5-4-4 完全平方数及应用(一).教师版

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1. 学习完全平方数的性质;

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程

3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质 1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ,则p 能被a 整除。

2.性质

性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9.

性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数.

性质3:自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因

数出现的次数都是偶数次,所以,如果p 是质数,n 是自然数,N 是完全平方数,且21|n p N -,则

2|n p N .

性质4:完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数.

性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数的个

位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个.

性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数.

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

4.完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾:平方差公式:22()()a b a b a b -=+-

模块一、完全平方数计算及判断

例题精讲

知识点拨

教学目标

5-4-4.完全平方数及应用(一)

【例 1】 已知:1234567654321×49是一个完全平方数,求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解:121=211;

12321=2111;1234321=21111……,于是,我们归纳为1234…n …4321=2(1111)n 个1

,所以,

1234567654321:11111112;则,1234567654321×49=11111112×72=77777772.所以,题中原式乘积为7777777的平方.

【答案】7777777

【例 2】 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方. 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 212345676543211111111=,212345676543217++++++++++++=,

原式22(11111117)7777777=⨯=.

【答案】7777777

【例 3】 已知自然数n 满足:12!除以n 得到一个完全平方数,则n 的最小值是 。 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,6年级,第9题

【解析】 (法1)先将12!分解质因数:105212!235711=⨯⨯⨯⨯,由于12!除以n 得到一个完全平方数,那么这个完全平方数是12!的约数,那么最大可以为1042235⨯⨯,所以n 最小为

104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。

(法2)12!除以n 得到一个完全平方数,12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数,所以n 的最小值是3711231⨯⨯=。

【答案】231

【例 4】 有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数. 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 平方数的末尾只能是0,1,4,5,6,9,因为111,444,555,666,999都不是完全平方数,所以

所求的数最小是4位数.考察1111,1444……可以知道14443838=⨯,所以满足条件的最小正整数是1444.

【答案】1444

【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数,即20024

444

4个,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B ;

如果不是,请说明理由.

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】220024

2002444421111A ==⨯个个1

.如果A 是某个自然数的平方,则20021111个1

也应是某个自然数的平方,

并且是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知,奇数的平方减1应是4的倍数, 而200220011111111110-=个1

个1

不是4的倍数,矛盾,所以A 不是某个自然数的平方.

【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数,即44

42008个4

,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B ;如

果不是,请说明理由.

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】不是.24442111A ==⨯2008个1

2008个4

假设A 是某个自然数的平方,则1112008个1

也应是某个自然数的平方,并且

是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知,奇数的平方减1应是4的倍数,而11111110-=2008个1

2007个1

不是4的倍数,与假设矛盾.所以A 不是某个自然数的平方.

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