数字信号处理-系统函数-流

若除b0 1外，所有br 0,
H(z)
1
N
1 ak zk
k 1
－－－全极点模型－－－AR 系统
h(n)为无限长序列－－－IIR系统（无限长单位脉冲响应）
一个稳定的LTI因果系统的差分方程为 y(n) 0.25y(n 1) 0.125y(n 2) x(n) x(n 1) 求系统函数H(z)，单位冲激响应h(n)
i 1
i 1
系统频率响应 的几何确定
N
Ci
H (e j )
A
i 1 N
Di
i 1
N
N
() i i
i 1
i 1
当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时 针旋转一周，分别估算出系统的幅度特性和相位特性
N
M
有理系统分类 y(n) ai y(n i) bi x(n i)
A1

Re s

z
z1 0.25 z0.5


2 3
A2

Re s
z1 z 0.5 z0.25

5 3
z 0.5 z 0.25
h(n) 2 (0.5)n u(n) 5 (0.25)n u(n)
3
3
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列 1-3 DT 系统 和 LTI系统 1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
对应关系
1-9 系统函数
x(n)
y(n)
h(n)
X (e j )
Y (e j )
H (e j )

y[n] x[n] h[n] h[k]x[n k] k
一. 系统函数的定义
Y(e j ) H (e j ) X (e j )
• 一个线性时不变离散系统可以用它的单位脉冲响应来 表示其输入和输出序列的关系，而其单位脉冲响应的Z 变换就定义为这个系统的系统函数。
i 1
i0
M

H( z )
Y( X(
z) z)

1
br z r
r 0
N
ak zk
k 1
ARMA系统 IIR系统
M
若所有ak 0, H(z) br zr , 系统称为MA系统
－－－全零 r 0 点模型
h(n)为有限长序列－－－FIR系统（有限长单位脉冲响应）
n
H (e j ) 存在， 收敛域为
即收敛域包 括单位圆
r z ,0 r 1
即所有的极点 都在单位圆内
1
Re(Z )
r
P.38 (1-87)
收敛域内不能 出现极点
三. 差分方程与系统函数
• 一个线性时不变的离散系统可用差分方程来表示，对 这个差分方程两端取Z变换，化简后即可得到对应系统 函数的表达式。
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列 1-3 DT 系统 和 LTI系统 1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充） -- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
N

e j ci
N

Ci e
ji
H (e j )
A
i 1 N

e j di

A
i 1
N

Di e
ji
i 1
i 1
Im

C1
D c1
1
1
1
d1
e j
Re
N
Ci
H (e j )
A
i 1 N
Di
i 1
N
N
() i i
N
M
N
M
y(n) ai y(n i) bi x(n i) Y (z) ai ziY (z) bi zi X (z)
i 1
i0
i 1
i0
M
M
H (z)
Y (z) X (z)

bi z i
i0
N
1 ai z i
B
(1 ci z 1)
H (z) [h(n)]
X (z)
Y (z)
H (z)
h(n) 1[H ( z)]
Y( z) H (z)X (z)
系统函数、z变换和频率响应的关系
x(n)
y(n)
H (e j )

H( z ) h( n )zn n
H (e j ) F h(n) H (z) ze j
系统收敛域：z 0.5
稳定：收敛域包含单位圆
1 z1
z(z 1)
H(z) 1 0.5z1
1 0.25z1
z 0.5 z 0.25
z 0.5
H(z) z

z

z 1
0.5 z
0.25

z
A1 0.5

z
A2 0.25
i 1
N
(1 di z 1)
i 1
i 1
除了比例常数，整个系统函数可以由它的全部零极点来唯一确定
系统频率响应 的几何确定法
当M=N时，
N
C
(1 ci z1 )
N
C (z ci )
H(z)

B
i 1
N
C (1
di z1 )

A
i 1
N
C (z

di )
i 1
i 1
数字域频 率响应
单位脉冲响 应的傅氏变
换
单位圆上的 系统函数
LTI系统的系统函数和ROC
因果系统
稳定系统 因果稳定系统
h(n)
h(n)=0,n<0 右边序列
H(z) Rx z 极点在某圆 内，收敛域 在此圆外
j Im(Z )

h(n)
n
wk.baidu.com
h(n)=0,n<0

h(n)
解：
Y (z) 0.25z 1Y (z) 0.125z 2Y (z) X (z) z 1 X (z)
H (z)
Y (z) X (z)

1

1 0.25z 1
z 1 0.125z

2

1 z 1 1 0.5z 1 1 0.25z 1
极点：z 0.5, z 0.25
--时域表示—差分方程 （补充） -- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
对应关系
1.10.1 方框图、流图表示法
方框图表示法： 单位延时