力矩

O
F
向右匀速运动时
对杆： FNL cos 45 ＝GLcos 45 /2＋FNL sin 45 FN＝mg O 对板： F＝Ff＝FN＝mg ＝mg/2
FN
F
Ff
Ff
G
向左匀速运动时
对杆： FNL cos 45 ＋FNL sin 45 ＝GLcos 45 /2 FN＝mg /3 对板： F＝Ff＝FN＝mg F ＝mg/6
F合 ＝ 0
M顺 ＝ M逆
物体平衡的条件
1 ．一般物体的平衡条件：当物体处于平衡状态时，它所 受的合外力为零，受到过某点为转动轴的合力矩为零． 2．从力矩平衡的条件理解三力平衡原理 三个非平行的共面力作用在一个物体上，使物体处于 平衡状态时，该三力的作用线（或反向延长线）必相交 于一点． 这一点很容易证明，当该三力不相交于一点时，则必 出现三个交点，选其中任一个交点，通过该交点的两个 力的力臂为零，力矩为零，这样只有不通过该交点的另 一个力有力矩，不可能平衡．因此，三力必交于一点．
順时针力矩
逆时针力矩
范例解说
2.如图，F1、F2、F3对杠杆施力，则： 若以A为转轴，可能造成順时针转动的施力是 F1 F3 。 若以B为转轴，可能造成逆时针转动的施力是 F1 F2 。 若以C为转轴，可能造成逆时针转动的施力是 F1 F3 。
F2 A B C
F1
F3
一．力矩：
。
（1）如果力矩的方向相同，转动效果会增強。 （2）力矩的方向不同，转动效果会減弱。 （3）当順时针方向的力矩和逆时针方向的力矩大小相等，则合力矩 为零，对物体的转动效果也为零，原本静止的物体 不会转动 。
M 合力矩 M 順 M 逆 或 M 逆 M 順
合力矩决定物体是否转动?
M 0 不转动
M＝FL 1．力臂： （1）转动轴到力的作用线的垂直距离， （2）最大可能值为力的作用点到转动轴 的距离。
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（1）求力矩的两种常用方法 F F F1

L M＝FL sin L

F2
M＝F1L ＝FL sin
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的Βιβλιοθήκη Baidu种计算方法：
L
。
L
●
F
O
求力臂作图
L甲 D
若OP D
L乙
D 2
D L丙 2
L丁 0
L甲 L乙 L丙 L丁 垂直与杠杆的施力 , 力臂最大 , 转动效果最好
范例解说
1.小滑欲施力將一圆柱（半经10厘米）推上楼梯，如图： （1）标出物体转动時的转轴（支点）位置。 （2）如图的四个施力F1、F2、F3、F4，其力臂大小请作图求出。 10 （3）力臂依序为：L1＝ cm；L2＝ 如图 cm 。 L3＝ 20 cm ；L4＝ 如图 cm 。
GLG ＋FNLf ＝FNLN
GL sin /2 FN＝ Lsin－Lcos G /2 ＝ 1－ cot
FN
B

Ff G
A
例7：如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连 接端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动， 棒长为L，棒的质量为40kg，它与地面间的动摩擦因数为 3/3，棒 的重心C距转动轴为2L/3，棒与水平面成30角。运动过程中地面 对铁棒的支持力为_______N；若将铁棒B端的固定转动轴向下移 一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原 来__________（选填“增大”、“不变”或“减小”）。
判断每个力的力矩的正负．在转轴处的力，其 作用线一定通过该转轴．它的力矩必为零．所 以在分析受力时可以不分析．
（4）列方程解方程。
注意：根据力矩平衡解题不能将研究对象 看成是质点．
例1：如图所示，A、B是两个完全相同的长方形 木块，长为 l ，叠放在一起，放在水平桌面上， 端面与桌边平行．A木块放在B上，右端伸出1/4， 为保证两木块不翻倒，木块B伸出桌边的长度不 能超过( ) A．l/2 C．l/4 B．3l/8 D．l/8
三．力矩平衡条件的应用： 解题步骤： （1）选取研究对象并确定转动轴，
在有的问题中并不真正存在转动轴，但为了解 决问题而想象存在转动轴（认为物体可以绕该轴 转动）．我们可以将转动轴选在该处存在未知的 力但又不需要求解的地方，这样能为解题带来方 便．
（2）受力分析（转动轴上的受力不用分 析）， （3）确定力臂、力矩方向
MgLsin＋mgLsin /2 ＝MgLcos C 2M(cos－sin)＝msin Mg m:M＝2:3
G增大时，逆时针力矩增加的多
θ
B mg
A
Mg G
例8：如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆AB在B点用铰 链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为＝37，A端固定一轻质光滑 小滑轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬 挂有质量为M的物体G。目前杆AB与物体G都处于静止状态，则 杆的质量与物体的质量的比值为m:M＝________；若略微增加物 体G的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当________( 增大 选 填“增大”或“减小”)θ角的大小。（sin37＝0.6，cos37＝0.8）
Ff＝G FNLN ＝GLG＋FfLf
A
Ff FN
Ff G’
G
例11：如图所示，均匀板质量为m/2，放在水平地面上，可绕 过B端的水平轴自由转动，质量为m的人站在板的正中，通过跨过 光滑滑轮的绳子拉板的A端，两边绳子都恰竖直，要使板的A端离 地，人对绳的最小拉力为多大？
B
A
解法一：隔离法
FN
B
C 30
mg 2L mg cos＝ FNL cos＋FNL sin 3 FN＝2mg/(1＋ tan) ＝200 N
Ff
A
例8：如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆AB在B点用铰 链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为＝37，A端固定一轻质光滑 小滑轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬 挂有质量为M的物体G。目前杆AB与物体G都处于静止状态，则 杆的质量与物体的质量的比值为m:M＝________；若略微增加物 体G的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当________(选 填“增大”或“减小”)θ角的大小。（sin37＝0.6，cos37＝0.8）
a M＝G sin 2
a

G

G
a
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的两种计算方法：
a M＝G sin 2 G a G M＝ sin ＋ a sin 2 2 4 a G a G/2 G/4
合力矩 L
合力矩的意义
合力矩的意义：
当物体同时受到几个力产生的力矩时，合力矩为 順逆力矩合
F
G2
G1
例5：如图，重为G、边长为a的均匀正方形板与长 为2a的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直 向下的力F，使杆水平，求力F的大小，若为使杆与水 平方向成30角，力F又应多大？
a a G
a
a F
A F 乙
甲
解法一：
G（1.5a cos 30－ 0.5a sin30） ＝Fa cos 30 ，
要再平衡必须增大顺时针力矩的 力臂而减小逆时针力矩的力臂
C
Mg
A
θ
B
G Mg
mg
平衡综合问题:
例9：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均匀 杆质量为m，上端铰于O点，下端搁在板上，杆与板间 的动摩擦因数为＝1/2，杆与竖直方向成45角，（1） 为使板向右匀速运动，向右的水平拉力F应多大？（2） 为使板向左匀速运动，向左的水平拉力F应多大？
C A O
2m
30
B
4m
8m
G1x1＝G22
x1＝1.2m
G1x2＋G22 ＝FT sin 308 x2＝0.4m
C A C 30 B A O
FT x2
30 B
x1 O 2m
G1
G2
2m G 2
G1
例3：如左图匀质直角尺重为2G，C端为水平轴， 不计摩擦，当BC部分处于水平静止时，试求加在A端 的最小作用力。
a a G 甲 a a F 乙 A F
G
解法二：
Gcos 301.5a ＝Fa cos 30 ＋G sin30 0.5a
a a F 甲 乙 A F
a a G
G
动态平衡：
例6：如图所示，一根均匀直棒AB，A端用光滑铰 链固定于顶板上，B端搁在一块表面粗糙的水平板上， 现设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板对棒的弹力 说法正确的是 （ ） （A）逐渐变大， （B）先变大后变小， （C）先变小后变大， （D）逐渐变小。
F O
N
Ff
G Ff F
例10：如图所示，重为G的物体A靠在光滑竖直墙上，一端用 铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体A，棒重为G’，棒与竖直方 向的夹角为，则（ ） （A）物体A对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向， （B）增大棒重G’，物体A对棒的摩擦力将增大， （C）增大物重G，且棒仍能支持A，则A对棒的摩擦力将增大， 而弹力不变， （D）水平向右移动铰链，使角增大，但棒仍能支持A，则A 对棒的弹力将增大。
1 2
1.順时针力矩和 逆时针力矩和 不转动或匀速转动 M 0 必转动 1.順时针力矩和 逆时针力矩和 向順时针方向转动 2.順时针力矩和 逆时针力矩和 向逆时针方向转动
二．平衡与平衡条件：
1．平衡状态：静止、匀速直线运动或 匀速转动。 2．平衡条件：合外力为零且合外力矩 为零。
• 解析：如图所示，以A、B两物体为研究对象分析，物体受到 A、B的重力作用，还有桌面的支持力作用，若以桌的边缘为 转动轴，则当两物体右移时，A的重力产生的顺时针方向的 力矩增大，B产生的逆时针方向的力矩变小，所以支持力的 力矩变小，当支持力N的力矩小到零时，是物作翻倒的临界 条件．由力矩平衡条件可得：
L4 L2
● ●
O
O
力矩 M
力矩的定义：符号 M ，是有方向性的物理量。 以 施力大小 与 力臂 的乘积衡量物体的转动效果 力矩的公式：
力矩的定义与公式
力矩 施力力臂
M FL
力矩的单位：
与功的单位相同，但意义截然不同
。
力矩的单位： N.m＝牛顿.米
转动的观察
转动的观察： 1. 转轴 O（ 支点 ）：转动中位置不变的点 逆时针 2.方向： 順时针 ； 。 3.施力方向（力的作用线） 4. 杠杆 ：绕转轴转动的装置 O O
力臂的定义
力臂的定义：用力臂来说明施力的 作用点 和 方向 对转动 效果之影响
（1）力臂定义： 支点 到 力作用线 的垂直距离，符号 （2）力臂的意义： 在施力大小相同时，力臂越大者越容易转动。 施力的方向与杠杆的夹角越小时，力臂 越小 。 （3）找力臂的程序： 作力线 找支点 ； ； 画垂距 。
A
C
B
L G ＋GL ＝F 2
A
2L
F
A
C
B
C
2G
G
G
B
例4：均匀杆，每米长重30 N，支于杆的左端，在 离左端0.2 m处挂一重为300 N的重物，在杆的右端加一 竖直向上的拉力F，杆多长时使杆平衡所需加的拉力F 最小，此最小值为多大？
F
Fx＝G1x/2＋G2l ＝x2/2＋G2l F＝15x＋60/x， 因为15x60/x为常数 所以15x＝60/x时 即x＝2m时 F有最小值。 Fmin＝60N。
GA LA GB LB
l l 即： G (l x ) G ( l x ) 4 2 3l lx 8
所以，本题的正确选项应为B．
例2：均匀板重300 N，装置如图，AO长4 m，OB 长8 m，人重500 N，绳子能承受的最大拉力为200 N， 求：人能在板上安全行走的范围。
有固定转动轴物 体的平衡
转动
影响转动的因素探讨
O 转轴 OO’
A B C
O’ 1.在门 C 位置上施力，门很容易转动 2.从门位置 B 依序至位置 A 施力，转动越不易
影响物体转动的因素
影响物体转动的因素：
（1） 施力的大小 （2） 作用点 （3） 方向 。
。 。
转动效果讨论：
（1）当力的作用点和方向固定时，施力 越大 ，物体转动的效果越 明显。 （2）当作用方向相同时，力作用点离支点 越远 ，可以用越小的施 力，产生相同的转动效果。 （3）当力的作用点固定时，施力的方向和物体的夹角越接近 90 度 ，可以用越小的施力产生相同的转动效果。