轴扭转计算
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圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
轴的扭转刚度计算
Hypermesh求解
长度单位全部为毫米（mm） 最大应变为1.936e-4mm 扭转角度=最大应变/(r/2)=3.872e-5rad=2.219deg 扭转刚度 Kt=T/扭转角度=4.507 Nm/deg
计算结果对比
公式计算 直径/mm 长度/mm 扭矩/N
剪切模量 Ip
扭转角度/rad 扭转角度/deg 刚度/N/deg
10
300
0.01 8.00E+10 9.82E-10
3.82E-05
2.19E-03 4.57E+00
hypermes量 2.10E+11
扭转角度/rad 扭转角度/deg 刚度/N/deg 0.00003872 0.00221849 4.5075758
轴的扭转刚度计算方法
张志军
扭转变形计算公式：
扭转角(φ)：圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。
G—剪切弹性模量
几种材料特性举例：
公式求解：
已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为 0.01Nm，求扭转刚度？
首先将长度单位化为米(m) Ip=π*d^4/32=9.82e-10 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.82e-5 rad=2.19e-3 deg 扭转刚度Kt=T/扭转角度=4.57 Nm/deg
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
扭转力公式
扭转力公式
扭力计算公式：M=LxF，其中L是从转动轴到着力点的距离矢量，F是矢量力，引擎的功率能由扭矩计算出来的。
扭力是指扭转物体使物体产生形变的力。
扭力，使材料产生扭转变形时所施加的力距，单位N·m。
在测材料的扭转刚度或扭转模量等力学量时，在以扭转方式测材料动态力学性能时，都需对试样施加扭力。
特别在动态力学的许多测量仪器上，因为比较容易实现自由振荡或强迫振荡的扭力施加形式，所以采用是比较广泛的。
如扭摆分析仪、扭辫分析仪、旋转流变仪等对试样都是施加的扭力。
所谓扭力就是物体受到一个与物体转动方向的切向力
作用时产生的力矩，常用扭力扳手来计量，单位是牛顿·米。
常见的受扭力作用的物体有，螺杆螺母副传动轴等等。
材料力学-扭转-计算公式及例题
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 计截面的内
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
d2=70mm。 。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
max
M n max Wp
[ ]
1
横截面上的最大扭 矩
Mn max
（扭矩）计算公式汇总
按许用转应力计算公式5t式中d计算剖面处轴的直径mmt轴传递的额定转钜nmm
（扭矩）计算公式汇总
轴设计计算
机械设计手册 第3本
第3章 轴的强度19-16
按许用转应力计算公式5T 式中 d-计算剖面处轴的直径（mm） [ τ ] T-轴传递的额定转钜（N/mm）
T=955000 P/n
[ τ ]-轴的许用转应力（Mpa)见表19.3-2
=156.8 N / 100 mm 2=
1.568 N / mm 21.568 N 1mm 2=12314.68 N 实心轴d≥ 3 光轴
实心轴ф=584
7853.7
5*12314.68
20
d≥ 14.547478 12314.68*200
8.1*108*14.54
第4章 轴的刚度
19-28轴的扭转变形计算
T ι式中 ф-圆轴扭转角ф的简化计算公式G d 4 T-轴传递的额定转钜（N/mm）
ι-轴受转钜作用的长度（mm) ι=200 G-材料的切变模量(Mpa)
假设d=14.5
对钢 G=8.1*108 (Mpa) F = A * S F=力 A=压强 S=面积例：DN100 = 7853.75 mm 2PN16=16 kgf / cm 2
2462936
358061*108 ф=0.00004017＜ 轴的变形许用值
合格
满足此刚度要求的轴直径可由下式求得 T 一般轴：ф=0.50~~10/m 138.5ф
12314.68
69.25ф=584
ф=584
d≥ 4d≥ 3d≥ 33078.67
d≥ 4
d≥3.65=d≥ 4177.829=
（扭矩）计算公式汇总
轴设计计算
机械设计手册 第3本
第3章 轴的强度19-16
按许用转应力计算公式5T 式中 d-计算剖面处轴的直径（mm） [ τ ] T-轴传递的额定转钜（N/mm）
T=955000 P/n
[ τ ]-轴的许用转应力（Mpa)见表19.3-2
=156.8 N / 100 mm 2=
1.568 N / mm 21.568 N 1mm 2=12314.68 N 实心轴d≥ 3 光轴
实心轴ф=584
7853.7
5*12314.68
20
d≥ 14.547478 12314.68*200
8.1*108*14.54
第4章 轴的刚度
19-28轴的扭转变形计算
T ι式中 ф-圆轴扭转角ф的简化计算公式G d 4 T-轴传递的额定转钜（N/mm）
ι-轴受转钜作用的长度（mm) ι=200 G-材料的切变模量(Mpa)
假设d=14.5
对钢 G=8.1*108 (Mpa) F = A * S F=力 A=压强 S=面积例：DN100 = 7853.75 mm 2PN16=16 kgf / cm 2
2462936
358061*108 ф=0.00004017＜ 轴的变形许用值
合格
满足此刚度要求的轴直径可由下式求得 T 一般轴：ф=0.50~~10/m 138.5ф
12314.68
69.25ф=584
ф=584
d≥ 4d≥ 3d≥ 33078.67
d≥ 4
d≥3.65=d≥ 4177.829=
轴扭转计算
第5章扭转5。
1 扭转的概念及外力偶矩的计算5。
1。
1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件.例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉.图5.1图示5。
2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5。
2图示5。
3,载重汽车的传动轴。
图5.3图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成(图5。
5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.5分析以上受扭杆件的特点,作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。
变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示.以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5。
1。
2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。
根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：nNm 9550= （5.1） 式中 m--—-作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ⋅; N —---—轴传递的功率,单位为kW ； n ——--——轴的转速，单位为r/min.图5。
75.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图5.2.1 扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。
图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力.假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象(图5。
8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系e M T =内力偶矩T 称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看,逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8图示5。
8的b 和c,从同一截面截出的扭矩均为正号。
圆轴扭转变形与刚计算
2 dsdx
2G
l
T2
T2
8 2G dsdx
l
8
2G
ds
dx
T为常数的等截面杆
V
T 2l 2GI t
=W=T / 2
式中：
It
4 2 ds
Tl
GI t
27
三、开口薄壁杆的扭转应力
max
3T max
n
hi i 3
i 1
3Tl
n
G hi i 3
i 1
3
1
2
28
【例题5】 如图所示为相同尺寸的闭口钢管和开口 钢管，承受相同的扭矩T。设平均直径为d，壁厚为t，
试比较两者的强度和刚度。
d
t (a)
d
t (b)
29
T 2
Tl
GI t
4 2 I t ds
解：1. 对闭口薄圆环， A d 2 s d ，则
dT
t
t
(a)
(b)
相同的扭矩，由于应力分布不同导致了应力大 小差别。
33
课后练习
思考：
一等直圆杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生 切应变吗？当受到扭转时，杆内会产生正应变吗？
作业：
4-16 4-27 4-32 4-33
34
T1-T2=0
T1
T2
mG2 I p2 G1Ip1 G2 Ip2
T2
2
1
T1
16
§7.6 非圆截面杆的扭转
m
m
农业机械中的方轴
柴油机曲柄的受 扭截面为矩形
任务十三传动轴的扭转强度计算与变形验算
任务十三传动轴的扭转强度计算与变形验算传动轴是一种常见的机械传动元件，其主要功能是将发动机的功率传递给车轮，从而驱动汽车行驶。
在传动轴的工作过程中，由于扭矩的作用，会产生轴的扭转变形和扭转应力，因此需要对传动轴的扭转强度和变形进行计算和验算。
首先，我们需要计算传动轴的扭转强度。
传动轴的扭转强度是指传动轴能够承受的最大扭矩，并且不会发生破坏的能力。
其计算公式为：τ max = T_max / (π/16) * (d^3 / J)其中，τ max 为传动轴的最大扭矩应力，T_max 为传动轴所承受的最大扭矩，d为传动轴的直径，J为传动轴截面的极性矩。
接下来，我们需要计算传动轴的变形。
传动轴的变形通常是以弯曲变形为主，而对于小直径的传动轴来说，扭转变形可以忽略不计。
传动轴的弯曲变形可以通过弹性力学理论来计算，其计算公式为：δ=(M*L)/(E*I)其中，δ为传动轴的弯曲变形，M为传动轴上的弯矩，L为传动轴的长度，E为传动轴的杨氏模量，I为传动轴的截面惯性矩。
在进行传动轴的变形验算时，需要将传动轴的实际变形与允许变形进行比较。
一般来说，传动轴的允许变形不能超过其长度的百分之一，即δ≤L/100。
如果计算得到的传动轴的实际变形小于或等于允许变形，则传动轴符合扭转强度和变形的要求，可以继续使用；如果计算得到的传动轴的实际变形大于允许变形，则需要对传动轴进行改进或重新设计。
在进行传动轴的扭转强度计算和变形验算时，还需考虑材料的强度。
传动轴通常采用高强度材料，如合金钢、不锈钢等。
根据材料的强度参数，可以计算得到传动轴的极限弯矩和极限扭矩。
在实际运行中，传动轴的工作状态应远远低于其极限弯矩和极限扭矩，以确保其可靠性和安全性。
综上所述，传动轴的扭转强度计算和变形验算是传动轴设计和制造中的重要环节。
通过合理计算和验算，可以确保传动轴具备足够的强度和刚度，从而达到良好的传动性能和工作可靠性。
在实际应用中，还需考虑传动轴的其他因素，如动平衡、润滑等，以进一步提高传动轴的工作效能。
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
11.轴的扭转
已知传动轴的转速为300r/min, 主动轮 输 主动轮A输 例11.2* 已知传动轴的转速为 入功率为P 入功率为 A=500kW。从动轮 。从动轮B,C,D输出功率 输出功率 分别为 PB =150kW, PC =150kW, PD =200kW. 求作：该轴扭矩图。 求作：该轴扭矩图。 解: （1）计算主、从动轮传递的外力偶矩 ）
第 11 章
轴的扭转
11.1
扭转概念及外力偶矩计算
11.1.1 扭转的概念
扭转及变形是一种因转动引起的常见现象。 扭转及变形是一种因转动引起的常见现象。 通过扭转传递功率的构件（转动的杆） 轴：通过扭转传递功率的构件（转动的杆）.
m
m
m
m
11.1.2 外力偶矩的计算
已知： 已知：输入输出功率 P (kW) ，转速 n (r/min) . 则：外力偶矩
如图. 用截面法计算扭矩 计算扭矩： 解: 如图 用截面法计算扭矩： T = m = 156N ⋅ m 实心段AC： ① 实心段 ：
16 T 156 × 103 τ max1 = = ≈ 24 ( MPa) 3 W p1 6.55 × 10 W p1 =
π
D 3 ≈ 0 .2 × 32 3 = 6 .55 × 10 3 ( mm 3 )
M e = 9550 P / n ( N ⋅ m )
M e dϕ dW = = M eω 证明： 证明：Q P = dt dt
ω = 2π n
∴ P = 2πnM e P ∴ Me = 2π n
P
n
Me
输入功率P以 、转速n以 为单位代入， 输入功率 以kW、转速 以 r/min为单位代入， 为单位代入 那么，外力偶矩M 那么，外力偶矩 e为:
轴的扭转强度计算
非定位轴肩→便于装配→h=(0.5～1)mm
定位轴肩→零件定位→ h ＝3~5 mm 2.设计轴肩时应注意: (1)轴承定位轴肩(套筒)不能过高 (2)轴长应略短于轮毂宽度 (3)安装标准件轴段直径， (a)滚动轴承 (b)联轴器 (c)密封件 (4)轴肩圆角ｒ 轮毂孔圆角Ｒ(倒角Ｃ)
轴上有键槽时： 放大轴径：一个键槽：3~5%
二个键槽：7~10%
取标准植
13.3 轴的强度计算
二、轴的弯扭合成强度计算
转轴同时承受扭矩和弯矩，必须按二者组合强度进行计算。通常 把轴当作置于铰链支座上的梁，作用于轴上零件的力作为集中力， 其作用点取为零件轮毂宽度的中点上。具体的计算步骤如下：
①轴和轴上零件要有准确、牢固的工作位置 ②轴上零件装拆、调整方便 ③轴应具有良好的制造工艺性等 ④尽量避免应力集中
13.2 轴的结构设计
二、零件在轴上的固定 1、周向固定 为了传递运动和转矩，防止轴上零件与轴作相对转动。常用的 周向固定方法有键、花键、销、过盈配合、 弹性环联接、成形联接等。
碳钢比合金钢价廉，对应力集中的敏感性比较低，适用于一般要求的轴。 合金钢比碳钢有更高的力学性能和更好的淬火性能，在传递大功率并要求减小 尺寸和质量、要求高的耐磨性，以及处于高温、低温和腐蚀条件下的轴常采用 合金钢。在一般工作温度下（低于200℃），各种碳钢和合金钢的弹性模量均 相差不多，因此相同尺寸的碳钢和合金钢轴的刚度相差不多。
一、轴的扭转强度计算
用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径dmin
对于圆截面的实心轴，其抗扭强度条件为：
强度条件
T
T WT
9.55 106
0.2d 3
定位轴肩→零件定位→ h ＝3~5 mm 2.设计轴肩时应注意: (1)轴承定位轴肩(套筒)不能过高 (2)轴长应略短于轮毂宽度 (3)安装标准件轴段直径， (a)滚动轴承 (b)联轴器 (c)密封件 (4)轴肩圆角ｒ 轮毂孔圆角Ｒ(倒角Ｃ)
轴上有键槽时： 放大轴径：一个键槽：3~5%
二个键槽：7~10%
取标准植
13.3 轴的强度计算
二、轴的弯扭合成强度计算
转轴同时承受扭矩和弯矩，必须按二者组合强度进行计算。通常 把轴当作置于铰链支座上的梁，作用于轴上零件的力作为集中力， 其作用点取为零件轮毂宽度的中点上。具体的计算步骤如下：
①轴和轴上零件要有准确、牢固的工作位置 ②轴上零件装拆、调整方便 ③轴应具有良好的制造工艺性等 ④尽量避免应力集中
13.2 轴的结构设计
二、零件在轴上的固定 1、周向固定 为了传递运动和转矩，防止轴上零件与轴作相对转动。常用的 周向固定方法有键、花键、销、过盈配合、 弹性环联接、成形联接等。
碳钢比合金钢价廉，对应力集中的敏感性比较低，适用于一般要求的轴。 合金钢比碳钢有更高的力学性能和更好的淬火性能，在传递大功率并要求减小 尺寸和质量、要求高的耐磨性，以及处于高温、低温和腐蚀条件下的轴常采用 合金钢。在一般工作温度下（低于200℃），各种碳钢和合金钢的弹性模量均 相差不多，因此相同尺寸的碳钢和合金钢轴的刚度相差不多。
一、轴的扭转强度计算
用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径dmin
对于圆截面的实心轴，其抗扭强度条件为：
强度条件
T
T WT
9.55 106
0.2d 3
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5.3.1实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
5.2横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？
习题
5.1试作下列各轴的扭矩图。
题5.1图
5.2图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， 。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题5.2图题5.3图
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
将（5.3）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.15实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速 ，传递功率 ，材料的许用切应力 ，试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
题5.15图
5.16已知传动轴的功率分别为 ， ， ，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题5.16图
5.17已知轴的许用切应力 ，切变模量 ，许用单位扭转角 ，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
5.18长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为 ，另一根为空心轴，内外径之比 ，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
5.19图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度 和长度l，试求B截面的扭转角 。
题5.18图题5.19图
5.20传动轴外径 ，长度 ， 段内径 ， 段内径 ，欲使轴两段扭转角相等，则 应是多长。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩 变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量，用 表示，称为单位长度扭转角。即：
（5.8）
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内Байду номын сангаас及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
5.3T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
5.4图示圆截面空心轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题5.4图
5.5一直径为 的圆截面轴，其转速为 ，设横截面上的最大切应力为 ，试求所传递的功率。
5.6将直径 ，长 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量 ，求此时钢丝内的最大切应力 。
（5.9）
在工程中， 的单位习惯用 （度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得
对于等截面圆轴，即为
许用扭转角 的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴， 为 ~ ，对于精密机器的轴， 常取在 之间。
例题5.4图示轴的直径 ，切变模量 ，试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题5.4图
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 或 ，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
题5.8图
5.9一钢轴受扭矩 ，许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试选择轴的直径。
5.10桥式起重机题5.10图所示。若传动轴传递的力偶矩 ，材料的许用切应力 ， ，同时规定 0.5°/m。试设计轴的直径。
题5.10图
5.11某空心钢轴，内外径之比 ，转速 ，传递功率 ，已知许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试设计钢轴的内径和外径。
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
5.2横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？
习题
5.1试作下列各轴的扭矩图。
题5.1图
5.2图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， 。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题5.2图题5.3图
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
将（5.3）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.15实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速 ，传递功率 ，材料的许用切应力 ，试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
题5.15图
5.16已知传动轴的功率分别为 ， ， ，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题5.16图
5.17已知轴的许用切应力 ，切变模量 ，许用单位扭转角 ，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
5.18长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为 ，另一根为空心轴，内外径之比 ，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
5.19图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度 和长度l，试求B截面的扭转角 。
题5.18图题5.19图
5.20传动轴外径 ，长度 ， 段内径 ， 段内径 ，欲使轴两段扭转角相等，则 应是多长。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩 变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量，用 表示，称为单位长度扭转角。即：
（5.8）
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内Байду номын сангаас及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
5.3T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
5.4图示圆截面空心轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题5.4图
5.5一直径为 的圆截面轴，其转速为 ，设横截面上的最大切应力为 ，试求所传递的功率。
5.6将直径 ，长 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量 ，求此时钢丝内的最大切应力 。
（5.9）
在工程中， 的单位习惯用 （度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得
对于等截面圆轴，即为
许用扭转角 的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴， 为 ~ ，对于精密机器的轴， 常取在 之间。
例题5.4图示轴的直径 ，切变模量 ，试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题5.4图
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 或 ，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
题5.8图
5.9一钢轴受扭矩 ，许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试选择轴的直径。
5.10桥式起重机题5.10图所示。若传动轴传递的力偶矩 ，材料的许用切应力 ， ，同时规定 0.5°/m。试设计轴的直径。
题5.10图
5.11某空心钢轴，内外径之比 ，转速 ，传递功率 ，已知许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试设计钢轴的内径和外径。