(文理通用)江苏省高考数学二轮复习理科附加题第3讲计数原理与二项式定理练习

（文理通用）江苏省高考数学二轮复习理科附加题第3讲计数原

理与二项式定理练习

课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角

1．记? ??

??2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m .

(1)求b m 的表达式；

(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .

解：(1)? ????2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1

·? ??

??1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n

·x n ＋2－2m ， 所以b m ＝2

n ＋1－m

·C m －1

n .

(2)当n ＝6时，? ????2x ＋1x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r

·? ??

??1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r .

依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，

故展开式中的常数项为T 4＝23

·C 3

6＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2

n －2·C 2n ＝2·2

n －3

·C 3n ，从而C 2n ＝C 3

n ，即n ＝5.

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.等式(x 2

＋2x ＋2)10

＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2

＋…＋b 20(x ＋1)20

，其中b i (i ＝0,1,2，…，20)为实常数．

(1)求∑n ＝1

10b 2n 的值；

(2)求∑n ＝1

10

a n

b 2n 的值．

解：法一：(1)令x ＝－1，得b 0＝1，

令x ＝0，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b 20＝210

＝1 024，

令x ＝－2，得b 0－b 1＋b 2－b 3＋…－b 19＋b 20＝210

＝1 024，

所以∑n ＝1

10

b 2n ＝b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 20＝1 023.

(2)对等式两边求导，得

20(x ＋1)(x 2

＋2x ＋2)9

＝b 1＋2b 2(x ＋1)＋3b 3(x ＋1)2

＋…＋20b 20(x ＋1)19

， 令x ＝0，得b 1＋2b 2＋…＋20b 20＝20×29

＝10 240，

令x ＝－2，得b 1－2b 2＋3b 3－4b 4＋…＋19b 19－20b 20＝－20×29

＝－10 240，

所以∑n ＝1

10

nb 2n ＝1

2(2b 2＋4b 4＋6b 6＋…＋20b 20)＝5 120.

所以∑n ＝1

10

a n

b 2n ＝∑n ＝1

10

(n ＋1)b 2n ＝∑n ＝1

10

nb 2n ＋∑n ＝1

10

b 2n ＝5 120＋1 023＝6 143.

法二：由二项式定理易知 (x 2

＋2x ＋2)10

＝[1＋(x ＋1)2]10

＝C 0

10＋C 1

10(x ＋1)2

＋C 2

10(x ＋1)4

＋…＋C 10

10(x ＋1)20

＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2

＋…＋b 20(x ＋1)20

， 比较可知b 2n ＝C n

10(n ＝1,2，…，10)．

(1)∑n ＝1

10

b 2n ＝C 1

10＋C 2

10＋…＋C 10

10＝210

－1＝1 023.

(2)因为a n ＝n ＋1,

所以∑n ＝1

10

a n

b 2n ＝∑n ＝1

10

(n ＋1)C n

10＝∑n ＝1

10

n C n

10＋∑n ＝1

10

C n

10，

设T ＝∑n ＝1

10

n C n

10＝0·C 0

10＋1·C 1

10＋2·C 2

10＋…＋10·C 10

10，T 也可以写成

T ＝∑n ＝1

10

n C n 10＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C 0

10，

相加得2T ＝10·210，即T ＝5·210

，

所以∑n ＝110

a n

b 2n ＝∑n ＝110

n C n

10＋∑n ＝1

10

C n

10＝5·210

＋210

－1＝6 143.

3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 4

4. 【案例】考察恒等式(1＋x )5

＝(1＋x )2

(x ＋1)3

左右两边x 2

的系数． 因为右边(1＋x )2

(x ＋1)3

＝(C 0

2＋C 1

2x ＋C 22x 2

)(C 03x 3

＋C 13x 2

＋C 2

3x ＋C 3

3)， 所以右边x 2

的系数为C 02C 1

3＋C 12C 2

3＋C 22C 3

3，而左边x 2

的系数为C 2

5， 所以C 02C 1

3＋C 12C 2

3＋C 22C 3

3＝C 2

5.

(2)求证：∑r ＝0

n

(r ＋1)2

(C r n )2－n 2C n －12n －2＝(n ＋1)C n

2n .

解：(1)考察恒等式(1＋x )7＝(1＋x )3(x ＋1)4左右两边x 3

的系数．

因为右边(1＋x )3

(x ＋1)4

＝(C 0

3＋C 1

3x ＋C 23x 2

＋C 33x 3

)·(C 04x 4

＋C 14x 3

＋C 24x 2

＋C 3

4x ＋C 4

4)， 所以右边x 3

的系数为C 03C 1

4＋C 13C 2

4＋C 23C 3

4＋C 33C 4

4，

而左边x 3的系数为C 3

7， 所以C 03C 1

4＋C 13C 2

4＋C 23C 3

4＋C 33C 4

4＝C 3

7. (2)证明：由r C r

n ＝r ·

n ！r ！(n －r )！＝n ·(n －1)！(r －1)！(n －r )！

＝n C r －1

n －1，

可得∑r ＝0

n

(r ＋1)2

(C r n

)2＝∑r ＝0

n

(r C r n

)2

＋∑r ＝0

n

2r (C r n

)2＋∑r ＝0

n

(C r n )2

＝n

2

∑r ＝1

n (C

r －1n －1

)2＋2n ∑r ＝1n

C

r －1n －1

·C r n

＋∑r ＝0n

(C r n )2

.

考察恒等式(1＋x )2n

＝(1＋x )n

(x ＋1)n

左右两边x n

的系数． 因为右边(1＋x )n

(x ＋1)n

＝(C 0

n ＋C 1

n x ＋…＋C n n x n )·(C 0n x n ＋C 1n x n －1

＋…＋C n

n )，

所以右边x n

的系数为

C 0n C 0

n ＋C 1n C 1

n ＋…＋C n n C n n

＝∑r ＝0

n

(C r n )2

，

而左边的x n 的系数为C n

2n ，

所以∑r ＝0

n

(C r n )2

＝C n

2n .

同理可求得∑r ＝1

n

(C r －1n －1)2

＝C n －1

2n －2.

考察恒等式(1＋x )2n －1

＝(1＋x )

n －1

(x ＋1)n 左右两边x

n －1

的系数．

因为右边(1＋x )n －1

(x ＋1)n

＝(C 0n －1＋C 1

n －1x ＋…＋C n －1n －1x

n －1

)(C 0n x n

＋C 1n x n －1

＋…＋C n

n )，

所以右边x

n －1

的系数为

C 0

n －1C 1

n ＋C 1

n －1C 2

n ＋…＋C n －1n －1C n n

＝∑r ＝1n

C r －1

n －1·C r

n ，

而左边的x

n －1

的系数为C n －1

2n －1，

所以∑r ＝1

n

C r －1

n －1·C r

n ＝C n －1

2n －1，

所以∑r ＝0

n

(r ＋1)2

(C r n )2－n 2C n －1

2n －2

＝n 2C n －12n －2＋2n C n －12n －1＋C n 2n －n 2C n －1

2n －2 ＝2n C n －1

2n －1＋C n

2n ＝n (C n －1

2n －1＋C n －1

2n －1)＋C n

2n

＝n (C n －12n －1＋C n 2n －1)＋C n

2n ＝n C n

2n ＋C n

2n ＝(n ＋1)C n

2n .

4．(2019·苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示．

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2)已知n ，r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r

n ，C r ＋1

n ，C r ＋2

n ，C r ＋3

n 不能构成等差数列．

解：(1)杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k

n ，

k ＝0,1,2，…，n 组成．

如果第n 行中有C k －1

n C k n ＝k n －k ＋1＝3

4，

C k

n C k ＋1n ＝

k ＋1n －k ＝4

5

， 那么3n －7k ＝－3,4n －9k ＝5， 解得k ＝27，n ＝62.

即第62行有三个相邻的数C 26

62，C 27

62，C 28

62的比为3∶4∶5.

(2)证明：若有n ，r (n ≥r ＋3)，使得C r

n ，C r ＋1

n ，C r ＋2

n ，C r ＋3

n 成等差数列， 则2C r ＋1

n ＝C r

n ＋C r ＋2

n ，2C r ＋2

n ＝C r ＋1

n ＋C r ＋3

n ， 即2n ！

(r ＋1)！(n －r －1)！

＝

n ！r ！(n －r )！＋n ！

(r ＋2)！(n －r －2)！

，

2n ！

(r ＋2)！(n －r －2)！

＝n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＋n ！

(r ＋3)！(n －r －3)！

.

有

2(r ＋1)(n －r －1)＝1(n －r －1)(n －r )＋1

(r ＋1)(r ＋2)

，

2

(r ＋2)(n －r －2)

＝

1(n －r －2)(n －r －1)＋1

(r ＋2)(r ＋3)

，

化简整理得，n 2

－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，

n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0.

两式相减得，n ＝2r ＋3，

于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋3

2r ＋3成等差数列．

而由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋2

2r ＋3，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立．

5．已知A n ＝{x ＞0|x ＝k 1·2＋k 2·22

＋…＋k n ·2n }，其中n ∈N *

，n ≥2，k i ∈{－1,1}(i ＝1，2，…，n )，记集合A n 的所有元素之和为S n .

(1)求S 2，S 3的值； (2)求S n .

解：(1)当n ＝2时，A 2＝{x ＞0|x ＝k 1·2＋k 2·22

}＝{x ＞0|x ＝2k 1＋4k 2}＝{2,6}， 所以S 2＝2＋6＝8.

当n ＝3时，A 3＝{x ＞0|x ＝k 1·2＋k 2·22

＋k 3·23

}＝{x ＞0|x ＝2k 1＋4k 2＋8k 3}＝{2,6,10,14}．

所以S 3＝2＋6＋10＋14＝32.

(2)若k n ＝－1，且k 1＝k 2＝…＝k n －1＝1，n ≥2，n ∈N *

， 则x ＝2＋22

＋…＋2

n －1

－2n

＝2(1－2n －1

)1－2

－2n

＝－2＜0，此时x ?A n .

所以k n 必然等于1，且当k 1＝k 2＝…＝k n －1＝－1，n ≥2，n ∈N *

时，

x ＝－2－22－…－2

n －1

＋2n

＝－2(1－2n －1

)1－2

＋2n

＝2＞0，此时x ∈A n .

所以当k n ＝1，k 1，k 2，…，k n －1∈{－1,1}，n ≥2，n ∈N *

时，都有x ∈A n . 根据乘法原理知，使得k i ＝1(i ＝1,2,3，…，n －1，n ≥2，n ∈N *

)的x 共有2

n －2

个，使得

k i ＝－1(i ＝1,2,3，…，n －1，n ≥2，n ∈N *)的x 也共有2n －2个，

所以S n 中的所有k i ·2i

(i ＝1,2,3，…，n －1，n ≥2，n ∈N *

)项的和为0， 又因为使得k n ＝1的x 共有2n －1

个，

所以S n ＝2n －1

×2n ＝2

2n －1

.