计数原理与二项式定理

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计数原理的应用二项式定理

计数原理的应用二项式定理

计数原理的应用:二项式定理1. 介绍二项式定理是高中数学中的一个重要定理,也是概率论和组合数学中的基本工具之一。

它在数学和其他领域中有着广泛的应用。

本文将介绍二项式定理的基本概念,并讨论其在计算中的应用。

2. 二项式定理的表达式二项式定理可以表示为:$$(a + b)^n = C_0^n \\cdot a^n \\cdot b^0 + C_1^n \\cdot a^{n-1} \\cdot b^1 + C_2^n \\cdot a^{n-2} \\cdot b^2 + ... + C_n^n \\cdot a^0 \\cdot b^n$$ 其中,C k n表示从n个元素中选取k个元素的组合数,也等于n的阶乘除以k 的阶乘和(n−k)的阶乘的乘积。

3. 二项式定理的应用二项式定理在数学和其他领域中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用:3.1. 高阶多项式的展开二项式定理可以用来展开高阶多项式,例如:$$(a + b)^3 = C_0^3 \\cdot a^3 \\cdot b^0 + C_1^3 \\cdot a^2 \\cdot b^1 +C_2^3 \\cdot a^1 \\cdot b^2 + C_3^3 \\cdot a^0 \\cdot b^3$$展开后可以得到:a3+3a2b+3ab2+b3这对于计算复杂表达式的值非常有用。

3.2. 概率计算二项式定理在概率计算中有重要的应用。

例如,在抛硬币的实验中,抛 4 次硬币,出现正面 3 次及以上的概率可以使用二项式定理进行计算。

3.3. 组合数学二项式定理在组合数学中有着重要的地位。

组合数学主要研究从一组对象中选取若干对象构成子集的方法和性质,二项式定理正是其中的核心概念之一。

它可以用来计算组合数,并解决组合数学中的问题。

3.4. 统计学二项式定理也在统计学中有着重要应用。

例如,在二项分布中,可以通过二项式定理计算不同事件发生次数的概率分布。

高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项

高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项

1.3.1 二项式定理1.二项式定理(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n n b n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理.(2)展开式:等号右边的多项式叫做(a +b )n的二项式的展开式,展开式中一共有____项.(3)二项式系数:各项的系数__(k ∈{0,1,2,…,n })叫做二项式系数. 2.二项展开式的通项(a +b )n展开式中第k +1项____________(k ∈{0,1,2,…,n })称为二项展开式的通项. 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些?(2)(x +1)n的展开式共有11项,则n 等于( ). A .9 B .10 C .11 D .12(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________,第6项的系数为__________,x 的次数为5的项为__________.答案:1.(2)n +1 (3)C kn2.T k +1=C k n a n -k b k预习交流:(1)提示:①项数:n +1项;②指数:字母a ,b 的指数和为n ,字母a 的指数由n 递减到0,同时b 的指数由0递增到n ;③通项公式T r +1=C r n a n -r b r指的是第r +1项,不是第r 项;④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念,C rn 叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母外的部分,如(1+2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23=3,而该项的系数为C 23·22=12.(2)提示:B(3)提示:21 -84 -448x 5一、二项式定理的直接应用求⎝⎛⎭⎪⎫3x +1x 4的展开式.思路分析:直接利用二项式定理处理是基本的方法.但考虑到处理起来比较复杂,因此可以考虑将原式变形后再展开.化简:(x -1)5+5(x -1)4+10(x -1)3+10(x -1)2+5(x -1).熟记二项式(a +b )n的展开式,是解决此类问题的关键,我们在解较复杂的二项式问题时,可根据二项式的结构特征进行适当变形,简化展开二项式的过程,使问题的解决更加简便.二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1.(2011山东高考,理14)若⎝⎛⎭⎪⎫x -a x 26展开式的常数项为60,则常数a 的值为__________.思路分析:利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可.2.(2011天津高考,理5)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-2x 6的二项展开式中,x 2的系数为( ).A .-154B .154C .-38D .38思路分析:利用二项展开式的通项公式求.1.(2011陕西高考,理4)(4x -2-x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ). A .-20 B .-15 C .15 D .202.(2011广东高考,理10)x ⎝⎛⎭⎪⎫x -2x 7的展开式中,x 4的系数是________.(用数字作答)求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项T k +1=C k n an -k b k的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围(k =0,1,2,…,n ).(1)第m 项:此时k +1=m ,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解. 三、二项式定理的应用(整除问题)试判断7777-1能否被19整除.思路分析:由于76是19的倍数,可将7777转化为(76+1)77用二项式定理展开.证明:32n +2-8n -9是64的倍数.用二项式定理解决a n+b 整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r <m )的形式,利用二项展开式求解.答案:活动与探究1:解法1:⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0+C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3+C 44(3x )0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4=81x 2+108x +54+12x +1x 2.解法2:⎝⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=3x +14x 2=1x 2(81x 4+108x 3+54x 2+12x +1)=81x 2+108x +54+12x +1x2.迁移与应用:解:原式=C 05(x -1)5+C 15(x -1)4+C 25(x -1)3+C 35(x -1)2+C 45(x -1)+C 55-1=[(x -1)+1]5-1=x 5-1.活动与探究2:1.4 解析:由二项式定理可知T r +1=C r 6x 6-r⎝ ⎛⎭⎪⎫-a x 2r =C r 6(-a )r x 6-3r, 令6-3r =0,得r =2,∴T 3=C 26(-a )2=60. ∴15a =60.∴a =4.2.C 解析:设含x 2的项是二项展开式中第r +1项,则T r +1=C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26-r·⎝⎛⎭⎪⎫-2x r=C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126-r (-2)r x 3-r.令3-r =2,得r =1.∴x 2的系数为C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(-2)=-38.迁移与应用:1.C 解析:设第r +1项为常数项,T r +1=C r 622x (6-r )(-2-x )r =(-1)r ·C r 6212x -2rx -rx, ∴12x -3rx =0, ∴r =4.∴常数项为T 5=(-1)4C 46=15.2.84 解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2x 7的通项T r +1=C r 7x 7-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x r =(-2)r C r 7x 7-2r.令7-2r =3得r =2.因而⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2x 7展开式中含x 3项的系数为(-2)2·C 27=4×7×62=84.故x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2x 7的展开式中,x 4的系数为84.活动与探究3:解:7777-1=(76+1)77-1=7677+C 177·7676+C 277·7675+…+C 7677·76+C 7777-1=76(7676+C 1777675+C 2777674+…+C 7677).由于76能被19整除,因此7777-1能被19整除.迁移与应用:证明:∵32n +2-8n -9 =9n +1-8n -9=(8+1)n +1-8n -9 =8n +1+C 1n +1·8n +…+C n -1n +1·82+C nn +1·8+1-8n -9=8n +1+C 1n +1·8n +…+C n -1n +1·82+8(n +1)+1-8n -9=8n +1+C 1n +1·8n +…+C n -1n +1·82=(8n -1+C 1n +1·8n -2+…+C n -1n +1)·64,故32n +2-8n -9是64的倍数.1.⎝⎛⎭⎪⎫x -1x 16的二项展开式中第4项是( ). A .C 216x 12B .C 316x 10 C .-C 316x 10D .C 416x 82.(2012天津高考,理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2-1x 5的二项展开式中,x 的系数为( ).A .10B .-10C .40D .-403.(2012山东省实验中学诊断,理6)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2+2x 10的展开式中的常数项是( ).A .第10项B .第9项C .第8项D .第7项4.(2012湖南高考,理13)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1x 6的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答)5.在(x +43y )20的展开式中,系数为有理数的项共有__________项. 6.(1-x )4·(1-x )3的展开式中x 2的系数是__________.答案:1.C 解析:展开式的通项公式为T r +1=C r 16·(x )16-r·⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x r =(-1)r ·C r 16·x 16-2r , ∴第4项为T 4=(-1)3C 316·x 10=-C 316x 10. 2.D 解析:T r +1=C r5(2x 2)5-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x r =(-1)r 25-r C r 5x 10-3r ,∴当10-3r =1时,r =3.∴(-1)325-3C 35=-40.3.B 解析:展开式的通项公式为T r +1=C r 10x 20-2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r =2r C r 10·x 20-5r 2,令20-5r 2=0,得r =8.∴常数项为第9项.4.-160 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1x 6的通项为T r +1=C r 6(2x )6-r⎝⎛⎭⎪⎫-1x r=(-1)r C r 626-r x 3-r .当3-r =0时,r =3.故(-1)3C 3626-3=-C 3623=-160.5.6 解析:∵T r +1=3r4C r 20x20-r y r(r =0,1,2,…,20)的系数为有理数,∴r =0,4,8,12,16,20,共6项.6.-6 解析:展开式中的x 2项为C 14·(-x )1·C 23·(-x )2+C 24(-x )2C 03=-6x 2.。

二项式定理-计数原理

二项式定理-计数原理

二项式系数
二项式系数是二项式定理中的重要概念,它代表了展开式中每一项的系数。 二项式系数的计算方法是利用组合数学中的排列组合原理。 这些系数有很多有趣的性质,例如对称性、递推关系等。
二项式定理的公式形式
二项式定理的公式形式是: (a + b)^n = C(n,0) * a^n + C(n,1) * a^(n-1) * b + ... + C(n,n) * b^n 其中,C(n,k)表示组合数,它可以利用二项式系数的性质来计算。
二项式定理在实际问题中的应 用
二项式定理在实际问题中有着广泛的应用。 例如,在统计学中,我们可以利用二项式定理来计算二项分布的概率。 在计算机科学中,我们可以利用它来设计高效的算法以解决各种问题。
二项式系数可以用于计算组合数,而二项式定理提供了展开多项式和计算组 合数的方法。
通过学习二项式定理,我们可以定理的证明和推导
数学家们通过数学归纳法等方法对二项式定理进行了证明和推导。 证明过程涉及到数学中的一些基本概念和技巧,例如二项式系数的递推关系和组合数的性质。 通过深入研究二项式定理的证明和推导过程,我们可以增强对数学的理解和掌握。
二项式定理-计数原理
二项式定理是一种重要的数学定理,它与计数原理密切相关,可以帮助我们 解决各种计数问题。
二项式定理的概念和定义
二项式定理是一个关于展开幂次多项式的公式,它可以用于计算任意次幂的 展开式。 通过二项式定理,我们可以将任意次幂的展开式中的每一项系数都计算出来。
这个定理是数学中的基础定理之一,在代数、概率论等领域有广泛的应用。
二项式定理的应用举例
二项式定理具有广泛的应用,例如在概率论中,我们可以利用它来计算不同结果出现的概率。 在代数中,它可以用于展开多项式、简化运算等。 在实际问题中,我们可以利用二项式定理来解决计数和排列组合等问题。

计数原理:第3讲二项式定理

计数原理:第3讲二项式定理

二项式定理1.二项式定理n*(a + b) = _______________________________ (k , n € N ),这个公式所表示的规律叫做二项式定理.(a + b)n 的二项展开式共有 _______________ 项,其中各项的系数 ______________ (k € {0 , 1, 2,…,n})叫 做二项式系数,式中的 _____________ 叫做二项展开式的通项,用 T k +1表示,即 ____________________ •通项为展开式的第 ___________ 项.2.二项式系数的性质 (1) 对称性在二项展开式中,与首末两端等距离”的两个二项式系数相等,即 C n = C n , C n = C n , C n =,…,C n = C 0.(2) 增减性与最大值二项式系数c n ,当 _______________ 时,二项式系数是递增的;当 ______________ 时,二项式系数是递减 的.当n 是偶数时,中间的一项 _____________ 取得最大值.当n 是奇数时,中间的两项 _____________ 和 _____________ 相等,且同时取得最大值. ⑶各二项式系数的和(a + b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 ____________ ,即C 0 + C 1+ U+…+ ◎+••• + C ;; = _________ 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 c 1+ C 3+ ◎+•••=氏+ U+C 4+ …= __________ .【答案】1.++...+...+w+iCj C 制Ti 二C 紗乍护七+12.【基础自测】1在2x 2— 1 5的二项展开式中,x 的系数为( )A . 10B . — 10C . 40D .— 40解:二项展开式的通项为 T r +1= C 5(2x 2)5 'J — X / = C 525 r x 10 3r (一 1)r ,令 10— 3r = 1,解得 r = 3,所以w+_l 7T 4= C;22X (— 1)3=— 40x ,所以 x 的系数为一40•故选 D.2n *2 (1 + X ) (n € N )的展开式中,系数最大的项是 ( )A •第n + 1项B •第n 项C .第n + 1项D .第n 项与第n + 1项解:展开式共有2n + 1项,且各项系数与相应的二项式系数相同•故选 C.3使?x + 总](n € N *)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )A . 4B . 5C . 6D . 74 设(X — 1)21 = a °+ a 1x + a 2X 2+…+ 玄2低21,贝V a® + a^= ________________ .解:T r + 1 = C 21X^ r (一 1),,…a 10= C 21(一 1)" , a 11= C 21 ( 一 1)勺° •- a 10 + a 11 = 0.故填 0. 5 设「2+ X )10= a °+a 1x + a 2X 2+…+ a 10x 10,贝V (a °+ a 2 + a 4+…+ ag)2—⑻十 a 3 + a 5+…+ a g )2的值为解:设 f(x)=(”』2 + X )10,则(a °+ a ?+ a °+…+ ag)2—⑻十 a 3 + a §+…+ a g )2= [(a °+ a ?+ a °+…+ aw)+ ⑻ + a 3 + a 5+ …+ a 9)][( a o + a 2 + a 4 + …+ ag)—(a 1 + a 3 + a 5 + …+ a ?)] = f(1)f( — 1)=(岑2 + 1)10(p2 — 1)10 = 1.故填 1.【典例】 类型一求特定项例一 (1) x + a 2X — 1 5的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为 ( )A . — 40B . — 20C . 20D . 40解:令"1,可得卄1=2, 口f的展幵式中+项的系数为C 辺(―卩工项的系数为€?2\.■.«+典肚一打的展开式中常数顷为C?2:. - 1 ]十匚工:=40一故选D.【评析】①令工=1可得所有项的系数和,②在求出口的值后,再分析常数项的构成,便可解得常数 项.广 1 帯(2)已知在 饭一 丁 '的展开式中,第6项为常数项,求含 X 2项的系数及展开式中所有的有理项.< 2钱丿 n —5 1 丨 r / 1 r n —2r解:通项 T r +1= C fi x 3 一 2 X 3= C n 一 2 X 3,•••第6项为常数项,••• r = 5时,有上器=0,得n = 10.令芝芦=2,得r = 2,二含x 2项的系数为C ?。

高考数学一轮复习 第十章 计数原理 第3讲 二项式定理

高考数学一轮复习 第十章 计数原理 第3讲 二项式定理

因为第 6 项为常数项,所以 k=5 时,n-23×5=0,即 n=10.
(2)令10-3 2k=2,得 k=2,故含 x2 的项的系数是 C210-122=445. (3)根据通项公式,由题意100≤-3k≤2k∈ 10,Z,
k∈N, 令10-3 2k=r (r∈Z),则 10-2k=3r,k=5-32r, ∵k∈N,∴r 应为偶数.∴r 可取 2,0,-2,即 k 可取 2,5,8, ∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,
2.(人教A版选修2-3P37A5改编)在x(1+x)6的展开式中,含 x3项的系数为( )
A.30
B.20
C.15
D.10
解析 因为(1+x)6 的展开式的第(r+1)项为 Tr+1=C6rxr, x(1+x)6 的展开式中含 x3 的项为 C26x3=15x3,所以系数为 15. 答案 C
3.(2015·陕西卷)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为 15,则n等于( )
它们分别为445x2,683,24556x-2.
规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问 题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通 项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项 指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指 数,再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法 计数原理讨论求解.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)Cknan-kbk 是二项展开式的第 k 项.(×) (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(a+ b)2n 中系数最大的项是第 n 项.(× ) (3)(a+b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关.( √ ) (4)(a+b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等, 与该项的二项式系数不同.(√ )

第1讲计数原理二项式定理

第1讲计数原理二项式定理

第1讲计数原理二项式定理计数原理是组合数学中的一个重要分支,它研究的是对一些数量进行计数的方法和原理。

而二项式定理是计数原理的一个经典定理,它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

二项式定理是由法国数学家帕斯卡在17世纪提出的,他是计数原理的奠基人之一、二项式定理的具体内容是指出了如何求一个二项式的n次方。

一个n次方的二项式可以表示为(a+b)^n,其中a和b是任意常数。

二项式定理告诉我们可以通过展开这个二项式,得到它的展开式。

(a+b)^n的展开式的一般形式是:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n)b^n其中C(n,0),C(n,1),C(n,2),...,C(n,n)被称为组合数,它表示从n 个元素中取k个元素的组合数。

组合数的计算可以借助计数原理中的排列组合问题来解决。

组合数C(n,k)的计算公式为:C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)其中n!表示n的阶乘,k!表示k的阶乘。

阶乘是一个非常重要的数学概念,它表示从1到一些正整数的连乘积。

阶乘的计算可以通过递归或迭代的方式进行。

二项式定理通过组合数的计算,将一个n次方的二项式展开为多个项的和,其中每个项都包含了a和b的不同次数的幂。

这个展开式的应用非常广泛,几乎涉及到了所有领域的数学问题。

在代数中,二项式定理可以求解多项式的展开式,简化复杂表达式的计算。

在概率论中,二项式定理可以用来计算事件的可能性,求解二项分布等概率分布。

在组合数学中,二项式定理可以用来计算组合数,求解排列组合问题。

总之,二项式定理是计数原理中的一个重要定理,它通过组合数的计算,将一个n次方的二项式展开为多个项的和。

二项式定理的应用涉及到了代数、概率论、组合数学等多个领域。

深入理解和掌握二项式定理,对于推导和解决各种数学问题都具有重要意义。

计数原理与二项式定理

计数原理与二项式定理

3.(2018·全国卷Ⅰ)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加 科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有 ___1_6____种.(用数字作答)
解析 解法一:3 人中至少 1 位女生的情况有 1 女 2 男,2 女 1 男两种情况,则不同的选择方法有 C12C24+C22C14= 16 种.
3.(2015·全国卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次 幂项的系数之和为 32,则 a=___3_____.
解析 解法一:由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+ x4,故(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为 4a+4a+1+6+1=32, 解得 a=3.
解法二:3 人中至少 1 位女生的情况可由随机选取 3 人减去全是男生的情况求解,故本题不同的选择方法共有 C36-C34=16 种.
【误区警示】 排列组合的实际应用题中限制条件较多,如何处理这些 限制条件是解决问题的关键. (1)一般来说要遵循排列组合的基本策略:先组后排, 特殊优先.如第 3 题,经常错解为先挑 1 位女生参赛 C12, 再从其余的 5 人中选出两人参加,由乘法原理有 C12C25=20 种.此种解法的错因为出现了重复现象.因此解决此种问题 应将选择的男女生情况进行分类或者是排除不满足条件的 方法进行求解.
计数原理与二项式定理
[考情分析] 本部分内容在高考中常以选择、填空题的 形式出现.对计数原理的考查主要是实际应用问题;对二项 式定理的考查主要是定理的运用或求二项式系数、常数项、 二项式指定项等.
热点题型分析
热点1 计数问题 【方法结论】 求解排列、组合问题的思路:排列分清,加乘明确;有 序排列,无序组合;分类相加,分步相乘.解答通常的途径 有: (1)以元素为主体,即选满足特殊元素的要求,再考虑其 余元素;

计数原理-二项式定理

计数原理-二项式定理

二项式定理知识点1•二项式定理:(a b)n C :a n C ;a n 1b LC :a n r b r L C ;b n (n N ),2. 基本概念:① 二项式展开式:右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。

② 二项式系数:展开式中各项的系数 C n r (r 0,1,2, ,n). ③ 项数:共(r 1)项,是关于a 与b 的齐次多项式④ 通项:展开式中的第 r 1项C :a n r b r 叫做二项式展开式的通项。

用 T r 1 C ;a n r b r 表示。

3. 注意关键点:①项数:展开式中总共有 (n 1)项。

② 顺序:注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。

(a b)n 与(b a)n 是不同的。

③ 指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幕排列。

b 的指数从0逐项减到n ,是升幕排列。

各项的次数和等于n .④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数, 二项式系数依次是4. 常用的结论:④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和:b 的系数 (包括二项式系数)。

C n , C n , C n ,, C n ,, C n-项的系数是a与令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C :x C :x 2 L C ;x r L C ;x n (n N 令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C ;x CnX 2 Lc ;x rLn n n(1) C nX (n5. 性质:①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 kk 1• • • C n②二项式系数和:令 a b 1,则二项式系数的和为Cn c nCn c n LC : 2n,1变形式c n cL C ; LC : 2n③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令 a 1,b 1,则 C° C 1 Cn C 31)n C ; (1 1)n从而得到:C0 CC :Cn rc n c ; L2r 1C n大值。

第十一篇计数原理第3讲二项式定理

第十一篇计数原理第3讲二项式定理

第3讲二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定明白得决与二项展开式有关的简单问题.【温习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式,温习时要熟练把握那个公式,注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用.基础梳理1.二项式定理(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n(n∈N*)那个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.其中的系数C r n(r=0,1,…,n)叫二项式系数.式中的C r n a n-r b r叫二项展开式的通项,用T r+1表示,即通项T r+1=C r n a n-r b r. 2.二项展开式形式上的特点(1)项数为n+1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n,C1n,一直到C n-1n,C n n.3.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等.即C r n=C n-rn. (2)增减性与最大值:二项式系数C k n,当k<n+12时,二项式系数慢慢增大.由对称性知它的后半部份是慢慢减小的;当n是偶数时,中间一项C n2n取得最大值;当n是奇数时,中间两项C n-12n,Cn+12n取得最大值.(3)各二项式系数和:C0n+C1n+C2n+…+C r n+…+C n n=2n;C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1.一个防范运用二项式定理必然要牢记通项T r+1=C r n a n-r b r,注意(a+b)n与(b+a)n尽管相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,必然要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指C r n,而后者是字母外的部份.前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负.一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明,也可依照次数,项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理.因此二项式定理是排列组合知识的进展和延续.两种应用(1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等.(2)展开式的应用:利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式;②可证明不等式;③可证明整除问题;④可做近似计算等.三条性质(1)对称性;(2)增减性;(3)各项二项式系数的和;以上性质可通过观看杨辉三角进行归纳总结.双基自测1.(2020·福建)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于().A.80 B.40 C.20 D.10解析T r+1=C r5(2x)r=2r C r5x r,当r=2时,T3=40x2.答案 B2.假设(1+2)5=a+b2(a,b为有理数),那么a+b=().A.45 B.55 C.70 D.80解析(1+2)5=1+52+10(2)2+10(2)3+5(2)4+(2)5=41+29 2由已知条件a=41,b=29,那么a+b=70.答案 C3.(人教A版教材习题改编)假设(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,那么a0+a2+a4的值为().A.9 B.8 C.7 D.6解析令x=1,那么a0+a1+a2+a3+a4=0令x=-1,那么a0-a1+a2-a3+a4=16∴a0+a2+a4=8.答案 B4.(2020·重庆)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,那么n=().A.6 B.7 C.8 D.9解析T r+1=C r n(3x)r=3r C r n x r由已知条件35C5n=36C6n即C5n=3C6nn!5!(n-5)!=3n!6!(n-6)!整理得n=7答案 B5.(2020·安徽)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,那么a10+a11=________. 解析T r+1=C r21x21-r(-1)r=(-1)r C r21x21-r由题意知a 10,a 11别离是含x 10和x 11项的系数,因此a 10=-C 1121,a 11=C 1021,∴a 10+a 11=C 1021-C 1121=0.答案考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x -33x n 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n ;(2)求含x 2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键.解 通项公式为T r +1=C r n x n -r 3(-3)r x -r 3=(-3)r C r n x n -2r 3.(1)∵第6项为常数项,∴r =5时,有n -2r 3=0,解得n =10.(2)令n -2r 3=2,得r =12(n -6)=2,∴x 2的项的系数为C 210(-3)2=405.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10-2r 3∈Z ,0≤r ≤10,r ∈Z .令10-2r 3=k (k ∈Z ),那么10-2r =3k ,即r =5-32k ,∵r ∈Z ,∴k 应为偶数,∴k =2,0,-2,即r =2,5,8.∴第3项,第6项,第9项为有理项,它们别离为405x 2,-61 236,295 245x -2.求二项展开式中的指定项,一样是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k +1,代回通项公式即可.【训练1】 (2020·山东)若⎝⎛⎭⎪⎫x -a x 26展开式的常数项为60,那么常数a 的值为________.解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x -a x 26展开式的通项公式是T r +1=C r 6x 6-r (-a )r x -2r =C r 6x 6-3r (-a )r ,当r =2时,T r +1为常数项,即常数项是C 26a ,依照已知C 26a =60,解得a =4.答案 4考向二 二项式定理中的赋值【例2】►二项式(2x -3y )9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.[审题视点] 此类问题要认真观看,对二项式中的变量正确赋值.解 设(2x -3y )9=a 0x 9+a 1x 8y +a 2x 7y 2+…+a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09+C19+C 29+…+C 99=29.(2)各项系数之和为a 0+a 1+a 2+…+a 9=(2-3)9=-1(3)由(2)知a 0+a 1+a 2+…+a 9=-1,令x =1,y =-1,得a 0-a 1+a 2-…-a 9=59,将两式相加,得a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=59-12,即为所有奇数项系数之和.二项式定理给出的是一个恒等式,对a ,b 给予一些特定的值,是解决二项式问题的一种重要思想方式.赋值法是从函数的角度来应用二项式定理,即函数f (a ,b )=(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n .对a ,b 给予必然的值,就能够取得一个等式.【训练2】 已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7.求:(1)a 1+a 2+…+a 7;(2)a 1+a 3+a 5+a 7;(3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.解 令x =1,那么a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1.①令x =-1,那么a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37.②(1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2.(2)(①-②)÷2,得a 1+a 3+a 5+a 7=-1-372=-1 094.(3)(①+②)÷2,得a 0+a 2+a 4+a 6=-1+372=1 093.(4)∵(1-2x )7展开式中,a 0,a 2,a 4,a 6大于零,而a 1,a 3,a 5,a 7小于零, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7)=1 093-(-1 094)=2 187.考向三 二项式的和与积【例3】►(1+2x )3(1-x )4展开式中x 项的系数为________.[审题视点] 求多个二项式积的某项系数,要会转化成二项式定理的形式. 解析 (1+2x )3(1-x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而取得,即第一个因式的常数项和一次项别离乘以第二个因式的一次项与常数项,它为C 03(2x )0·C 14(-x )1+C 13(2x )1·C 0414(-x )0,其系数为C03·C 14(-1)+C 13·2=-4+6=2. 答案 2关于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题,要注意排列、组合知识的运用,还要注意有关指数的运算性质.二项式定理研究两项和的展开式,关于三项式问题,一样是通过归并其中的两项或进行因式分解,转化成二项式定理的形式去求解.【训练3】 (2020·广东)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2x 7的展开式中,x 4的系数是________(用数字作答). 解析 原问题等价于求⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2x 7的展开式中x 3的系数,⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2x 7的通项T r +1=C r 7x 7-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x r =(-2)r C r 7x 7-2r ,令7-2r =3得r =2,∴x 3的系数为(-2)2C 27=84,即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2x 7的展开式中x 4的系数为84. 答案 84难点冲破23——排列组合在二项展开式中的应用(a+b)n展开式能够由次数、项数和系数来确信.(1)次数的确信从n个相同的a+b中各取一个(a或b)乘起来,能够组成展开式中的一项,展开式中项的形式是ma p b q,其中p∈N,q∈N,p+q=n.(2)项数的确信知足条件p+q=n,p∈N,q∈N的(p,q)共n+1组.即将(a+b)n展开共2n项,归并同类项后共n+1项.(3)系数的确信展开式中含a p b q(p+q=n)项的系数为C q n(即p个a,q个b的排列数)因此(a+b)n 展开式中的通项是T r+1=C r n a n-r b r(r=0,1,2,…,n)(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+C2n a n-2b2+…+C n n b n这种方式比数学归纳法推导二项式定理更具一样性和制造性,不仅可二项展开,也可三项展开,四项展开等.【例如】►假设多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,那么a9=().A.9 B.10 C.-9 D.-10。

第一讲 计数原理、二项式定理

第一讲 计数原理、二项式定理

专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第一讲计数原理、二项式定理1.分类加法计数原理.完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有m n种不同的方法;那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+m n 种不同的方法.2.分步乘法计数原理.完成一件事需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1×m2× m3× …×m n种不同的方法.1.排列数公式:A m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!(阶乘形式).2.组合数公式:C m n=A m nA m m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!(阶乘形式).1.二项式定理.(1)定理:(a+b)n C0n a n+C1n a n-1b1+…+C k n a n-k b k+…+C n nb n(n∈N*,k=0,1,…,n).(2)通项与二项式系数.二项展开式的通项为T k+1=C k n a n-k b k,其中C k n(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.2.二项式系数的性质.(1)对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C0n=C n n,C1n=C n-1n ,C2n=C n-2n,…,C r n=C n-rn.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)(3)C k n a n-k b k是二项展开式的第k项.(×)(4)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(×)(5)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(√)1.(2014·全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(C) A.60种B.70种C.75种D.150种解析:由已知可得不同的选法共有C26C15=75.故选C.2.对于小于55的自然数n,积(55-n)(56-n)·…·(68-n)·(69-n)等于(B)A.A55-n69-nB.A1569-n C.A1555-n D.A1469-n3.(2015·广东卷)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了1_560条毕业留言.(用数字作答)解析:A240=40×39=1 560.4.(2015·广东卷)在(x-1)4的展开式中,x的系数为6.解析:T r+1=C r4·(x)4-r·(-1)r.令r=2,则C24(-1)2=6.一、选择题1.把6名学生分配到3个校门值日,其中前门3人,侧门2人,后门1人,则不同的分配方案共有(A)A.C36C23种B.3C36C23种C.C36C23A33种 D.C36C23 A33种解析:分三步完成分配方案:第一步,从6人中选3人到前门值日,有C36种方法;第二步,从剩下的3人中选2人到侧门值日,有C23种方法;第三步,把剩下的1人派到后门值日,有1种方法.由乘法计数原理,不同的分配方案有C36C23种.2.(2014·辽宁卷)6把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(D)A.144 B.120 C.72 D .24解析:将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6,故任何两人不相邻的坐法,可安排:“1,3,5”;“1,3,6”;“1,4,6”;“2,4,6”号位置坐人,故总数由4A33=24.故选D.3.(2015·陕西卷)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=(C)A.4 B.5 C.6 D.7解析:(x+1)n=(1+x)n,(1+x)n的通项为T r+1=C r n x r,令r=2,则C2n=15,即n(n-1)=30.又n>0,得n=6.4.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是(A)A.-15 B.85C.-120 D.274解析:从四个括号中取x,剩下的括号里取常数项,得到x4的系数,故x4的系数是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.5.若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a9等于(D)A.9 B.10C.-9 D.-10解析:根据等式左边x10的系数为1,易知a10=1,等式右边x9的系数为a9+a10C110=10+a9,等式左边x9的系数为0,故10+a9=0,所以a9=-10.6.设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有(B) A.50种B.49种C.48种D.47种解析:对A中最大的数进行分类讨论:①若集合A中最大的数为1,则B的选择方法有C14+C24+C34+C44=15种;②若集合A中最大数为2,则B的选择方法有C13+C23+C33=7种;而A有2种选法,故共有14种;③若集合A中最大数为3,则B的选择方法有C12+C22=3种,而A有4种选法,故共有12种;④若集合A中最大数为4,则B的选择方法有1种,而A有8种选法,如下:4;1,4;2,4;3,4;1,2,4;1,3,4;2,3,4;1,2,3,4.故共有8种.所以一共有15+14+12+8=49种不同的选法.二、填空题7.(2015·新课标Ⅱ卷)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=3.解析:设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,∴a=3.8.(2014·浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有60种(用数字作答).三、解答题9.有4个不同的球,4个不同的盒子,现在要把球全部放入盒内.(1)共有几种放法?(2)恰有一个盒不放球,共有几种放法?(3)恰有一个盒放两个球,共有几种放法?(4)恰有两个盒不放球,共有几种放法?解析:(1)一个球一个球地放到盒子里,每个球都可有4种独立的放法.由分步计数原理,放法共有44=256种.(2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从4个盒子中任意拿出去1个;将4个球分为2,1,1三组,有C 24种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个各放一个球,两个盒子全排列即可.由分步计数原理,共有C 14·C 24·C 13·A 22=144种放法.(3)“恰有一个盒内有2个球”,即另外的三个盒子共放2个球,每个盒子至多放1个球,即另外三个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有一个盒内有2个球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事,故也有144种放法.(4)先从四个盒子中任意拿走两个,问题转化为:“4个球,两个盒子,每个盒子必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为3,1和2,2两类.第一类:可从4个球中先选3个,然后放入指定的一个盒子中即可,有C 34C 12种放法;第二类:有C 24种放法.因此共有C 34C 12+C 24=14种.由分步计数原理得“恰有两个盒内不放球”的放法有:14C 24=84种.10.已知(a +1)n展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2+1x 5展开式的常数项,而(a +1)n 展开式中的二项式系数最大的项等于54,求a 的值.解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2+1x 5的展开式的通项为T r +1=C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25-r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =⎝ ⎛⎭⎪⎫1655-r C r5x 20-5r 2,令20-5r 2=0,得r =4,∴常数项为T 5=C 45·165=16.又∵(a+1)n的展开式的各项系数之和等于2n.∴2n=16,∴n=4.由二项式系数的性质知,(a+1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项即第3项,T3=C24a2=54,解得a=±3.。

计数原理及二项式定理概念公式总结

计数原理及二项式定理概念公式总结

计数原理及二项式定理概念公式总结计数原理和二项式定理是组合数学中的基本概念之一,被广泛应用于概率统计、离散数学、组合数学等领域。

下面将对这两个概念进行详细的解释和总结。

一、计数原理计数原理是组合数学中的一种基本原理,用于求解离散数学中的计数问题。

计数原理包括基本计数原理、乘法原理、加法原理和排列组合原理。

1.基本计数原理:基本计数原理是运用数学归纳法来解决计数问题的基本方法。

它的核心思想是将一个计数问题分解为若干个互相独立的子问题,再对子问题求解,最后将子问题的解累加得到原问题的解。

2.乘法原理:乘法原理是计数原理的一种特殊形式,用于解决多阶段决策类计数问题。

乘法原理的关键是将决策问题分解为多个阶段的决策子问题,然后通过求解每个子问题在相应阶段的可选项个数,再将各阶段的可选项个数相乘得到问题的解。

3.加法原理:加法原理是计数原理的另一种特殊形式,适用于解决分情况计数问题。

加法原理的核心思想是将计数问题分解为若干个情况,然后分别计算每种情况下的计数结果,最后将各种情况下计数结果相加得到问题的解。

4.排列组合原理:排列组合原理是计数原理的核心概念,描述了从给定元素集合中选取若干元素进行排列或组合的方法。

排列组合分为无重复元素的排列组合和有重复元素的排列组合两种情况。

-无重复元素的排列组合:若从n个不同元素中选取r个元素进行排列,称为排列数,用符号P(n,r)表示,排列数的计算公式为P(n,r)=n*(n-1)*...*(n-r+1)=n!/(n-r)。

若从n个不同元素中选取r个元素进行组合,称为组合数,用符号C(n,r)表示,组合数的计算公式为C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/(r!*(n-r)。

-有重复元素的排列组合:若从n个相同元素中选取r个元素进行排列,称为重复排列,用符号P(n;r₁,r₂,...,r_k)表示,重复排列的计算公式为P(n;r₁,r₂,...,r_k)=n!/(r₁!*r₂!*...*r_k!),其中r₁,r₂,...,r_k分别表示重复元素的个数。

新高考 核心考点与题型 计数原理 第2讲 二项式定理 - 解析

新高考 核心考点与题型 计数原理 第2讲  二项式定理 - 解析

第2讲二项式定理【考情考向分析】以理解和应用二项式定理为主,常考查二项展开式,通项公式以及二项式系数的性质,赋值法求系数的和也是考查的热点;本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查,难度中档.1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n(n∈N*);(2)通项公式:T r+1=C r n a n-r b r,它表示第r+1项;(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数C0n,C1n,…,C n n.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等,即C k n=C n-kn增减性二项式系数C k n 当k<n+12(n∈N*)时,是递增的当k>n+12(n∈N*)时,是递减的二项式系数最大值当n为偶数时,中间的一项2Cnn取得最大值当n为奇数时,中间的两项12Cnn-与12Cnn+取得最大值3.各二项式系数和(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和:C0n+C1n+C2n+…+C n n=2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1.[微点提醒] (a+b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n+1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n,C1n,一直到C n-1n,C n n.题型一 二项展开式考法(一) 求解形如(a +b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1]⎝⎛⎭⎫x 2+2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80解 ⎝⎛⎭⎫x 2+2x 5的展开式的通项公式为T r +1=C r 5·(x 2)5-r ·⎝⎛⎭⎫2x r =C r 5·2r ·x 10-3r ,令10-3r =4, 得r =2.故展开式中x 4的系数为C 25·22=40. 规律方法 求形如(a +b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r +1=C r n an -r b r,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r ;第三步,把r 代入通项公式中,即可求出T r +1,有时还需要先求n ,再求r ,才能求出T r +1或者其他量.【变式1】若(2x -a )5的二项展开式中x 3的系数为720,则a =________.解 (2x -a )5的展开式的通项公式为T r +1=(-1)r ·C r 5·(2x )5-r ·a r =(-1)r ·C r 5·25-r ·a r ·x 5-r , 令5-r =3,解得r =2,由(-1)2·C 25·25-2·a 2=720,解得a =±3. 【变式2】已知⎝⎛⎭⎫x -a x 5的展开式中x 5的系数为A ,x 2的系数为B ,若A +B =11, 则a =________.解 ⎝⎛⎭⎫x -a x 5的展开式的通项公式为T r +1=C r 5x 5-r ·⎝⎛⎭⎫-a x r =C r 5(-a )r x 5-32r .由5-32r =5, 得r =0,由5-32r =2,得r =2,所以A =C 05×(-a )0=1,B =C 25×(-a )2=10a 2, 则由1+10a 2=11,解得a =±1.考法(二) 求解形如(a +b )m (c +d )n (m ,n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解 (1)法一:(1-x )6的展开式的通项为C m 6·(-x )m =C m 6(-1)m x m 2,(1+x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n =C n 4x n 2,其中m =0,1,2,…,6,n =0,1,2,3,4,令m 2+n 2=1,得m +n =2, 于是(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数为C 06·(-1)0·C 24+C 16·(-1)1·C 14+C 26·(-1)2·C 04=-3.法二:(1-x )6(1+x )4=[(1-x )(1+x )]4(1-x )2=(1-x )4(1-2x +x ).于是(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数为C 04·1+C 14·(-1)1·1=-3. 规律方法 求形如(a +b )m (c +d )n (m ,n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,根据二项式定理把(a +b )m 与(c +d )n 分别展开,并写出其通项公式;第二步,根据特定项的次数,分析特定项可由(a +b )m 与(c +d )n 的展开式中的哪些项相乘得到;第三步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.【变式1】已知(x -1)(ax +1)6的展开式中含x 2项的系数为0,则正实数a =________.解 (ax +1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2,含x 项的系数为C 56a ,由(x -1)(ax +1)6的展开式中含x 2项的系数为0,得-C 46a 2+C 56a =0,因为a 为正实数,所以15a =6,所以a =25. 【变式2】在(1-x 3)(2+x )6的展开式中,x 5的系数是________.(用数字作答)解:二项展开式中,含x 5的项是C 562x 5-x 3C 2624x 2=-228x 5,所以x 5的系数是-228.考法(三) 求形如(a +b +c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (x 2+x +y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )A.10B.20C.30D.60解 (x 2+x +y )5的展开式的通项为T r +1=C r 5(x 2+x )5-r ·y r ,令r =2,则T 3=C 25(x 2+x )3y 2, 又(x 2+x )3的展开式的通项为T k +1=C k 3(x 2)3-k ·x k =C k 3x 6-k ,令6-k =5,则k =1, 所以(x 2+x +y )5的展开式中,x 5y 2的系数为C 25C 13=30.规律方法 求形如(a +b +c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,把三项的和a +b +c 看成是(a +b )与c 两项的和; 第二步,根据二项式定理写出[(a +b )+c ]n 的展开式的通项; 第三步,对特定项的次数进行分析,弄清特定项是由(a +b )n -r的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的;第四步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 【变式1】将⎝⎛⎭⎫x +4x -43展开后,常数项是________. 解 ⎝⎛⎭⎫x +4x -43=⎝⎛⎭⎫x -2x 6展开式的通项是C k 6(x )6-k ·⎝⎛⎭⎫-2x k =(-2)k ·C k 6x 3-k . 令3-k =0,得k =3.所以常数项是C 36(-2)3=-160.【变式2】⎝⎛⎭⎫x 2+1x +25(x >0)的展开式中的常数项为________.解 ⎝⎛⎭⎫x 2+1x +25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 10,因而T r +1=C r 10⎝⎛⎭⎫1210-r (x )10-2r ,令10-2r =0,得r =5,故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125=6322.题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题典例1 设2002002210200)14(x a x a x a a x ++++=- ,求: ①展开式中各二项式系数的和;②展开式中各项系数的和;③19931a a a +++ 的值④20042a a a +++ 的值⑤20021a a a +++ 的值【思路解析】本题级出二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和,可用赋值法,即令x 取特殊值来解决。

高中数学第1章计数原理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角b23b高二23数学

高中数学第1章计数原理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角b23b高二23数学

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3.求展开式中系数的最大值问题. 在系数均为正的前提下,求它们的最大值只需比较相邻两个的 大小,根据通项公式正确地列出不等式(组)即可.即设第 r+1 项的系数最大, 则TTrr++11的的系系数数≥≥TTrr的+2的系系数数.
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故(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 令 x=1,得 a0+a1+…+a5=1.
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2.已知(1-2x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14,试求: (1)a0+a1+a2+…+a14; (2)a1+a3+a5+…+a13.
第一章 计数(jìshù)原 理
1.3 .2 杨辉三角
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第一章 计数(jìshù)原理
1.了解杨辉三角的特点. 2.理解二项式系数的性 质及证明. 3.掌握二项式系数的性质及其应用.
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二项式系数的性质(杨辉三角) (1)每一行的两端都是__1_,其余每个数都等于它“肩上”两个数 的和.即:C0n=__1__,Cnn=__1__,Cmn+1=_C__nm_-_1+__C__nm___. (2)每一行中,_与__首_末__(_sh_ǒu_m_ò_)两__端__“_等__距__离_”___的两个数相等.即: Cnm=Cnn-m.
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1.杨辉三角直观地给出了二项式系数的性质,有关杨辉三角的 问题,要从横看、竖看、隔行看、连续看等多角度找出数据与 组合数的关系规律. 2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字 母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数和 特征来确定.一般地对字母赋的值为 1 或-1,但在解决具体问 题时要灵活掌握.

高中数学第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理课件新人教A版选择性必修第三册

高中数学第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理课件新人教A版选择性必修第三册

3.(1)若x-ax9 的展开式中 x3 的系数是-84,则 a=________; (2)已知 n 为等差数列-4,-2,0,…的第六项,则x+2xn 的二项展 开式的常数项是________. 【答案】(1)1 【解析】Tk+1=C9kx9-k(-a)k1xk=Ck9·(-a)kx9-2k(0≤k≤9,k∈N).当 9 -2k=3 时,解得 k=3,代入得 x3 的系数,根据题意得 C93(-a)3=-84, 解得 a=1.
5.求二项式( x-3 x)9 展开式中的有理项. 解:Tk+1=Ck9(x21)9-k·(-x13)k=(-1)kCk9·x276-k,令276-k∈Z(0≤k≤9), 得 k=3 或 k=9,所以当 k=3 时,276-k=4,T4=(-1)3C93x4=-84x4, 当 k=9 时,276-k=3,T10=(-1)9C99x3=-x3.综上,展开式中的有理项 为-84x4 与-x3.
二项式系数与项的系数 (1)二项展开式中的二项式系数是指 C0n,C1n,…,Cnn这些组合数,与 a,b 无关. (2)项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数,与 a,b 有关,项的系数未必是正数.
二项式项与项数 (1)项是指项的系数和含字母的式子的积. (2)项数是指该项在展开式中的位置.
=4,则 n=6,此时(-1)4·C64=15,所以 n=6.
4.在
x+ 1 3
24
的展开式中,x
的幂指数是整数的项共有
(
)
x
A.3 项
B.4 项
C.5 项
D.6 项
【答案】C
【解析】
x+
1
24
3 x
的展开式的通项为
Tk+1=Ck24·(

2019高考数学考点突破——计数原理:二项式定理

2019高考数学考点突破——计数原理:二项式定理

[ 答案 ] 40
[ 解析 ] 由二项式定理可得,展开式中含

40x
3y
3
,则
x3 y3 的系数为
40.
x3y3 的项为 x·C35(2 x) 2( - y) 3+y· C25(2 x) 3( -y) 2
考点二、二项式系数的和与各Байду номын сангаас的系数和
【例
4】 (1) 若二项式
3x2- 1 x
n 的展开式中各项系数的和是
x) 3y2,又 ( x2+ x) 3 的展开式的通项为
k
C3(
x 2)
· 3- k
x
k

x Ck 6-k 3
,令
6- k=5,则
k=1,所以 ( x2 +x
+ y) 5 的展开式中, x5y2 的系数为 C25C13= 30,故选 C.
【类题通法】
求形如
(
a+ b+ c)
n
展开式中特定项的步骤
【对点训练】 ( x+ y)(2 x- y) 5 的展开式中 x3y3 的系数为 ________.
B
. 243
512 ,则展开式中的常数项为
()
A.- 27C39
B
. 27C39
C
.- 9C49
D
. 9C49
(2)(1 - 3x) 5 = a0 + a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5,则 | a0| + | a1| + | a2| + | a3| + | a4| + | a5| =
()
A. 1 024
[ 答案 ] 10
[ 解析 ]
由 (2 x+ x ) 5 得 Tr +1= Cr5(2 x) 5-r (

计数原理与二项式定理(难点突破 教师版)

计数原理与二项式定理(难点突破 教师版)

关系及余式的范围.
(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数.解决这类问 题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析.
(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用 方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围.
8.组合数的性质不仅有课本上介绍的 Cmk
⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求 r ,再求Tr+1 ,有时还需先求
n ,再求 r ,才能求出Tr+1 .
⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决, 但要注意分类清楚,不重不漏.
⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法 是解决二项式系数问题的一个重要手段.
开式中,要注意项 的系数和二项式系数的区别.
3. 排列组合在二项展开式中的应用: (a + b)n 展开式可以由次数、项数和系数来确定.
(1)次数的确定:从 n 个相同的 a + b 中各取一个( a 或 b )乘起来,可以构成展开式中的 一项,展开式中项的形式是 ma pbq ,其中 p, q N, p + q = n .
(2)项数的确定:满足条件 p, q N, p + q = n 的 ( p, q) 共 n +1组. 即将 (a + b)n 展开共 2n 项,合并同类项后共 n +1项.
(3)系数的确定:展开式中含 a pbq ( p + q = n )项的系数为 Cnp (即 p 个 a , q 个 b 的排
⑤在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题 的经典方法.

【高中数学】计数原理(2)-- 二项式定理

【高中数学】计数原理(2)-- 二项式定理

【高中数学】计数原理(2)---二项式定理注意:后面有一份高中数学选修2-2的综合测试题及参考答案一、基本知识点1、二项式定理:)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n2、几个基本概念(1)二项展开式:右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式 (2)项数:二项展开式中共有1+n 项(3)二项式系数:),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 (4)通项:展开式的第1+r 项,即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+3、展开式的特点(1)系数:都是组合数,依次为C 0n 、C 1n 、C 2n 、C n n 、…、C nn (2)指数的特点:①a 的指数 由n0(降幂) ②b 的指数由0n (升幂)③a 和b 的指数和为n.(3)展开式是一个恒等式,a ,b 可取任意的复数,n 为任意的自然数。

4、二项式系数的性质:(1)对称性:在二项展开式中,与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。

即 (2)增减性与最值:二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时,中间一项取得最大值2nn C当n 是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值21-n nC =21+n n C(3)二项式系数的和: 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。

即二项式定理常见题型: 一、求二项展开式 1.“nb a )(+”型的展开式 例1.求4)13(xx +的展开式;mn n mn C C -=nnn k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴ 0213n-1nn n nC +C +=C +C +=22.“nb a )(-”型的展开式 例2.求4)13(xx -的展开式;3.二项式展开式的“逆用”例3.计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-;二、通项公式的应用 1.确定二项式中的有关元素 例4.已知9)2(x xa -的展开式中3x 的系数为49,常数a 的值为 .2.确定二项展开式的常数项 例5.103)1(xx -展开式中的常数项是 .3.求单一二项式指定幂的系数 例6. 92)21(xx -展开式中9x 的系数是 .三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数例7.5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中,2x 的系数等于 .例8.72)2)(1-+x x (的展开式中,3x 项的系数是 . 四、利用二项式定理的性质解题 1. 求中间项 例9.求(103)1xx -的展开式的中间项;2. 求有理项 例10.求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项;3. 求系数最大或最小项(1)特殊的系数最大或最小问题例11.在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是 . (2)一般的系数最大或最小问题 例12.求84)21(xx +展开式中系数最大的项.(3)系数绝对值最大的项例13.在(7)y x -的展开式中,系数绝对值最大项是 .五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数和 例14.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+,则2312420)()(a a a a a +-++的值为 .例15.设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-,则=++++6210...a a a a . 六、利用二项式定理求近似值例16.求6998.0的近似值,使误差小于001.0.七、利用二项式定理证明整除问题 例17.求证:15151-能被7整除。

计数原理

计数原理

计数原理一、公式:1、计数公式表:①分类计数:N=m 1+m 2+m 3+......+m n②分步计数:N=m 1.m 2m 3......m n③全排列列:n n A =n!;④排列数公式:⑤2、组合数的性质:(10=n C )③④⑤ ()()()⎪⎩⎪⎨⎧=±是偶数是奇数n C n C x n n n n n C ,max 2213、二项式定理(1)二项式展开公式:(a+b)n =Cn0a n +Cn 1a n-1b+…+Cn k a n-kb k +…+Cn n b n ;(2)通项公式:二项式展开式中第k+1项的通项公式是:T k+1=Cn k a n-k b k二、常规题型:1、5名运动员参加军事三项赛,射击、游泳、越野长跑,各设一名冠军,三项冠军获得者的结果有多 少种?2、3枚1分硬币,6枚1角硬币,4张10元 纸币,共有多少种零币值(无重复)3、8人排对照象,按如下要求各有多少种排法:1121...++++=++++m n m n m m m m m m C C C C C(1)甲、乙、丙三人必须相邻,丁、戊两人不相邻;(2)甲、乙、两人必站中间,丙、丁两人不站两端;(3)甲不在左端且不在乙且不在乙的右侧任何位置;(4)8个人中4男4女做到同性别不相邻;(5)8个人中3个大人,5个小孩,要求每个大人右边相邻的必是小孩;(6)甲、乙两人中甲不在左端,乙不在右端;4、有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种 B.70种C.75种 D.150种5、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成无重复数字的自然数(1)可组成多少个四位偶数;(2)可组成多少个被25整除的四位数;(3)将组成的所有四位数按从大到小排列,第1010个数是哪个四位数6、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数()A、144B、120C、96D、727、某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言。

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小题精练:计数原理与二项式定理(限时:50分钟)1.甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相同的选法共有( )A .3种B .6种C .9种D .12种2.(2013·高考四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a ,b ,共可得到lg a -lg b 的不同值的个数是( )A .9B .10C .18D .203.(2013·高考全国卷)(x +2)8的展开式中x 6的系数是( )A .28B .56C .112D .2244.将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习,若每班至少安排1名教师,则不同的分配方案种数为( ) A .12B .36C .72D .1085.(2014·济南市模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2-13x 8的展开式中常数项是( )A .28B .-7C .7D .-286.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中,不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中,则不同的放法有( ) A .36种B .45种C .54种D .84种7.一个盒子里有3个分别标有号码1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有( )A .12种B .15种C .17种D .19种8.(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x +2+m)9=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9,且(a 0+a 2+…+a 8)2-(a 1+a 3+…+a 9)2=39,则实数m 的值为( )A .1或-3B .-1或3C .1D .-39.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A .18个B .15个C .12个D .9个10.设复数x =2i 1-i(i 是虚数单位),则C 12 013x +C 22 013x 2+C 32 013x 3+…+C 2 0132 013x 2 013=( )A .iB .-IC .-1+iD .1+i11.(2014·郑州市质检)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x +12·4x n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( )A .16B .14C .13D .51212.(2013·高考北京卷)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.13.若(1-2x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 1+a 2+a 3+a 4=________.14.(2013·高考天津卷)⎝⎛⎭⎪⎫x -1x 6的二项展开式中的常数项为________.15.(2014·湖北省八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为________.小题精练:概率、随机变量及分布列(限时:50分钟)1.已知集合M ={x |-2≤x ≤8},N ={x |x 2-3x +2≤0},在集合M 中任取一个元素x ,则“x ∈M ∩N ”的概率是( ) A.110 B.16 C.310 D.122.(2014·武汉市调研测试)已知数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=-2a n (n ∈N *).若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项,则该项不小于8的概率是( ) A.310 B.25 C.35 D.7103.记a ,b 分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x 2-ax +2b =0有两个不同实根的概率为( )A.518B.14C.310D.9104.(2013·高考新课标全国卷)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.165.(2014·石家庄高三模拟)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A .0.852 B .0.819 2 C .0.8 D .0.756.(2013·高考四川卷)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.787.(2014·郑州市质量检测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5 120颗 ,正方形的内切圆区域有豆4 009颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( ) A .3.13 B .3.14 C .3.15 D .3.168.(2014·湖南师大附中模拟)一个盒子里有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23 B.512 C.59 D.799.(2014·大连市双基测试)把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A .1 B.12 C.13 D.1410.若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ,则方程x =22a -2bx有不等实根的概率为( ) A.14 B.12 C.34 D.2511.(2014·成都市诊断检测)已知集合{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧2x -y -4≤0x +y ≥0x -y ≥0}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P (x ,y ),则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为( )A.3π32B.3π16C.π32D.π1612.(2014·洛南市高三统考)执行如图所示的程序框图,任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1),则能输出数对(x ,y )的概率为( )A.14B.13C.23D.3413.(2013·高考江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为________.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a 、b ,则直线ax +by =0与圆(x -2)2+y 2=2有公共点的概率为________.小题精练(十八)1.解析:选B .本题用排除法,甲、乙两人从A 、B 、C 三个景点中各选两个游玩,共有C 23·C 23=9种,但两人所选景点不能完全相同,所以排除3种完全相同的选择,故有6种,选B .2.解析:选C .利用排列知识求解.从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A 25=20,但lg 1-lg 3=lg 3-lg 9,lg 3-lg 1=lg 9-lg 3,所以不同值的个数为20-2=18,故选C . 3.解析:选C .写出二项展开式的通项,从而确定x 6的系数. 该二项展开式的通项为T r +1=C r 8x 8-r 2r=2r C r 8x8-r,令r =2,得T 3=22C 28x 6=112x 6,所以x6的系数是112.4.解析:选B .本题是定向分配问题.由于元素个数多于位置个数,故先分堆再分位置,分两步完成,第一步,从4名教师中选出2名教师分成一组,其余2名教师各自为一组,共有C 24种选法,第二步,将上述三组与3个班级对应,共有A 33种,这样,所求的不同的方案种数为C 24A 33=36.5.解析:选C .展开式的通项公式是T r +1=C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28-r·(-1)rx -r 3,令8-r -r 3=0,得r=6,所以展开式中的常数项为C 68×⎝ ⎛⎭⎪⎫122=28×14=7.6.解析:选A .先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法,再把剩下的四个球放入盒子中,根据4的“错位数”是9,得不同的放法有4×9=36种.8.解析:选D .依题意得,就这3次中取得小球标号中含3的小球的实际次数进行分类计数:第一类,当这3次中取得小球标号中含3的小球仅有1次时,满足题意的取法有C 13×22=12种;第二类,当这3次中取得小球标号中含3的小球恰有2次时,满足题意的取法有C 23×2=6种;第三类,当这3次中取得小球标号中含3的小球有3次时,满足题意的取法有1种.故满足题意的取法共有12+6+1=19种,选D .9.解析:选A .令x =0,得到a 0+a 1+a 2+…+a 9=(2+m)9,令x =-2,得到a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 9=m 9,所以有(2+m)9m 9=39,即m 2+2m =3,解得m =1或-3.10.解析:选B .依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004;由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031,由2、2、0组成3个数分别为220、202、022;由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计3+6+3+3=15个.11.解析:选C .x =2i 1-i=-1+i ,C 12 013x +C 22 013x 2+…+C 2 0132 013x 2 013=(1+x)2 013-1=i 2 013-1=i -1,选C .12.解析:选D .注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x +12·4x n的展开式的通项是T r +1=C rn ·(x)n -r·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12·4x r=C rn ·2-r ·x 2n -3r 4.依题意有C 0n +C 2n ·2-2=2C 1n ·2-1=n ,即n 2-9n +8=0,(n -1)(n -8)=0(n ≥2),因此n =8.∵二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x +12·4x 8的展开式的通项是T r +1=C r 8·2-r·x4-3r 4,其展开式中的有理项共有3项,所求的概率等于A 66·A 37A 99=512,选D .13.解析:先分组后用分配法求解,5张参观券分为4组,其中有2个连号的有4种分法,每一种分法中的排列方法有A 44种,因此共有不同的分法4A 44=4×24=96(种). 答案:9614.解析:令x =1可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=1,令x =0,可得a 0=1,所以a 1+a 2+a 3+a 4=0. 答案:015.解析:先写出展开式的通项,再求常数项.⎝⎛⎭⎪⎫x -1x 6的展开式通项为T r +1=(-1)r C r 6x 6-r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =(-1)r C r 6x6-32r ,令6-32r =0,解得r =4,故常数项为(-1)4C 46=15. 答案:1516.解析:先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组,再排,有C 12A 22A 22A 22种方法,然后排2艘攻击型核潜艇,有A 22种方法,故舰艇分配方案的方法数为C 12A 22A 22A 22A 22=32. 答案:32小题精练(十六)1.解析:选A.因为N ={x |x 2-3x +2≤0}=[1,2],所以M ∩N =[1,2],所以所求的概率为2-18+2=110. 2.解析:选B.依题意可知a n =2·(-2)n -1,由计算可知,前10项中,不小于8的只有8,32,128,512,4个数,故所求概率是410=25.故选B.3.解析:选B.由题意知分别投两次骰子所得的数字分别为a ,b ,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36个;而方程x 2-ax +2b =0有两个不同实根的条件是a2-8b >0,因此满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求的概率为936=14.4.解析:选B.用列举法求出事件的个数,再利用古典概型求概率.从1,2,3,4中任取2个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种情形,而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4种情形,所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412=13.5.解析:选D.因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组,所以射击4次至少击中3次的概率为1-520=0.75,故选D.6.解析:选C.结合线性规划,利用几何概型求解.设两串彩灯同时通电后,第一次闪亮的时刻分别为x ,y ,则0≤x ≤4,0≤y ≤4,而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”,即|x -y |≤2,可行域如图阴影部分所示.由几何概型概率公式得P (A )=42-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×242=34. 7.解析:选A.根据几何概型的定义有π·⎝ ⎛⎭⎪⎫1221=4 0095 120,得π=3.13. 8.解析:选C.记“第i (i =1,2)支晶体管是好的”为事件A i (其中i =1,2),依题意知,要求的概率为P (A 2|A 1).由于P (A 1)=35,P (A 1A 2)=6×510×9=13,所以P (A 2|A 1)=P (A 2A 1)P (A 1)=1335=59. 9.解析:选B.记事件A :第一次抛出的是偶数点,B :第二次抛出的是偶数点, 则P (B |A )=P (AB )P (A )=12×1212=12.10.解析:选B.据题意基本事件空间Ω={(a ,b )|0<a <1,0<b <1},若方程x =22a -2b x,即x 2-22ax +2b =0(x ≠0)有两不等实根,则有8a -8b >0,b ≠0⇔a >b ,即事件A ={(a ,b )|⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,0<b <1,a >b},如图分别作出两集合表示点(a ,b )对应的平面区域,由几何概型可知其概率等于两平面区域面积之比,易得P (A )=12.11.解析:选 A.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -4≤0x +y ≥0x -y ≥0表示的平面区域,如图三角形ABO ,且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,B (4,-4),所以S △ABO =12×423×42=163,点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的面积S 扇形=14×π(2)2=π2,所以所求概率P =π2163=π2×316=3π32.12.解析:选B.依题意,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12=1;不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤1y ≤x 2表示的平面区域的面积等于⎠⎛01x 2d x =⎪⎪⎪13x 310=13,因此所求的概率等于13,选B .15.解析:利用古典概型概率的计算公式求解.因为正整数m ,n 满足m ≤7,n ≤9,所以(m ,n)所有可能的取值一共有7×9=63(种),其中m ,n 都取到奇数的情况有4×5=20(种),因此所求概率为P =2063.答案:206316.解析:依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种,其中满足直线ax +by =0与圆(x -2)2+y 2=2有公共点,即2a a 2+b2≤2,a ≤b 的数组(a ,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共1+2+3+4+5+6=21种,因此所求的概率等于2136=712.答案:712。

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