初中数学竞赛第二轮专题复习2几何

CB' AC '

CB' AC '

sin ∠ACC ' sin ∠CBB '

初中数学竞赛第二轮专题复习（2）

几何证明的基本方法（1）

一、常用定理

梅涅劳斯定理 设 A', B', C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 A', B', C '

三点共线，则

BA' CB' AC '

⋅ ⋅ = 1.

A' C B' A C ' B

梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若 BA' ⋅ ⋅ = 1. 则 A', B', C ' 三点共线。

A' C B' A C ' B

塞瓦定理 设 A', B', C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 AA', BB ', CC '

三线平行或共点，则 BA' ⋅ ⋅ = 1.

A' C B' A C ' B

塞瓦定理的逆定理

设 A', B', C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若

BA' CB' AC '

⋅ ⋅ = 1. 则 AA', BB ', CC ' 三线共点或互相平行。

A' C B' A C ' B

角元形式的塞瓦定理

A', B', C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则

AA', BB ', CC ' 平行或共点的充要条件是 sin ∠BAA' ⋅ ⋅ = 1.

sin ∠A' AC sin ∠C ' C B sin ∠B' BA

广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形，则 AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当 A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点，P 不同于 B ，C ，则有

PC BP AP 2=AB 2•

+AC 2•

-BP•PC.

BC

BC

欧拉定理 Δ ABC 的外心 O ，垂心 H ，重心 G 三点共线，且 O G =

二、基本方法

1

2

GH .

（一）线段相等

证明两线段相等常可从如下角度去考虑： （ 1）从角考虑：在同一三角形中等角对

等边，在同圆或等圆中等圆周角对等弦、等圆心角对等弦；

（ 2）从线考虑：线段中垂

线上的点到线段两端点的距离相等，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，平行 的两直线间的距离相等，关于某直线（或某点）对称的两点到直线（或某点）的距离 相等，圆的垂径平分弦相等，两圆的内（或外）公切线长相等，从一点向圆引的两条 切线长度相等；（ 3）从形考虑：全等形的对应边相等，特殊多边形中的边与边、边与 对角线、对角线与对角线之间相等，和差、倍分（例如，直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半，含 30 0 的直角三角形的斜边是

30 0 角所对边的两倍），三角形、梯形的

中位线与底边的关系，平行四边形的对边相等，对角线互相平分等等；

（ 4）从计算考

虑：可直接计算两线段相等，可通过等量代换转算，可利用比

例式、等积式转算，还可利用一系列定理、公式，例如边比定

理、张角公式等等.

1.1利用三角形中等角对等边：

例题1：如图，设I为△ABC内切圆圆心，而与点A不同的

点D是直线AI与△ABC外接圆的交点，求证：DB=DC=DI.

1.2利用平行四边形对边相等：

例题2：求证：如果圆的内接四边形的两条对角线互相垂直，

则从对角线交点至一边中点的线段等于圆心到这一边的对边

的距离.

1.3利用圆中几类角间关系：

例题3：如图，在△ABC中，AB

点E在BA的延长线上，且

BD=BE=AC，△B DE的外接圆与△

ABC的外接圆交于F，求证：BF=AF

十CF.

（二）角度相等

证明两角度相等常从如下几个方面考虑：（1）从角考虑：直接计算，等量代换，在同一三角形中，等边对等角等；（2）从线考虑：角的平分线的定义及判定，平行线

中的同位角，内错角等；（3）从形考虑：全等形的对应角，相

似形的对应角。圆中圆周角、圆心角、弦切角及相互关系。特

殊多边形中的有关角等；（4）从计算考虑：利用三角函数式计

算等间接计算

平面几何中的线段和角度问题，宛如郁郁葱葱，茫无际涯

的森林，构成了枝繁叶茂，生机勃勃的几何度量问题林海，这

两类问题总是相互联系，相互作用，相互依存，相互制约着的，

因而这两类间题的求解思路，也是相互利用，相互关联的.

1.1利用相似三角形对应角相等：

例题1：如图，设圆内接锐角△ABC，过从B、C为切点的切线相交于点N，取BC 的中点M，试证：∠BAM=∠C AN.

d ，且 1 （ （ （ .

1.2 利用角平分线及内心性质：

例题 2：如图，设 OC 是圆 S 1 的一条弦，今知以 O

为圆心的圆 S 2 与 OC 相交于点 D ，点 D 不与点 C 重 合，且圆 S 2 与圆 S 1 相交于点 A 和 B ，证明： DC 平 分∠ ACB .

1.3 利用内角平分线逆定理：

例题 3： 如图， PA 、PB 、 P C 、PD 的长分别为 a 、 b 、 c 、

1 1 1

+ = + ，又 AB 、 C D 相交于 Q ，求证： PQ

a b c d

平分∠ CPD .

（三）证明平行

论证两直线平行，常从如下几方面着手，从角考虑： 1）通过证被第三条直线截得的同

位角相等、内错角相等、同旁内角互补等来确定两直线平行； 2）从线考虑：通过证两直线

同垂直(或同平行)于第三条直线来确定两直线平行； 3）从形考虑:通过证两直线上的线段是 某些特殊图形，如平行四边形的一组对边，三角形或梯形的中位线和底边等来确定两直线平 行；（4）从比例式考虑:通过证对应线段成比例来确定过对应分点的直线平行；（5）从有关 结论来考虑，在有关图形中，有一些美妙的结论，如同圆中夹等弧的两弦（或一弦与一切线） 平行，过相交（或相切）两圆交点的割线交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行； 6） 还可从运用其他方法方面考虑：诸如面积法、几何变换法、向量法等

1.1 利用角相等：

例题 1： 如图，自圆 O 外一点 A 引切线，切点为 B ，过

AB 的中点 M 作割线交圆于 C 、D ，连 AC 、AD 又交圆于 E 、 F ，求证： AB// EF .

1.2 利用与第三条直线平行（垂直）：

例题 2： 如图，在△ ABC 中， BD 、 C E 为高， F 、 G 分别为

ED 、 B C 的中点， O 为外心，求证： AO // FG .

1.3 利用平行四边形对边平行：

例题 3： 如图，在正方形 ABCD 内任取一点 E ，连 AE ，

BE ，在△ ABE 外分别以 AE 、 B E 为边作正方形 AEMN 和

EBFG ，连 NC 、 A F ，求证： NC// AF .