10扭转的强度和刚度计算

dx
2. 物理关系： 虎克定律：
代入上式得：
τ = G⋅γ
G为切变模量，量纲与E 相同，单位：MPa或GPa
τρ
= G ⋅γρ
=G⋅ρ
dϕ
dx
=
ρ
⋅
G
dϕ
dx
Mx
τρ
=
ρ
G
dϕ
dx
3. 静力学关系：
M x = ∫ A dA ⋅τ ρ ⋅ ρ
=
∫
A
Gρ
2
dϕ
dx
dA
=
G
dϕ
dx
∫
A
ρ
2dA
令 I p = ∫ A ρ 2dA ——截面的极惯性矩
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G
=
E 2(1 +
µ)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
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§3 等直圆杆在扭转时的应力
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
T
T
Mx=T
τ
ϕ
γ
Mx ∝ ϕ (τ ⋅ 2A 0δ ) (γ ⋅ L R)
τ ∝γ
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
τ =G⋅γ
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ 无量纲，故G的量纲与τ 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
A0：平均半径所作圆的面积。
三、剪应力互等定理：
∑mz = 0
τ ⋅δ ⋅ dxdy = τ ′ ⋅δ ⋅ dxdy 故 τ =τ′
a
γ
τ
dy
τ´
c
z
dx
τ´
b
τ
d
δ
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
一、等直圆杆扭转实验观察：
③静力学方面
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
T
T
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
平面假设：变形后横截面仍为平面
γρ
≈
tanγ ρ
=
G1G′ dx
=
ρ ⋅ dϕ
dx
γρ
=
ρ
dϕ
dx
=
ρθ
距圆心为 ρ 任一点处的γρ与到圆心的距离ρ成正比。 θ = dϕ —— 单位长度杆的相对扭转角。
浙江水利水电专科学校 高健
§1 概 述 §2 薄壁圆筒的扭转 §3 等直圆杆在扭转时的应力 §4 等直圆杆在扭转时的变形 §5 圆轴扭转时的强度和刚度计算
§6 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 §7 薄壁圆筒的扭转试验
§1 概 述
一、扭转概念 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
②纵向线变成斜直线。
T
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力τ ，沿周向大小不变，方
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律；
的
②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
Mx
⊕
x
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§2 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
≤
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
2.实验后：
T
①圆周线不变；
⑤ 确定最大剪应力：
由
τρ
= Mx⋅ρ
Ip
知：当
ρ=r= d
2
,
τρ
→ τ max
∴
τ max
=
M
x
⋅
d 2
Ip
= Mx = Mx
Ip
d 2
Wp
(令 W p = I p
d) 2
τ max
=
Mx Wp
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3 或 m3。
对于实心圆截面： Wp = I p r = πd 3 16 ≈ 0.2d 3
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
γ ϕBO
m
m
工 程 实 例
二、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
T = 9.55 P (kN ⋅ m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
向与该截面的扭矩方向一致。
4. ϕ 与 γ 的关系：
γ ⋅L=ϕ ⋅R ∴ γ =ϕ ⋅RL
τ´
a
γb
τ
τ
τ´
c
d
dx
τ τ
二、薄壁圆筒剪应力τ 大小：
∫ A τ ⋅ dA⋅ r0 = M x
δ
∫ ∴ τ ⋅ r0 ⋅ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅δ = M x τ
τ
∴ τ = Mx = Mx 2π r02 δ 2A 0 δ
M
x
=
GI
p
dϕ
dx
dϕ = M x
dx GI p
代入物理关系式
τρ
=
ρ
G
dϕ
dx
得：
τρ
=
Mx ⋅ρ
Ip
τρ
=
Mx ⋅ρ
Ip
—横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：Mx—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
ρ —该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p = ∫ A ρ 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
I p = ∫ A ρ 2dA
dρ
d
∫= 2 ρ 2 ⋅ 2ρ ⋅π ⋅ dρ 0
= πd 4 ≈ 0.1d 4
32
ρO
d
对于空心圆截面：
dρ
I p = ∫ A ρ 2dA
=
D
∫d2
ρ2
⋅
2ρ
⋅π
⋅
dρ
2
ρ
D
d
O
=
π
32
(D4
−
d 4)
=
πD4
32
(1
−
α
4)
≈
0.1D4(1
−
α
4)
(α
=
D
)
对于薄壁圆截面：
I P ≈ 2π r03δ
④ 应力分布
Mx
Mx
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
T = 7.024 P (kN ⋅ m) n
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
三、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“Mx”。
2 截面法求扭矩
∑m =0 x
Mx −T = 0 Mx =T
3 扭矩的符号规定：
T
T
x
Mx T
“Mx”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为 正，反之为负。