整数规划和多目标规划模型及应用
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
数学规划及其应用
目录
• 数学规划概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 整数规划 • 多目标规划 • 动态规划
01
数学规划概述
定义与分类
定义
数学规划是运筹学的一个重要分 支，主要研究在一定约束条件下 ，如何优化一个或多个目标函数 。
分类
根据目标函数和约束条件的不同 ，数学规划可以分为线性规划、 非线性规划、整数规划、动态规 划等。
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逐步逼近原问题的最优解。
割平面法
02
通过添加割平面方程来限制决策变量的取值范围，逐步逼近最
优解。
爬山法
03
通过不断搜索邻近解，逐步寻找最优解，类似于爬山的过程。
整数规划的应用实例
生产计划优化
通过整数规划方法优化生产计划，提高生产效 率和降低成本。
物流配送优化
通过整数规划方法优化物流配送路线和车辆调 度，降低运输成本和提高配送效率。
迭代法求解
从初始状态开始，不断迭代更新状态和决策，直到达到最优解。
动态规划的应用实例
最短路径问题
在给定的图中寻找起点到终点的最短路径。
背包问题
给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值， 求在不超过总重量限制的情况下，使得总价值最大 。
排班问题
给定一组员工和任务，求在满足任务需求的 同时，使得员工的工作时间和休息时间最合 理。
数学规划的基本概念
01
02
03
目标函数
要最大或最小化的函数， 通常表示为决策变量的函 数。
约束条件
限制决策变量取值的条件， 通常表示为决策变量的等 式或不等式。
决策变量
在数学规划中需要选择的 变量，通常表示为x1, x2, ... , xn。
规划模型
产品 1：机床 1 → 机床 3 → 机床 4 产品 2：机床 1 → 机床 2 → 机床 4 产品 3：机床 2 → 机床 3
解：
设 xij 表示产品 i 在机床 j 上的开始加工时间（ i = 1,2,3）；
下面将逐步列出问题的整数规划模型。
1、同一件产品在不同机床上的加工顺序约束
对于同一件产品，在下一台机床上加工的开始时间不得早于 在上一台机床上加工的结束时间，故应有：
⎪⎩
xij = 0或1
i = 1,2,L,n j = 1,2,L,n i = 1,2,L,n; j = 1,2,L,n
例6 某城市消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消 防站，下图中表示了各防火区域与消防站的位置，其中① ，②，③，④表示消防站，1，2，3，……，11表示消防区 域。根据历史资料证实，各消防站可在事先规定的允许时 间内对所负责的地区火灾予以消灭，图中虚线即表示各地 区由哪个消防站负责（没有虚线连接就表示不负责），现 在总部提出，在同样负责全市消防的前提下，是否可以减 少消防站的数目？如果可以，应当关闭哪个？
工结束时间分别为x14+a14， x24+a24， x33+a33，故全部产品的 实际加工结束时间为：
W = max { x14 + a14 , x24 + a24 , x33 + a33 }
转化为线性表达式： min Z = W
⎧W ⎪⎨W
≥ ≥
x a + 14
14
x a + 24
24
运筹学在物流中心选址规划问题中的应用
运筹学在物流中心选址规划问题中的应用随着全球物流业的快速发展，物流中心的选址规划变得日益重要。
合理的物流中心选址可以有效降低运输成本，提高物流效率，从而增强企业的竞争力。
在这个过程中，运筹学作为一种决策科学方法，发挥着重要的作用。
本文将介绍运筹学在物流中心选址规划问题中的应用，并探讨其优势和局限性。
一、问题描述物流中心选址规划问题的目标是确定最优的物流中心位置，使得总运输成本最小化。
在实际情况中，物流中心的位置不仅仅受到运输成本的影响，还受到市场需求、基础设施、地理环境等多种因素的制约。
因此，该问题是一个复杂的多因素决策问题。
二、运筹学模型为了解决物流中心选址规划问题，可以利用运筹学模型进行建模和求解。
常用的模型包括整数规划模型、线性规划模型和网络模型等。
这些模型都能够根据不同的约束条件和目标函数，给出最优的物流中心选址方案。
三、整数规划模型整数规划模型是一种最常用的运筹学模型，它能够将物流中心选址问题转化为一个离散的决策问题。
在整数规划模型中，物流中心的位置被限制在候选地点集合中，以保证最优解的可行性。
该模型的优点是简单易懂，计算效率高。
然而，整数规划模型的局限性在于无法处理大规模问题，且不能考虑到实际情况中的各种约束条件。
四、线性规划模型线性规划模型是一种优化模型，它能够在给定约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
在物流中心选址规划问题中，线性规划模型可以根据不同的目标函数，如最小化总运输成本、最大化服务覆盖范围等，给出最优的选址方案。
线性规划模型的优点是适用范围广，计算效率高。
然而，线性规划模型的局限性在于无法处理非线性问题，并忽略了一些实际情况中的细节因素。
五、网络模型网络模型是一种图论模型，用于描述不同地点之间的关系和连接。
在物流中心选址规划问题中，网络模型可以将各个地点表示为节点，将运输线路表示为边，从而形成一个有向图。
通过网络模型，可以计算出最短路径、最小生成树等，并据此确定最优的物流中心选址方案。
整数线性规划(ILP)
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
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目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
《多目标规划模型》课件
02
权重法的主要步骤包括确定权重、构造加权目标函数、求解加权目标函数，最 后得到最优解。
03
权重法的优点是简单易行，适用于目标数量较少的情况。但缺点是主观性强， 依赖于决策者的经验和判断。
约束法
1
约束法是通过引入约束条件，将多目标问题转化 为单目标问题，然后求解单目标问题得到最优解 。
2
约束法的主要步骤包括确定约束条件、构造约束 下的目标函数、求解约束下的目标函数，最后得 到最优解。
多目标规划模型
目录
• 多目标规划模型概述 • 多目标规划模型的建立 • 多目标规划模型的求解方法 • 多目标规划模型的应用案例 • 多目标规划模型的未来发展与挑战
01 多目标规划模型概述
定义与特点
定义
多目标规划模型是一种数学优化方法 ，用于解决具有多个相互冲突的目标 的问题。
特点
多目标规划模型能够权衡和折衷多个 目标之间的矛盾，寻求满足所有目标 的最佳解决方案。
02 多目标规划模型的建立
确定目标函数
01
目标函数是描述系统或决策问题的期望结果的数学表达 式。
02
在多目标规划中，目标函数通常包含多个目标，每个目 标对应一个数学表达式。
03
目标函数的确定需要考虑问题的实际背景和决策者的偏 好。
确定约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件。 02 在多目标规划中，约束条件可以分为等式约束和
谢谢聆听
模型在大数据和人工智能时代的应用前景
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着大数据和人工智能技术的快速发展，多目标规划模型 在许多领域的应用前景广阔。
大数据时代带来了海量的数据和复杂的问题，这为多目标 规划模型提供了广阔的应用场景。例如，在金融领域，多 目标规划可以用于资产配置和风险管理；在能源领域，多 目标规划可以用于能源系统优化和碳排放管理。同时，随 着人工智能技术的不断发展，多目标规划模型有望与机器 学习、深度学习等算法相结合，共同推动相关领域的发展 。
数学建模常用模型及代码
数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。
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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。
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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。
n个人指派n项工作的问题。
传送门
４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。
传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。
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6.动态规划
运筹学的一个分支。
求解决策过程最优化的过程。
传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。
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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。
传送门。
《数学规划模型 》课件
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
资源分配问题模型及其解法研究
资源分配问题模型及其解法研究一、引言在现实生活中，许多资源需要进行分配。
例如，工厂的生产设备、财务部门的资金、医院的医疗设备等，这些资源的分配需要考虑效率和公平性等方面的问题。
资源分配问题是运筹学的重要问题之一，本文将介绍资源分配问题模型及其解法的研究进展。
二、资源分配问题模型资源分配问题的模型有很多，常见的有线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型、多目标规划模型等。
这里重点介绍几种经典的模型。
1. 线性规划模型线性规划模型是一种通过线性关系描述决策变量间关系的数学模型。
常见的线性规划模型有最大化模型和最小化模型。
对于资源分配问题，最常见的是最大化模型，即在满足限制条件的前提下，尽可能多地利用资源、提高效率。
例如，某工厂有3台机器和5个生产任务，每个任务需要用到不同的机器和不同的时间，需要求出如何分配才能使生产任务得到最大化的利用。
2. 整数规划模型整数规划模型是一种在线性规划基础上，增加了决策变量取整限制的模型。
对于资源分配问题，往往需要考虑资源的数量是有限的，此时整数规划模型更加适用。
例如，某医院有6台心电图仪和10个病人需要检查，每个病人需要用到一台仪器，需要求出如何分配才能最大化利用仪器且不超过仪器的数量限制。
3. 非线性规划模型非线性规划模型是一种描述决策变量与目标函数之间的非线性关系的数学模型，它往往更适用于实际问题。
例如，某企业要对产品进行生产和销售，需要考虑到不同市场的需求量，销售价格及生产成本等因素的影响，这种多因素多目标的情况可以用非线性规划模型进行求解。
三、解法研究资源分配问题的解法也非常丰富，下面介绍一些常见的解法。
1. 单纯形法单纯形法是一种常见的线性规划问题求解方法，它是通过不断地在解空间内移动求解目标的角度，并调整决策变量的值来达到极值的目的。
2. 整数规划分支定界法整数规划问题一般不能用单纯形法来求解，因为整数规划问题的解不一定是整数，而单纯形法的进退原则只考虑当前决策变量是否成为最优变量，而不考虑它的整数性。
整数规划_精品文档
整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。
整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。
随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。
一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。
分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。
彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。
整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。
二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。
二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。
物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。
金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。
资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。
组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。
三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。
分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。
遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。
摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。
蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。
元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。
粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。
深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。
四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。
规划问题中的整数规划理论与应用讨论
规划问题中的整数规划理论与应用讨论在现代社会中，规划问题已经成为了一个必须要面对的现实，而为了更好的解决各种规划问题，许多学者们渐渐地将目光投向了整数规划这一领域。
整数规划理论已经成为了运筹学中一个非常重要且具有应用意义的分支，应用领域涉及经济、管理、制造等各个领域。
本文将会在理论与应用方面进行深入探讨。
一、整数规划的理论基础在整数规划中，最应该了解的就是线性规划的基础。
相较于线性规划，在整数规划中，约束条件和目标函数都多了一个限制，即所有的变量必须是整数。
这一约束条件在实际中常常发生，比如生产数量必须是整数、零售决策只能是整数等。
但是，由于整数规划的整数约束条件在某些时候会大大增加了问题的难度，所以求解整数规划问题时一般采用分支定界法、割平面法、启发式算法等算法进行求解。
这些算法刚刚开始时只有线性规划的解，然后逐个分支，直到找到整数解。
二、整数规划在实际应用中的案例在许多实际应用中，整数规划被广泛运用。
其中最典型的例子就是制造、运输等领域。
例如，某工厂生产五种产品，每种产品的生产和销售都有一定的能力限制。
如何安排各种产品的生产量，从而获得最高的利润？对于这个问题，我们可以进行整数规划求解。
同时，整数规划也广泛地应用于网络优化。
例如，假设有一个石化工厂，工厂与仓库之间有很多输油管道，想要优化管道之间的流量，将管道上油的重量最小化，但又要满足工厂与仓库之间的供油量。
这时，整数规划可以被用来进行求解。
三、整数规划的发展前景随着国际贸易和城市化的加速发展，规划问题也愈发复杂，未来也将面临着更多更复杂的需求和挑战。
而在整数规划领域，目前仍然存在一些问题，如大规模整数规划、多目标整数规划等等，需要进一步研究和探索。
同时，整数规划在大数据时代下的应用也日益重要。
一个典型的例子是，对于一组推荐产品，我们如何以最优化的方式向用户展示并最大化销售利润？这种情况下，整数规划可以被用来求解。
总之，整数规划的出现使我们可以更专业、更高效地解决问题。
典型的整数线性规划问题
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
IP可用LINDO直接求解
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3
(LP)
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1,5
j 1
每种泳姿有且只有1人
5
xij 1, j 1,4
i 1
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
多目标优化模型的解决方案
多目标优化模型是一种复杂的问题类型，它涉及到多个相互冲突的目标，需要找到一个在所有目标上达到均衡的解决方案。
解决多目标优化模型通常需要使用特定的算法和技术，以避免传统单目标优化算法的局部最优解问题。
以下是几种常见的解决方案：1. 混合整数规划：混合整数规划是一种常用的多目标优化方法，它通过将问题转化为整数规划问题，使用整数变量来捕捉冲突和不确定性。
这种方法通常使用高级优化算法，如粒子群优化或遗传算法，来找到全局最优解。
2. 妥协函数法：妥协函数法是一种简单而有效的方法，它通过定义一组妥协函数来平衡不同目标之间的关系。
这种方法通常使用简单的数学函数来描述不同目标之间的妥协关系，并使用优化算法来找到最优解。
3. 遗传算法和进化计算：遗传算法和进化计算是多目标优化中的一种常用方法，它们通过模拟自然选择和遗传的过程来搜索解决方案空间。
这种方法通常通过迭代地生成和评估解决方案，并在每一步中保留最佳解决方案，来找到全局最优解。
4. 精英策略和双重优化：精英策略是一种特殊的方法，它保留了一部分最佳解决方案，并使用它们来引导搜索过程。
双重优化方法则同时优化两个或多个目标，并使用一种特定的权重函数来平衡不同目标之间的关系。
5. 模拟退火和粒子群优化：模拟退火和粒子群优化是多目标优化中的高级方法，它们使用概率搜索技术来找到全局最优解。
这些方法通常具有强大的搜索能力和适应性，能够处理大规模和复杂的多目标优化问题。
需要注意的是，每种解决方案都有其优点和局限性，具体选择哪种方法取决于问题的性质和约束条件。
在实践中，可能需要结合使用多种方法，以获得更好的结果。
同时，随着人工智能技术的发展，新的方法和算法也在不断涌现，为多目标优化问题的解决提供了更多的可能性。
线性规划整数规划0-1规划
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解 令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需 要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 殊限制（s 302.7）。
数学中的混合整数规划与多目标规划
数学中的混合整数规划与多目标规划在数学中，混合整数规划和多目标规划是两个重要的优化问题。
本文将介绍这两个问题的基本概念、解决方法以及在实际问题中的应用。
一、混合整数规划混合整数规划是一类在决策问题中常见的优化模型。
它的特点是既包含了整数变量，又包含了连续变量。
混合整数规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x,y)$$$$\text{ s.t. } g(x,y) \leq b$$$$x \in X , y \in Y$$其中，$f(x,y)$是目标函数，$x$是连续变量，$y$是整数变量，$X$和$Y$分别是$x$和$y$的取值范围，$g(x,y) \leq b$是约束条件。
为了解决混合整数规划问题，可以使用各种优化算法，如分枝定界算法、混合整数线性规划算法等。
这些算法通过不断搜索可行解空间，寻找到最优解或近似最优解。
混合整数规划在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物流领域中，为了降低运输成本，需要确定不仅仅考虑运输距离，还要考虑仓库位置、车辆配送路径等多个因素的决策变量。
混合整数规划可以帮助解决这类问题，提高效益。
二、多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中存在多个决策目标的优化模型。
多目标规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$$$$\text{ s.t. } g(x) \leq b$$$$x \in X$$其中，$f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$是多个目标函数构成的向量，$x$是决策变量，$X$是$x$的取值范围，$g(x) \leq b$是约束条件。
多目标规划的解决方法通常包括帕累托最优、加权和法等。
帕累托最优是指在多个目标中无法同时取得更优结果的情况下，通过权衡各个目标之间的重要性，在目标间取得平衡。
加权和法是指通过给不同目标设置不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题来求解。
数学模型之数学规划模型
多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源 以达到多个目标的优化，如成本、质 量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投 资组合以达到多个目标的优化，如回 报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件 下，如何制定生产计划以达到多个目标 的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配 领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整 数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态 规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模 。
数学规划模型的应用领域
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生产计划
数学规划模型可以用于制定生 产计划，优化资源配置，提高 生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以 优化物流运输路线和运输方式 ，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优 化投资组合，实现风险和收益的 平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型 ，用于解决目标函数和约束条件均为 非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得 目标函数达到最小或最大值，同时满 足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适 用范围。
运筹学知识点总结归纳
运筹学知识点总结归纳运筹学知识点总结归纳一、引言运筹学是一门综合运用数学、统计学和优化理论等相关知识解决实际问题的学科。
它的一个核心目标是在给定的约束条件下，使系统达到最佳状态。
本文将对运筹学的一些基本概念、方法和应用进行总结归纳，以便读者对这门学科有更深入的了解。
二、线性规划线性规划是运筹学中最基本、最常见的数学模型之一。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。
通过线性规划，我们可以最小化或最大化一个目标函数来寻找最优解。
常见的线性规划方法有单纯形法、对偶法和内点法等。
三、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式。
在整数规划中，决策变量的取值限制为整数。
这种限制使问题更加复杂，通常需要使用分支定界法、割平面法等算法来求解。
整数规划在许多实际问题中有广泛的应用，如生产调度、路径优化等。
四、网络流问题网络流问题是运筹学中一个重要的研究方向。
在网络流问题中，节点和边表示物理或逻辑上的位置，流量沿边流动，目标是最大化总流量或最小化总成本。
常见的网络流问题有最小费用流问题、最大流问题等。
在实际应用中，网络流问题可以用于交通规划、供应链管理等领域。
五、排队论排队论是研究队列系统的数学理论。
队列是指一组按照某种顺序排列的实体，而排队论则是研究这些实体如何进入和离开队列的过程。
通过排队论，可以估计系统的性能指标，如平均等待时间、系统利用率等。
排队论在交通管理、生产调度等领域有广泛的应用。
六、决策分析决策分析是运筹学中的一个重要分支，旨在通过分析问题的数据和信息，寻找最优的决策方案。
决策分析中常用的工具包括决策树分析、多属性决策等。
通过决策分析，我们可以对风险进行评估，并为决策者提供有力的支持。
七、多目标规划多目标规划是一种同时优化多个目标函数的决策问题。
在多目标规划中，不同的目标可能相互冲突，无法简单地将其转化为单一目标。
解决多目标规划问题的方法有权重法、向量法等。
多目标规划在工程设计、投资组合等领域有广泛的应用。
从不同角度简述最优化问题的分类
最优化问题是数学、工程、经济等领域中常见的一个重要问题。
在实际问题中，我们常常需要寻找最优解来使得某个目标函数达到最小值或最大值。
最优化问题可分为线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等不同类型。
接下来从不同角度简述最优化问题的分类。
一、按照目标函数的性质分类1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
典型的线性规划问题包括资源分配、生产计划等。
2. 非线性规划非线性规划是指目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。
非线性规划在实际中应用广泛，包括工程优化、信号处理、经济学等领域。
3. 整数规划整数规划是指最优化问题中的决策变量是整数的问题。
整数规划常用于制造业的生产调度、运输与物流优化等。
二、按照优化变量的性质分类1. 连续优化问题连续优化问题是指最优化问题中的决策变量可以取任意实数值的问题。
常见的连续优化问题包括线性规划、非线性规划等。
2. 离散优化问题离散优化问题是指最优化问题中的决策变量只能取离散的数值。
典型的离散优化问题包括整数规划、组合优化、图论优化等。
三、按照约束条件的性质分类1. 约束优化问题约束优化问题是指最优化问题中存在一定的约束条件限制的问题。
约束条件可以是线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等。
2. 无约束优化问题无约束优化问题是指最优化问题中不存在任何约束条件的问题。
无约束优化问题通常比较简单，但在实际中也有着重要的应用，包括函数拟合、参数估计等。
四、按照目标函数的性质分类1. 单目标优化问题单目标优化问题是指最优化问题中只有一个目标函数的问题。
在实际问题中，单目标优化问题是最常见的。
2. 多目标优化问题多目标优化问题是指最优化问题中存在多个目标函数，且这些目标函数可能彼此矛盾的问题。
多目标优化问题的解称为帕累托最优解。
最优化问题的分类可以从不同的角度进行划分，包括目标函数的性质、优化变量的性质、约束条件的性质、目标函数的性质等。
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1 整数规划的MATLAB 求解方法（一） 用MATLAB 求解一般混合整数规划问题由于MATLAB 优化工具箱中并未提供求解纯整数规划和混合整数规划的函数，因而需要自行根据需要和设定相关的算法来实现。
现在有许多用户发布的工具箱可以解决该类问题，例如比较著名的Y ALMIP ，读者可以自行到网上下载相关的工具包并进行学习。
这里我们给出开罗大学的Sherif 和Tawfik 在MA TLAB Central 上发布的一个用于求解一般混合整数规划的程序，在此命名为intprog ，笔者在原程序的基础上做了简单的修改，将其选择分枝变量的算法由自然序改造成分枝变量选择原则中的一种，即：选择与整数值相差最大的非整数变量首先进行分枝。
intprog 函数的调用格式如下：[x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger) 该函数解决的整数规划问题为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈=≥≤≤=≤=）取整数（M j x n i x ubx lb b x A b Ax t s xc f j i eqeq T ),,2,1(0..min在上述标准问题中，假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ⨯1维矩阵，eq A 为n m ⨯2维矩阵。
在该函数中，输入参数有c,A,b,A eq ,b eq ,lb,ub,M 和TolXInteger 。
其中c 为目标函数所对应设计变量的系数，A 为不等式约束条件方程组构成的系数矩阵，b 为不等式约束条件方程组右边的值构成的向量。
Aeq 为等式约束方程组构成的系数矩阵，b eq 为等式约束条件方程组右边的值构成的向量。
lb 和ub 为设计变量对应的上界和下界。
M 为具有整数约束条件限制的设计变量的序号，例如问题中设计变量为621,,,x x x ，要求32,x x 和6x 为整数，则M=[2;3;6]；若要求全为整数，则M=1:6，或者M=[1;2;3;4;5;6]。
TolXInteger 为判定整数的误差限，即若某数x 和最邻近整数相差小于该误差限，则认为x 即为该整数。
在该函数中，输出参数有x, fval 和exitflag 。
其中x 为整数规划问题的最优解向量，fval 为整数规划问题的目标函数在最优解向量x 处的函数值，exitflag 为函数计算终止时的状态指示变量。
例1 求解整数规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥-+= 0,12 1124124 ..max212212121，且取整数值x x x x x x x t s x x f算法：c=[-1;-1];A=[-4 2;4 2;0 -2]; b=[-1;11;-1]; lb=[0;0]; M=[1;2]; %均要求为整数变量 Tol=1e-8; %判断是否整数的误差限 [x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],lb,[]) %求解原问题松弛线性规划 [x1,fval1]=intprog(c,A,b,[],[],lb,[],M,Tol) %求最优解整数解 结果：x = %松弛线性规划问题的最优解 1.5000 2.5000 fval =-4.0000 x1 = %整数规划的最优解 2 1 fval2 = -3.0000（二） 用MATLAB 求解0-1规划问题在MA TLAB 优化工具箱中，提供了专门用于求解0-1规划问题的函数bintprog ，其算法基础即为分枝界定法，在MATLAB 中调用bintprog 函数求解0-1规划时，需要遵循MA TLAB 中对0-1规划标准性的要求。
0-1规划问题的MATLAB 标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=1,0..min x b x A bAx t s x c f eq eq T在上述模型中，目标函数f 需要极小化，以及需要满足的约束条件，不等式约束一定要化为形式为“≤”。
假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ⨯1维矩阵，eq A 为n m ⨯2维矩阵。
如果不满足标准型的要求，则需要对原问题进行转化，化为标准型之后才能使用相关函数，标准化的方法和线性规划中的类似。
0-1规划问题的MATLAB 求解函数MATLAB 优化工具箱中求解0-1规划问题的命令为bintprog bintprog 的调用格式x = bintprog(f)x = bintprog(f,A,b)x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq) x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0)x = bintprog(f,A,b,Aeq,Beq,x0,options) [x,fval] = bintprog(...)[x,fval,exitflag] = bintprog(...)[x,fval,exitflag,output] = bintprog(...)命令详解1）x = bintprog(f)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题⎩⎨⎧==1,0..min x t s x c f T2）x = bintprog(c,A,b)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤=1,0..min x b Ax t s x c f T 3）x = bintprog (c,A,b,Aeq,beq)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=1,0..min x b x A bAx t s x c f eq eq T4）x = bintprog (c,A,b,Aeq,beq,x0)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=1,0..min x b x A bAx t s x c f eq eq T在前一个调用格式的基础上同时设置求解算法的初始解为x0，如果初始解x0不在0-1规划问题的可行域中，算法将采用默认的初始解 5）x = bintprog (c,A,b,Aeq,beq,x0,options)用options 指定的优化参数进行最小化。
可以使用optimset 来设置这些参数 上面的函数调用格式仅设置了最优解这一输出参数，如果需要更多的输出参数，则可以参照下面的调用格式：[x,fval] = bintprog(...)在优化计算结束之时返回整数规划问题在解x 处的目标函数值fval[x,fval,exitflag] = bintprog(...)在优化计算结束之时返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。
[x,fval,exitflag,output] = bintprog(...)在优化计算结束之时返回结构变量output 例2：求解0-1规划问题()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧========∑∑∑∑==== 21;21 4,3,21 10 21 1 21 1 ..max1111,n ,,j ,n ,,i x ,n ,,j x ,n ,,i x t s x E f ij ni ij n j ij n i nj ijij ），（或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23321622243113212329152226331220E为了程序的可读性，我们用一维下标来表示设计变量，即用41~x x 表示1411~x x ，用85~x x 表示2421~x x ，用129~x x 表示3431~x x ，用1613~x x 表示4441~x x ，于是约束条件和目标函数分别为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++)16,,2,1( 1,0111111111612841511731410621395116151413121110987654321 i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i 1644622521414313212111x E x E x E x E x E x E x E f +++++++=算法：c=[20;12;33;26;22;15;29;23;21;13;31;24;22;16;32;23]; Aeq=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1; 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0; 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0; 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1; ];beq=ones(1,8);[x,fval]=bintprog(c,[],[],Aeq,beq);B=reshape(x,4,4); %由于x 是一列元素，为了使结果更加直观，故排成与效率矩阵E 相对应的形式B' fval 结果：Optimization terminated. ans =0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 fval = 85整数规划的应用——组件配套问题某机械产品需要由由三个工厂开工一起生产后组装完成。
每件机械需要4个组件1和3个组件2。
生产这两种组件需要消耗两种原材料A 和B 。
已知这两种原材料的供应量分别为400kg 和600kg 。
由于三个工厂的生产条件和拥有设备工艺条件不同，每个工厂生产组件的能力和原材料的消耗也不尽相同，且每个工厂开工一次都是配套生产一定数量的组件1和组件2，其具体的数据如表所示。
现在的最优化问题是，这三个工厂应当如何安排生产，才能使该产品的配套数达到最大？（Ⅰ）组件配套问题的建模设21x x 、和3x 是三个工厂分别开工的次数，将其作为该问题的设计变量。
由于每个工厂开工一次都是配套生产，故每次开工消耗的原材料一定，且生产的组件数也是一定的。
在这个假设的前提之下，我们可以得出该问题的目标函数和约束条件。
因为原材料的总量是有限的，根据工厂的开工次数，可得工厂１将消耗A 材料19x ，工厂２将消耗A 材料26x ，工厂３将消耗A 材料34x ，故有约束条件：400469321≤++x x x同理，对于材料B 的总量约束条件可以表达为：6009107321≤++x x x然后再来分析三个工厂零件生产的情况，三个工厂生产的组件1的数量分别为2178x x 、和39x ，故组件1的总数为：3211978x x x Q ++=同理，组件2的总数为：3212596x x x Q ++=下一步是分析目标函数，该问题要求的不是生产的各种组件总数最多，而是要求产品的配套数量最大，即能组成的机械数目最多。