隐函数的微分法

z Fx( x, y, z ) , x Fz( x, y, z ) Fy( x, y, z ) z ． y Fz( x, y, z )
(9.6.3)
29-7
与定理 9.6.1 相仿，我们仅推导公式(9.6.3)．
由定理 9.6.2 结论（1）知 F ( x, y, z( x, y)) 0,( x, y) U ( P ． 0) 根据多元复合函数求偏导链式法则， 在上式两边分别对 x 和 y 求偏导数得
29-8
例 9.6.3 设有三元方程 xy z ln y e xz 1，根据隐函数存在定理，存 在点 0,1,1 的一个邻域，在此邻域内该方程( )．
（ A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z z( x, y) （B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y y( x, z ) 和 z z( x, y) （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z( x, y) （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y( x, z )
4 2 1． 2 x 0
29-5
dy d 2 y 例 9.6.2 设 y y( x) 是由方程 x 2 y cos y 所确定的隐函数， 求 , 2． dx dx 解 将方程改写为 x 2 y cos y 0 ．并令 F ( x, y) x 2 y cos y ，
29-9
x z 例 9.6.4 设二元函数 z z( x, y) 是由方程 ln 0 所确定的隐函数， z y
z 2 z 求 , 2． x x
解 令 F ( x, y, z )
1 x 1 xz x z ln , 则 Fx( x, y, z ) , Fz( x, y, z ) 2 2 , z z z z z y
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
y
由于 Fy( x, y) 连续， 且 Fy( x0 , y0 ) 0, 故在 P 的某邻域内 0 ( x0 , y0 )
Fy( x, y) 0 ，所以有
dy Fx( x, y ) . dx Fy( x, y )
如果 F ( x, y) 具有二阶连续偏导数，则由式（9.6.1）可以继续 求得隐函数 y y( x) 的二阶导数
x x, : y y ( x), （ x 为参数） ． z z ( x)
29-13
在给出相关结论之前，先介绍雅可比(Jacobi)行列式的概念．
设二元函数 u u( x, y), v v( x, y) 在平面区域 D 内具有一阶连续
u x 偏导数，由这些偏导数组成的二阶行列式 v x u y 称为函数u, v 关 v y
29-11
注：定理 9.6.1 和定理 9.6.2 分别给出了满足一定条件时，由 一个二元方程和三元方程分别确定一个一元隐函数和一个二 元隐函数的求导公式。类似的大家也可以给出一个 n 1元方 程确定一个 n 元隐函数的求导公式．
29-12
9.6.2 由方程组所确定的隐函数组的求导法则
在实际问题中，我们会经常遇到方程组所确定的隐函数组的情形．
z F ( x, y, z ) x , x Fz( x, y, z ) Fy( x, y, z ) z ． y Fz( x, y, z )
注：如果 F ( x, y, z) 在 U ( P0 ) 内具有二阶连续偏导数，则 z z( x, y) 具有二
2 z 2 z 2 z , 2. 阶连续偏导数，并且可与式（9.6.2）类似地计算 2 , x xy y
于变量 x, y 的 Jacobi 行列式，记为
(u , v ) ，即 ( x, y )
u (u , v) x ( x, y ) v x
u y ． v y
(9.6.4)
29-14
同理，如果三元函数 u u( x, y, z), v v( x, y, z), w w( x, y, z) 具有 一阶连续偏导数，则函数 u, v, w关于变量x, y, z 的 Jacobi 行列式为
Fy z z z Fx z 其中 , 可由隐函数求导公式（9-6-3）求得： , ． x y x Fz y Fz
将此式代入
u u , 中，并整理化简得 x y
u yz yFx f1 2 f 2 f 2, x x xFz
yFy u z f1 f 2 f 2 ． y x xFz
z F z ． x x Fz x z
当 Fz( x, y, z) 0 ，即 z 0 时，由式（9.6.3）得 在
z 表达式两边同时对 x 求偏导数，并注意到 z z( x, y) 为 x, y 的二元 x
函数，得
z z ( x z ) z1 2 z x z x ． 2 2 3 x (x z ) ( x z)
u x (u , v, v) v ( x, y, z ) x w x u y v y w y u y v ． y w z
(9.6.5)
Jacobi 行列式的概念还可推广到更一般的情形．
29-15
定理 9.6.3 （隐函数存在定理 III） 设三元函数 F ( x, y, z), G( x, y, z) 满 足下列条件： (1) F ( x, y, z), G( x, y, z) 在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域U (M 0 ) 内具 有一阶连续偏导数； (2) F ( x0 , y0 , z0 ) 0, G( x0 , y0 , z0 ) 0 (3)
则有
Fx( x, y)=1, Fy( x, y) 2 sin y 0 ．
dy 1 1 ． dx 2 sin y 2 sin y
由式（9.6.1）得
在上式两边再对 x 求导，并注意到 y y( x) 是 x 的函数，得
dy d2 y dx cos y ． dx 2 (2 sin y)2 (2 sin y)3 cos y
答案 选（D） ．
解 令 F ( x, y, z ，则计算得 ) xy z l ny e xz 1
1 ) ．0 Fx( 0 , 1, 1 ) 2， 0 Fy( 0 , 1 , 1 ) 1， F 0z( 0 , 1,
, z) ( y , z) 由此可确定相应的隐函数 x x 和 y y( x ，故应选（D） ．
9.6
9.6.1 9.6.2 9.6.3
隐函数的微分法
由一个方程所确定的隐函数的求导公式 由方程组所确定的隐函数组的求导法则 全微分法
29-1
9.6.1 由一个方程所确定的隐函数的求导公式
定理 9.6.1 （隐函数存在定理 I） 设二元函数 F ( x, y) 满足下列条件： (1) F ( x, y) 在以点 P 0 ( x0 , y0 ) 为内点的区域 D 内具有一阶连续偏 导数 Fx( x, y), Fy( x, y) ； (2) F ( x0 , y0 ) 0 ； (3) Fy( x0 , y0 ) 0 ， 则在点 P0 的某邻域 U ( P0 ) D 内，方程 F ( x, y) 0 能惟一地确定一 个定义在点 x0 的某邻域U ( x0 ) 内的函数（隐函数） y y( x) ，使得
F ( x, y, z ) 0, 例如在第 8 章中，我们介绍了空间曲线 的一般方程 G ( x, y, z ) 0.
现在的问题是在什么条件下，该方程可惟一地确定 y, z为x 的一元可导 函数 y y( x), z z( x)? 如果此结论成立，则空间曲线 可以表示为下列 参数方程形式：
Fx( x, y, z ) Fz( x, y, z )
z z 0, Fy( x, y, z) Fz( x, y, z) 0 ． x y
因为 Fz( x, y, z) 连续，且 Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 ，所以在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某个邻 域内 Fz( x, y, z) 0 ，于是得
答案 填“1” ．
解
在方程两边同时对 x 求导，得 2 x
dy y dy ，所以 e dx dx
d2y dy 2x ， 2 y dx dx 1 e
2(1 e y ) 2 x e y (1 e y )2
d2y dx 2
dy dx ．
dy 当 x 0 时，解得 y 0 ， 0 ，故 dx
d2 y ( x, y) 0, Fxy ( x, y) 0 ， 注： 2 也可由式（9.6.2）计算，事实上， Fxx dx
( x, y) cos y ，代入式（9.6.2）即得相同的结果． Fyy
29-6
定理 9.6.2（隐函数存在定理 II） 设三元函数 F ( x, y, z) 满足下列条件： (1) F ( x, y, z) 在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域U (M 0 ) 内具有一阶连续偏 导数； (2) F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ； (3) Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 ， 则在点 M 0 的邻域 U (M 0 ) 内方程 F ( x, y, z) 0 能惟一地确定一个定义在 点P 0 ) 内的二元函数（隐函数） z z ( x, y ) ，使得 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的邻域U ( P (1) F ( x, y, z( x, y)) 0,( x, y) U (P 0 ), 且 z0 z ( x0 , y0 ) ； (2) z z( x, y)在U (P 0 ) 内具有一阶连续偏导数，且
F x2Fyy F y2Fxx d 2 y 2 FxFyFxy . 2 3 dx Fy ( x, y)
(9.6.2)
29-4
例 9.6.1 设 y y( x) 是由方程 x 2 y 1 e y 所确定的隐函数，则
d2 y dx2
x 0
．
2
29-10
例 9.6.5 设 u f x y, 定的隐函数，求
yz 其中 z z( x, y) 是由方程 F ( x, y, z) 0 所确 ， x
u u , ，其中函数 f , F 均有一阶连续偏导数，Fz 0 ． x y
解 由多元函数求导的链式法则得
u yz y z u z y z f1 f 2 2 , f1 f 2 ， x x x x y x x y
29-2
（续定理） (1) F ( x, y( x)) 0, x U ( x0 ) ，且 y0 y( x0 ) ； (2) y y( x) 在 U ( x0 ) 内具有连续可导，且
dy Fx( x, y ) ． dx Fy( x, y )
(9.6.1)
注： 从几何角度看， 定理 9.6.1 表示曲面 z F ( x, y) 与坐标面 z 0 在P 0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内交于一条光滑曲线．
本定理证明的理论性较强，故此我们仅推导式(9.6.1)．
29-3
由定理 9.6.1 的结论（1）知
F ( x, y( x)) 0, x U ( x0 ) ．
根据多元复合函数的求导链公式法则（见右） ，在上式两边同时 对 x 求导得
dy Fx( x, y) Fy( x, y) 0 . dx