最优化之最速下降法

x (2) xg ( 4 ) x ( 3 )
O
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谢谢各位
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• 由于沿负梯度方向目标函数的最速下降性，很容易使人们误认为负梯 度方向是最理想的搜索方向，最速下降法是一种理想的极小化方法。 必须指出的是，某点的负梯度方向，通常只是在该点附近才具有这种 最速下降的性质。在一般情况下，当用最速下降法寻找极小点时，其 搜索路径呈直角锯齿状，在开头几步，目标函数下降较快；但在接近 极小点时，收敛速度长久不理想了。特别适当目标函数的等值线为比 较扁平的椭圆时，收敛就更慢了。优点是：程序简单，计算量小；并 且对初始点没有特别的要求。
那么 k 应该满足
'x d d fx k d k k fx k k d k T d k 0
由此我们可以求出步长因子。
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• 函数 f（x1,x2）=(1-x2)^2+100*(x2-x1^2)^2,它叫罗森布罗克方程。
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罗森布罗克方程的三维图
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• 它的全局最优点位于一个长长的、狭窄的、抛物线形状的、扁平的“山谷” 中。找到“山谷”并不难，难的是收敛到全局最优解（全局最优解在 (1,1) 处）。
那么目标函数 f(x)在Xk处沿方向dk下降的变化率为
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最速下降法的方向选择
LLOOGGOO
lim lim fxkdkfxk gkTdk
0
0
Байду номын сангаас
gkTdkgk dk cos
其中 为gk与dk的夹角。要使得变化率最小，只有当cos值为-1 时，才能达到，也即dk应取得负梯度方向。
J (a)
J (a)
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最速下降法的由来
•其主要思想
每次沿负梯度方向进行搜索
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x*
●
x● k
x ● k 1
f (xk)
等值线(面)
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最速下降法的方向选择
LLOOGGOO
最速下降法用负梯度为方向
dkf xk
作为搜索方向。设 f(x) 在XK附近连续可微，dk为搜索方向向量，
gk fxk
.由泰勒展开式得
fx k d k f x k g k T d k , 0 ,
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•由式 dkf xk得，
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fx k 1T fx k0
即新点xk+1处的梯度是正交的，也就是说，迭代点列所走
的路线是锯齿型的，故收敛速度是很慢的。
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步长因子
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•步4中，步长因子 的k 确定即可以采用精确线搜索又可以采用非精确 线搜索。 •采用精确线搜索时
fx k k d k l 0 ifm x k d k
最优化—最速下降法
主讲人：王俊俊
最速下降法
最速下降法的由来 最速下降法的方向选择
最速下降法的算法步骤
最速下降法的实例
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最速下降法的由来
LLOOGGOO
考虑无约束问题
mfin x,xRn
其中，函数法f(x)具有一阶连续偏导数。
人们在处理这类问题时，总希望从某一点出发，选择 一个目标函数值下降最快的方向，以利于尽快达到极小点， 基于此种愿望，早在1847年法国数学家Cauchy提出了最速 下降法。后来，Curry等人作了进一步研究，得出现在众 所周知的一种最基本算法。
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开始
给定初始点， x 0 E n ， 0
程序图
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求 k 使其满足
m i0 nf(xkpk)f(xkkpk)
k : 0
计算 pk f (xk)
令
xk1xk kpk
是
pk
输出： xmin x k
否
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结束
matlab仿真实例
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matlab仿真实例
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最速下降法的优缺点
J (a )
ak -
a
最速下降法的步骤
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• 1.选取初始点 x0 Rn ，容许误差 01 。令k:=1.
• 2. 计算 gk fxk。若 gk ，停算，输出Xk作为近 似最优解。
• 3.取方向dk=-gk。
• 4.由线搜索技术确定步长因子 k 。
• 5.令
， 转步长1。
x k 1:x k kd k,k: k 1 ,