数学建模初等模型

你知已道知他平用面的上是一什条没么有办交法叉吗点？的
数
封闭曲线，P是曲线所围图形上
学
任一点，求证：一定存在一条过
建 模
P的直线，将这图形的面积二等 分。
理学院
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
黑 龙 江
S1 P P
l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 ) 以点P为旋转中心，将l按逆时
科
S2 ?
针方向旋转，面积S1，S2就连
p f 1Q0 pq
理学院
（5） 收益函数： 黑
R Rq qpq
龙
江 科
（6） 利润函数：
Lq RqCq
技
学 院
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
数
（8） 边际收益函数：
学
Rm R'q
建
模 （9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
科 • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
技
学 院
解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2
元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
数 学
10
y1 10 x 41.6
0x4 4 x 15
建 模
10 x 5 2.4 15 41.6
数 学
数学 已知： f() , g()是连续函数 ;
建
问题
对任意， f() • g()=0 ;
模
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院
模型求解
黑 给出一种简单、粗糙的证明方法
龙 江 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 科 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 技
如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大
收益？
数
学 建
解：每天的总收益为想二一元想函高数等：数学中二
模
f x, y x 30元函70数求5x最值4y的方法y 4080 6x 7y
由零点定理得证。
理学院
2.1.3出租车收费问题
黑
龙 江 科
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程
技 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记
学 一次价。
院
例如，当行驶路程x（km）满足
数
12≤x<12.5时，按12.5km计价；当
总贮存费=
5
0
0.01Qt dt

1 0.01 10000
0

2000t dt

250元
理学院
车辆平均行驶速度问题
黑
龙 江 科
某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平 均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1：
技 00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：

A0ekt
学
建 设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：
模
y A0ekt
理学院
海报设计问题
黑 龙 现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 江 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何
科 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
技 学 院
s 这2个x 问4题y可用4求一2 元 函2x数最4值的12方8法解8决 x
学 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
院 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
数 学
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
建 评注和思考
数学建模
（Mathematical Modeling)
黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室
黑
龙
江
科
技
学 院
第二章 初等模型
数 学 建 模
理学院
第二章 初等模型
黑
龙
江
生活中的问题
科
技
极限、最值、积分问题的初等模型
学
院
经济问题中的初等模型
数
线性代数模型
学
建模举例
建
模 重点:各种简单的初等模型
难点:简单初等模型的建立和求解
理学院
模型构成
黑 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
龙
江 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
科 技 学
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B
´
B
A´
院 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
数 四个距离 学 (四只脚)
建
距离是的函数 C
正方形 对称性
两个距离
C´
A
O
x
D´ D
y2

0.8
t 2.5
15 x
理学院
数学模型为
黑
龙
江
10
科 技
y y1 y2 10 x 41.6
学 院
10 x 52.4 15 41.6
0x4
4 x 15 15 x

0.8
t 2.5
令
f
x
'

0，f
' y百度文库
0
，则有驻点x=53,y=55
判断可知（53，55）为最大值点。
理学院
商品的贮存费问题
黑 龙 江
一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月 2000公斤运走，要用5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤
科 0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？
技 学 解 ：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则
最小
令此式对x的导数为0，解得：
2
数 学 建x 模
y
其中
x=16,此时y=8,可使空白面积 思考：最若小海。报改为左右两栏，横
1 s'' 0向粘贴，印刷面积为180平方分米， 要求四周留下空白宽2分米，留1分米
宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总
空白面积最小?
理学院
工人上班效率问题
黑
龙
江
对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中
数
学
建
模
计算起来很简单。
理学院
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
黑 龙
一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1），
江 （5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火
科 焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到
技 原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁
学 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？
模
R't Q''最t大值6t 18 0
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00，
工人的工作效率最高。
理学院
最大利润问题
黑
龙
江
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌
科 子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，
技 学 院
技
续依赖于角 的变化，记为
学
院 令： f S1 S2
S1 , S2
数 而f 在 0,0 上连续，且
学 建
f 0 S1 0 S2 0 0
只证明了直线的存在性
模 f 0 S1 0 S2 0 0 你能找到它么？
模
建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院
2.1.2 分蛋糕问题
黑 妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的
龙 江
蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点
科 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下
技 学
的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给
院 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
理学院
2.1 生活中的问题
黑
龙 2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
江
科 技
问题分析
通常 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
学
院
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
数型
学假
建 模
设
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
院
2.3最值问题中的初等模型
数
2.4积分问题中的初等模型
学
建
模
理学院
细菌繁殖问题
黑
龙 江
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时
科 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。
技 学
1.建立细菌繁殖的数学模型。
院 2近.假似设数一据种。细天菌数的个数按指数细方菌式个增数长，下表是收集到的
技 按每台88元的价格购进300台L）=(p。-6但0)最x 低价格为75元/台。 学 （1）建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。 院 （2）建立利润L与订购量x的数学模型。
模
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
正方形ABCD
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
绕O点旋转
理学院
模型构成
黑 龙
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
江
科
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
技
学 院
椅子在任意位置
至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
61 1
61 1
理学院
2.5 经济问题中的初等模型
黑
龙 江 科
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
技 学 院
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
数
（2） 供给函数：
学
建 模
（3） 需求函数：
Qs f p
Q0 gp
（4） 价格函数：
学
12.5 ≤x<13时，按13km计价；
建
例如，等候时间t(min)满足
模
2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
理学院
请回答下列问题
黑 龙
• 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。
江 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？
院
Q(t)=10000-2000t
将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间
数 【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中，
学
每公斤贮存费用=0.01 △t
建
第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)△t
模
由定积分定义：
n
总的贮存费= 0.01Q t j t j 1
理学院
例1
黑 龙 江 科
某品牌收音机每台售价90元，成本为60元，厂家为鼓励 销订比售购10商一0台大台多量，2采售00购价台， 就，决降每6于0定低元台是凡1之利每分是差润台（订，是就例购所实降如量以际价某超售0商.过价0行11p×订0与02购台成003以本=02上0元台的，，，商订每行购多可量
学 院
S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)
左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？
一般地，连续函数在区间上
数
此题是求函的数平s(均t)值在，区等间于函数在此区
学 解 ：平均车辆行【驶1，速6】度间内为上的的平定均积值分除以区间长度。
建
模
1 6 stdt 1 6 2t3 21t2 60t 40 dt 78.5km/ h
院
解：板上任一点（x,y）处的温度为
数
Tx, y
k
学
x2 y2
建 模
我学过高等数学，我可以g做ra得dT更 好 ，kx
呵呵
x2 y2
3 i
2
ky x2 y2
3 2
j
gradT 3，2
3k
3
i
2k
3
j
13 2 13理2学院
黑
龙
江
科
技 学
2.2极限问题中的初等模型
龙 江 科 技 学 院
量第时为二间段末kA时细0 n间菌t ，末的在细数第菌量一的为段数A时0量1间为k末nt A细n0，菌1经的k nt过数2；时量以间为此t后A0类，1推细k，nt菌最，的后同总一样数段，是
数
lim
n
A0
1

k
t n
n
科 等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出 技
学
Q(t)=-t3+9t2+12t
院 个晶体管收音机。
数
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率为
学
建
解：工人的生产率为产Q’量R(t)Qt，关则于Q问时' 题t间转t的化3变为t 2化求率Q18’：(tt)的12
数
5
936
学 求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长
建 下去，假定细1菌0 无死亡，60天2后19细0 菌的个数大概是多少？
模
由于细菌的繁殖时连续变化的，
在很短的时间内数量变化得很小，
繁殖速度可近似看做不变。
理学院
解:建立数学模型
黑 将时间间隔t分成n等分，在第一段时间
内，细菌繁殖的数