离散数学第六章第二节资料

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2、有界格 (1)
定义2 设<Biblioteka Baidu,>是格，如果存在元素aA，对任意xA，都 有ax(xa)，则称a为格<A,>的全下界(全上界)。
格的全下界常记为0，全上界常记为1。
定理4 格的全下界(全上界)如果存在必唯一。
证：假设格<A,>有两个全下界a和b，a,bA。那么按 全下界的定义，应有ab和ba同时成立，从而a=b。
1、分配格 (3)
例1 判断下列各图是否为分配格？
解： (1)、(4)是分配格。 (2)、(3)不是分配格。 在(2)中， b(cd)=be=b,(bc)(bd)=aa=a 在(3)中， d(bc)=be=b,(db)(dc)=ac=c
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1、分配格 (4)
定理2 链是分配格。
证：设<A,>是链，则<A,>是格。对任意a,b,cA，可 分两种情况讨论：
定义3 具有全下界和全上界的格称为有界格。
例如，设S是有限集合，那么格<S,>是有界格， 其全下界是，全上界是S。
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2、有界格 (2)
定理5 设<A,>是有界格，则对任意aA，必有 a1=1，a1=a；a0=a，a0=0。
证：因<A,>是有界格，对任意aA，应有0a1，由此 式及格的性质8即可得上述四式。
ab=1，ab=0；ac=1，ac=0。 那么， ab=ac， ab=ac 所以，b=c（定理3）。
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4、有补分配格
定义6 若一个格既是有补格，又是分配格，则称为有补 分配格，也叫布尔格。
将有补分配格中元素a的补元记作a’。
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5、课堂练习
练习1 指出下图所示有界格中各元素的补元。 解：（1）b、c是a的补元；a、c是b的补元； a、b是c 的补元； 0、1互为补元。
(1)ab或ac。这时，不论bc还是cb,应有 a(bc)=a和(ab)(ac)=a
所以， a(bc)=(ab)(ac)
(2)ba且ca。这时必有
bca(上界)。进而有
a(bc)=bc(格的性质8)
另一方面，由ba且ca可
得：(ab)(ac)=bc
所以，
a(bc)=(ab)(ac)
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1、分配格 (5)
定理3 设<A,>是分配格，则对任意a,b,cA，如果 ab=ac且ab=ac，则b=c。
证：b=b(ba) (吸收律) =b(ab) (交换律) =b(ac)（已知ab=ac） =(ba)(bc) (结合律) =(ac)(bc)（交换律，已知ab=ac） =(ab)c =(ac)c =c(ca)=c
第6-2讲 分配格和有补格
1. 分配格 2.有界格 3.有补格 4.有补分配格 5. 课堂练习 6. 第6-2讲 作业
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1、分配格(1)
格中任意三个元素a,b,c存在分配不等式: a(bc)(ab)(ac) a(bc)(ab)(ac)
是否有成立分配等式的格呢?来看几个简单的例子：
右图所示三个偏序 集都是格,它们都满 足分配不等式，而 且(1)和(2)还能使分 配等式成立。(3)的 情况就有些不同。
则称<A,>是分配格。
定理1 如果格中运算对运算可分配，则运算对运算 可分配。反之亦然。
证：设a,b,c是格中任意元素，如果 a(bc)=(ab)(ac)
则(ab)(ac)=((ab)a)((ab)c) =a((ab)c)=a((ac)(bc)) =(a(ac))(bc)= a(bc)
类似可证 a(bc)=(ab)(ac) a(bc)=(ab)(ac) 3
例如在(1)中： a(bc)=ab=b;(ab)(ac)=bc=b 在(3)中： a(bc)=aa=a;(ab)(ac)=bc=a 但 b(dc)=ba=b;(bd)(bc)=ee=e
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1、分配格 (2)
定义1 设<A,,>是由格<A,>诱导的代数系统。如果对 任意a,b,cA，满足 a(bc)=(ab)(ac) a(bc)=(ab)(ac)
定义4 设<A,>是有界格，若对任意aA，存在bA，使 ab=1，ab=0，则称b是a的补元。
例如，左图所示有界格中，d和c、 d和e、a和e 、0和1互为补元，即a、 c、d、e、0、1都有补元。但b没有 补元。
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3、有补格
定义5 若有界格中，每个元素至少有一个补元，则称为 有补格。
定理6 在有界分配格中，若某元素有补元，则必唯一。 证：设a有补元b、c，则有
（2）a、b的补元是c； c的补元是a、b；0、1互为 补元。
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第6-2讲 作业
❖ P249 2 ❖ P252 1，6
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