
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率为
学
建
解：工人的生产率为产Q’量R(t)Qt，关则于Q问时' 题t间转t的化3变为t 2化求率Q18’：(tt)的12
A0ekt
学
建 设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：
模
y A0ekt
理学院
海报设计问题
黑 龙 现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 江 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何
科 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
技 学 院
s 这2个x 问4题y可用4求一2 元 函2x数最4值的12方8法解8决 x
你知已道知他平用面的上是一什条没么有办交法叉吗点？的
数
封闭曲线，P是曲线所围图形上
学
任一点，求证：一定存在一条过
建 模
P的直线，将这图形的面积二等 分。
理学院
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
黑 龙 江
S1 P P
l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 ) 以点P为旋转中心，将l按逆时
科
S2 ?
针方向旋转，面积S1，S2就连
院
Q(t)=10000-2000t
将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间
数 【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中，
学
每公斤贮存费用=0.01 △t
建
第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)△t
模
由定积分定义：
n
总的贮存费= 0.01Q t j t j 1
院
2.3最值问题中的初等模型
数
2.4积分问题中的初等模型
学
建
模
理学院
细菌繁殖问题
黑
龙 江
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时
科 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。
技 学
1.建立细菌繁殖的数学模型。
院 2近.假似设数一据种。细天菌数的个数按指数细方菌式个增数长，下表是收集到的
科 • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
技
学 院
解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2
元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
数 学
10
y1 10 x 41.6
0x4 4 x 15
建 模
10 x 5 2.4 15 41.6
数
5
936
学 求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长
建 下去，假定细1菌0 无死亡，60天2后19细0 菌的个数大概是多少？
模
由于细菌的繁殖时连续变化的，
在很短的时间内数量变化得很小，
繁殖速度可近似看做不变。
理学院
解:建立数学模型
黑 将时间间隔t分成n等分，在第一段时间
内，细菌繁殖的数
院
解：板上任一点（x,y）处的温度为
数
Tx, y
k
学
x2 y2
建 模
我学过高等数学，我可以g做ra得dT更 好 ，kx
呵呵
x2 y2
3 i
2
ky x2 y2
3 2
j
gradT 3，2
3k
3
i
2k
3
j
13 2 13理2学院
黑
龙
江
科
技 学
2.2极限问题中的初等模型
理学院
模型构成
黑 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
龙
江 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
科 技 学
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B
´
B
A´
院 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
Байду номын сангаас
数 四个距离 学 (四只脚)
建
距离是的函数 C
正方形 对称性
两个距离
C´
A
O
x
D´ D
总贮存费=
5
0
0.01Qt dt
1 0.01 10000
0
2000t dt
250元
理学院
车辆平均行驶速度问题
黑
龙 江 科
某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平 均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1：
技 00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：
由零点定理得证。
理学院
2.1.3出租车收费问题
黑
龙 江 科
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程