第十一篇 计数原理第3讲 二项式定理

第3讲二项式定理

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

【复习指导】

二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．

基础梳理

1．二项式定理

(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．

其中的系数C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．

式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1

n

，C n n.

3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r

n

.

(2)增减性与最大值：

二项式系数C k n，当k＜n＋1

2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分

是逐渐减小的；

当n是偶数时，中间一项C n

2n取得最大值；

当n是奇数时，中间两项C n－1

2n，C

n＋1

2n取得最大值．

(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n；

C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.

一个防范

＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，运用二项式定理一定要牢记通项T r

＋1

但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理

二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．

两种应用

(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．

三条性质

(1)对称性；

(2)增减性；

(3)各项二项式系数的和；

以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．

双基自测

1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．

A．80 B．40 C．20 D．10

＝C r5(2x)r＝2r C r5x r，

解析T r

＋1

当r＝2时，T3＝40x2.

答案 B

2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．

A．45 B．55 C．70 D．80

解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋29 2

由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.

答案 C

3．(人教A 版教材习题改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )．

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0

令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16

∴a 0＋a 2＋a 4＝8.

答案 B

4．(2011·重庆)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )．

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析 T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r

由已知条件35C 5n ＝36C 6n

即C 5n ＝3C 6n

n ！5！(n －5)！＝3n ！6！(n －6)！

整理得n ＝7

答案 B

5．(2011·安徽)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.

解析 T r ＋1＝C r 21x 21－r (－1)r ＝(－1)r C r 21x

21－r 由题意知a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，

∴a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.

答案 0

考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数

【例1】►已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；

(2)求含x 2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．

解 通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3

. (1)∵第6项为常数项，

∴r ＝5时，有n －2r 3＝0，解得n ＝10.

(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，

∴x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.

(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2r 3∈Z ，

0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，

∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －

2.

求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．

【训练1】 (2011·山东)若⎝

⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．

解析 二项式⎝

⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a

＝4.

答案 4

考向二 二项式定理中的赋值

【例2】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和．